简介 1.1成对比较问题 1 1.2两总体的均值比较 11 1.3方差-协方差的检验... 20 Previous Next First Last Back Forward 1
简介 1.1 成对比较问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 两总体的均值比较 . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 方差-协方差的检验 . . . . . . . . . . . . . . . 20 Previous Next First Last Back Forward 1
1.1 成对比较问题 上一讲中对均值向量的Hotelling'sT2检验可以方便的推广到多 个均值向量的比较问题中 ·成对比较设计：每个样本单元使用两种不同的处理(treatment), 来研究两种处理是否存在差异 一投放广告前后某个市场某个产品的销售量变动来研究广 告投放的效用 一服用某种降压药前后血压的变化，来研究该药物的效用 一一些路口使用交通信号灯前后交通事故数的变化，来研究 交通信号等的效用 ·成对比较设计的优点是测量结果的差异仅仅是由于不同处理的 效应造成的，因为其他条件完全相同（同一个体仅处理不同）： Previous Next First Last Back Forward
1.1 成对比较问题 上一讲中对均值向量的 Hotelling’s T 2 检验可以方便的推广到多 个均值向量的比较问题中. • 成对比较设计: 每个样本单元使用两种不同的处理 (treatment), 来研究两种处理是否存在差异. – 投放广告前后某个市场某个产品的销售量变动来研究广 告投放的效用 – 服用某种降压药前后血压的变化, 来研究该药物的效用 – 一些路口使用交通信号灯前后交通事故数的变化, 来研究 交通信号等的效用 • 成对比较设计的优点是测量结果的差异仅仅是由于不同处理的 效应造成的, 因为其他条件完全相同 (同一个体仅处理不同). Previous Next First Last Back Forward 1
·当然，在一些问题里成对比较设计不会那么简单.比如服药前 后其他变量可能也会发生变化，造成测量结果的差异除处理不 同原因外，还可能有其他条件发生变化的原因。 Experimental Design for Paired Comparisons Like pairs of …0 experimental units Treatments Treatments Treatmenis Treetments 1 and 2 I and 2 1and2●◆◆1and2 assigned assigned assigned assigned at random at random at random at random Previous Next First Last Back Forward 2
• 当然, 在一些问题里成对比较设计不会那么简单. 比如服药前 后其他变量可能也会发生变化, 造成测量结果的差异除处理不 同原因外, 还可能有其他条件发生变化的原因. Previous Next First Last Back Forward 2
p=1时的成对比较问题 。在一元场合下，以响应变量的某个指标为例.记X与和X2分 别为第j个试验单元的响应变量在处理1和处理2下的测量 值. ·感兴趣的问题是处理1和处理2是否有差异. ·设D与=X15-X21,j=1,,n,则D,反应了两种处理的差 异.假设 一D1,..,Dn相互独立同分布 -D~N(6,o) ·在上述假设条件下，量 t(6)= D-6 salvn ~tn-1 Previous Next First Last Back Forward 3
p = 1 时的成对比较问题 • 在一元场合下, 以响应变量的某个指标为例. 记 X1j 和 X2j 分 别为第 j 个试验单元的响应变量在处理 1 和处理 2 下的测量 值. • 感兴趣的问题是处理 1 和处理 2 是否有差异. • 设 Dj = X1j − X2j , j = 1, . . . , n, 则 Dj 反应了两种处理的差 异. 假设 – D1, . . . , Dn 相互独立同分布 – D1 ∼ N1(δ, σ2 δ ) • 在上述假设条件下, 量 t(δ) = D¯ − δ sd/ √ n ∼ tn−1 Previous Next First Last Back Forward 3
其中D=A∑，D,s后=点∑，(D-D)2 。因此假设Ho:6=0+H1:6≠0的水平α检验拒绝域为 lt(0l>tn-1(a/2). ·等价地，6的1-α置信区间为 d-a-a2)≤i≤d+n-a/2流 Previous Next First Last Back Forward 4
其中 D¯ = 1 n ∑ j Dj , s2 d = 1 n−1 ∑ j (Dj − D¯) 2 . • 因此假设 H0 : δ = 0 ↔ H1 : δ ̸= 0 的水平 α 检验拒绝域为 |t(0)| > tn−1(α/2). • 等价地, δ 的 1 − α 置信区间为 d¯− tn−1(α/2) sd √ n ≤ δ ≤ d¯+ tn−1(α/2) sd √ n Previous Next First Last Back Forward 4
p>1时的成对比较问题 ·当每个样本单元的p个变量被测量时候，我们关心差异向量（处 理1-处理2： X21 D,2 j=1,.,n.其中X1k,X2k分别表示第j个样本单元在处 理1和处理2下第k个变量的测量值. 。因此，假设D1,.,Dni.i.d~Nn(6,)时，可以使用Hotelling's T2统计量 P=n(D-ys分(D-)~-m-p n-p Previous Next First Last Back Forward
p > 1 时的成对比较问题 • 当每个样本单元的 p 个变量被测量时候, 我们关心差异向量 (处 理 1-处理 2): Dj = Dj1 . . . Djp = X1j1 . . . X1jp − X2j1 . . . X2jp j = 1, . . . , n. 其中 X1jk, X2jk 分别表示第 j 个样本单元在处 理 1 和处理 2 下第 k 个变量的测量值. • 因此, 假设 D1, . . . , Dn i.i.d ∼ Np(δ, Σ) 时, 可以使用 Hotelling’s T 2 统计量 T 2 = n(D¯ − δ) ′ S −1 D (D¯ − δ) ∼ p(n − 1) n − p Fp,n−p Previous Next First Last Back Forward 5
其中D和SD分别为基于D1,.,Dm的样本均值和样本协方 差 ·实际中，我们经常来检验假设”两种处理没有平均差异”，这等 价于H0:6=0+H1:6≠0，其拒绝域为 T2=nD'Sp'D>P(n-1Fp-p(a) n-p 当拒绝Ho时候，我们得出结论：p个变量的任何分量上不存在 处理效应 ·6的1-a置信域为 (8:n(D-y(6)(a) n-p ·a'6的1-a同时置信区间为 aD± p(n-1 _Fp.n-p(a) aSp'a ,a∈RP n-P n Previous Next First Last Back Forward 6
其中 D¯ 和 SD 分别为基于 D1, . . . , Dn 的样本均值和样本协方 差. • 实际中, 我们经常来检验假设” 两种处理没有平均差异”, 这等 价于 H0 : δ = 0 ↔ H1 : δ ̸= 0, 其拒绝域为 T 2 = nD¯′ S −1 D D >¯ p(n − 1) n − p Fp,n−p(α) 当拒绝 H0 时候, 我们得出结论: p 个变量的任何分量上不存在 处理效应. • δ 的 1 − α 置信域为 { δ : n(D¯ − δ) ′ S −1 D (D¯ − δ) ≤ p(n − 1) n − p Fp,n−p(α) } • a ′ δ 的 1 − α 同时置信区间为 a ′D¯i ± √ p(n − 1) n − p Fp,n−p(α) √ a ′S −1 D a n , ∀a ∈ R p Previous Next First Last Back Forward 6
·61,,6p的1-a同时置信区间为 pn-Fpn-pa i=1,.,p n-P 其中s品：表示矩阵SD的ii对角元. ,di,.,dp的Bonferroni1-a同时置信区间为 i=1,,p Previous Next First Last Back Forward
• δ1, . . . , δp 的 1 − α 同时置信区间为 D¯i ± √ p(n − 1) n − p Fp,n−p(α) √ s 2 D,i n , i = 1, . . . , p 其中 s 2 D,i 表示矩阵 SD 的 ii 对角元. • δ1, . . . , δp 的 Bonferroni 1 − α 同时置信区间为 D¯i ± tn−1( α 2p ) √ s 2 D,i n , i = 1, . . . , p Previous Next First Last Back Forward 7
重复测量下比较多个处理 ·一元成对t检验的另一个推广场合：对一元响应变量的g个处 理进行比较 ·每个个体或者试验单元被安排q个处理，每个一次测量.因此， 第方个体的观测记为 Xj= ,j=1,,n 其中X:表示第j个个体的第i个处理下的值. ·重复测量一来源于是对同一个体进行g个处理下测量. ·实际中经常感兴趣的是q个处理平均效应是否存在差异.因此 Previous Next First Last Back Forward 8
重复测量下比较多个处理 • 一元成对 t 检验的另一个推广场合: 对一元响应变量的 q 个处 理进行比较. • 每个个体或者试验单元被安排 q 个处理, 每个一次测量. 因此, 第 j 个体的观测记为 Xj = Xj1 . . . Xjq , j = 1, . . . , n. 其中 Xji 表示第 j 个个体的第 i 个处理下的值. • 重复测量—来源于是对同一个体进行 q 个处理下测量. • 实际中经常感兴趣的是 q 个处理平均效应是否存在差异. 因此 Previous Next First Last Back Forward 8
我们考虑均值μ=EX,的分量的对照(contrast): 1-2 1-1 0 41-μ3 10 0 μ1-4g 或者 42-μ1 -1 10 0 0 0 0 1 43-2 -1 0 =C24 ... .4g Mg Hg-1 0 00 -1 C1和C2都称为对照矩阵（行线性无关，每个都是一个对照向 量) Previous Next First Last Back Forward 9
我们考虑均值 µ = EXj 的分量的对照 (contrast): µ1 − µ2 µ1 − µ3 . . . µ1 − µq = 1 −1 0 · · · 0 1 0 −1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0 · · · −1 µ1 µ2 . . . µq = C1µ 或者 µ2 − µ1 µ3 − µ2 . . . µq − µq−1 = −1 1 0 · · · 0 0 0 −1 1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · −1 1 µ1 µ2 . . . µq = C2µ C1 和 C2 都称为对照矩阵 (行线性无关, 每个都是一个对照向 量). Previous Next First Last Back Forward 9