第十一章三相电路11.2.1三相电路的概念例题 11-1 三相对称电源如图L11-1(a)所示，其中UAI=380Z0°V,试作出Y形等效电路，并画出相量图。UciOAAOAiaUAUNN0/BToBBUg2oUB2oCoCUBI(a)(b)(c)图L11-1解：设等效电路如图L11-1(b)所示，要使图(a)、图(b)电路等效，必须保证两点路中的线电压（UAB等）不变，所以有：U AB=U AI对图(a)UAB=N3UA2Z30°对图(b)UA1=/3UA2Z300所以1UA1Z-30°=220Z-30°V即UA2=V3根据对称性：UB2=UA2Z-120°=220/-150°VUc2=UA2Z+120°=220Z+90°V相量图如图L11-1（c）所示。例题11-2Y形负序三相电源的相电压为UA=220Z0°VUB=220+120°V
第十一章 三相电路 11.2.1 三相电路的概念 例题 11-1 三相对称电源如图 L11-1(a)所示，其中U A1=380∠0° V,试作出 Y 形 等效电路，并画出相量图。 C 图L11-1 + - UC1 . (a) UC1 B A + - UA1 . - + UB1 . C + UC2- . (b) B A + - UA2 . + - UB2 . . UC2 . UA1 . UB2 . UB1 . UB2 (c) 解：设等效电路如图 L11-1(b)所示，要使图(a)、图(b)电路等效，必须保证两 点路中的线电压(U AB 等)不变，所以有： 对图(a) U AB=U A1 对图(b) U AB= 3 U A2∠30° 所以 U A1＝ 3 U A2∠30° 即 U A2＝ 3 1 U A1∠-30°＝220∠-30° V 根据对称性： U B2＝U A2∠-120°＝220∠-150° V U C2＝U A2∠+120°＝220∠+90° V 相量图如图 L11-1(c)所示。 例题 11-2 Y 形负序三相电源的相电压为 U A=220∠0° V U B=220∠+120° V
Uc=220Z-120°V求：线电压UAB、UBC、UCA，并画出相量图。解：UAB=UA-UB=V3UAZ-30°UBc=UBZ—30°cA=/c—30°相量图如图L11-2所示。UBcUBUAUcAIUcUAB图L11-211.2.2对称三相电路的计算例题11-3图L11-3(a)所示对称三相电路，已知，Z=(2+i2)Q，UA=2200°V，求：负载相电流与线电流，并画出相量图。iaiUc icaUABUcAUUgAIABiBcUBUoIAIeIcAUBC(a)(b)图L11-3UAB=/3UAZ30°=/3220Z30°V=380Z30°V解：
U C=220∠-120° V 求：线电压U AB 、U BC 、U CA ，并画出相量图。 解： U AB=U A－U B＝ 3 U A∠－30° U BC= 3 U B∠－30° U CA= 3 U C∠－30° 相量图如图 L11-2 所示。 图L11-2 . UB . UBC . UA . UAB . UC . UCA 11.2.2 对称三相电路的计算 例题 11-3 图 L11-3(a)所示对称三相电路，已知，Z=(2+j2)Ω，U A=220∠0°V， 求：负载相电流与线电流，并画出相量图。 Z (b) . (a) . N Z - + Z UA 图L11-3 . UB . IC . UA . UAB . . UC UCA . ICA . IBC . IB . UBC . IA . IAB . UB . UC - + - + . . . IA IB IC . IAB . IBC ICA 解： U AB= 3 U A∠30°＝ 3 220∠30°V＝380∠30°V
UAB380/30°V380相电流：iABZ(30°-45)A=134.4Z-15°AZ2V2(2+2)2iBc=iABZ-120°=134.4/-135°AicA=iABZ+120°=134.4Z105°A线电流：iA=V3iABZ-30°=232.8Z-45°AiB=iA/-120°=232.8/-165°Aic=iAZ+120°=232.8Z75°A相量图如图L11-2（b）所示。例题11-4如图L11-4(a)所示的电路，已知Z=4+j32，UA=3800°V，求：负载电流iA、iB、ic。izLZAAInizZalBN'N'NDUZUctZIcCIc(b)(a)图L11-4解：可将图(a)等效成图(b)UAB=UA=380Z0°V在图(a)中：UAI=UAB-30°=220Z-30°V在图(b)中：3UA220Z-30°Vi=44Z-66.87°AZ(4+3j)2iB=iAZ-120°=44Z-186.87°A=44Z173.13°Aic=i^Z+120°=44Z53.13°A
相电流： I AB＝ Z UAB ＝ + Ω ∠ ° (2 2j) 380 30 V ＝ 2 2 380 ∠(30°－45°)A＝134.4∠-15° A I BC＝ I AB∠-120°＝134.4∠-135°A I CA＝ I AB∠+120°＝134.4∠105°A 线电流： I A＝ 3 I AB∠-30°＝232.8∠-45°A I B＝ I A∠-120°＝232.8∠-165°A I C＝ I A∠+120°＝232.8∠75°A 相量图如图 L11-2(b)所示。 例题 11-4 如图 L11-4(a)所示的电路，已知 Z=4+j3Ω，U A=380∠0°V，求：负 载电流 I A 、 I B 、 I C。 . IA . IB . IC Z Z C Z B A . UA . UB . UC + + + - - - N´ (a) . IA . IB . IC Z Z C Z B A N´ UA1 . UB1 . UC1 N + + + - - - (b) 图L11- 4 解：可将图(a)等效成图(b) 在图(a)中： U AB=U A=380∠0°V 在图(b)中： U A1= 3 1 U AB∠-30°＝220∠-30°V I A＝ Z UA1 ＝ + Ω ∠ − ° (4 3j) 220 30 V ＝44∠-66.87°A I B＝ I A∠-120°＝44∠-186.87°A＝44∠173.13°A I C＝ I A∠+120°＝44∠53.13°A
例题11-5图L11-5(a)所示对称三相电路，负载阻抗ZL=(150+j150)Q，传输线参数X/=2Q，R/=2Q,负载线电压380V，求电源线电压。jX,RiXZLRAo33y.AojX,RiUANUsZB o￥￥ZIjXiRNoN'YYCo(a)(b)图L11-5解：作一相计算电路如图L11-5(b)所示，其中将三角形负载变换为星形负载，有Z=Z,=(50+j50)23因负载端线电压为380V，若选UN为参考相量，则 xx=- 380 20° V3U=Z+(+=%+=1.040ZL50 + j50所以电源端线电压U,=/3UAN=1.04V3U^N.=1.04X380V=395.2V例题11-6图L11-6所示为对称三相电源向两组Y形并联负载供电电路，已知线电压为380V，Z,=100/3Z30°Q，Z,=50Z60°Q，Z=10Z45°Q，试求线电流iA、负载电流i1A和i2A。解：设电源的相电压UA。= 380?Z0°V=220Z0°VV3
例题 11-5 图 L11-5(a)所示对称三相电路，负载阻抗 ZL=(150+j150)Ω，传输线参 数 Xl＝2Ω，Rl＝2Ω，负载线电压 380V，求电源线电压。 A B C Rl Rl Rl jXl jXl jXl ZL ZL ZL (a) A Rl jXl N N´ (b) 图L11- 5 . UAN . UA´N´ ZL´ A´ 解：作一相计算电路如图 L11-5(b)所示，其中将三角形负载变换为星形负载，有 ' Z L = 3 Z L ＝(50+j50)Ω 因负载端线电压为 380V，若选UA' N ' 为参考相量，则 UA' N ' ＝ 3 380 ∠0°V UAN ＝ ' L ' L ( jX ) Z Z + Rl + l UA' N ' ＝ 50 j50 52 j52 + + UA' N ' ＝1.04UA' N ' 所以电源端线电压 Ul＝ 3 U AN＝1.04 3 UA' N ' ＝1.04×380V＝395.2V 例题 11-6 图 L11-6 所示为对称三相电源向两组 Y 形并联负载供电电路，已知 线电压为 380V，Z1=100 3 ∠30°Ω，Z2=50∠60°Ω，Zl =10∠45°Ω，试求线电 流 I A、负载电流 I 1A和 I 2A。 解：设电源的相电压 UA ϕ ＝ 3 380 ∠0°V＝220∠0°V
22Z124AoiAZiZ2BoZ2ZCo图L11-6因为电路每相的等效阻抗为Z=Zi+_ZZ,Z, + Z,=10Z45°Q+100230×50260100/30+50Z60=44.36/48.84°2UAe220Z0°V所以 iA==4.96/-48.84°A144.36/48.84)2Z250Z60°IIA=iA=4.96/-48.84°A=1.7/-28.84°A100Z30°+50Z60°Z, +Z,i2A=iA-i1A=4.96Z-48.84°A-1.7-28.84°A=3.4/-58.84°A11.2.3非对称三相电路例题11-7图L11-7所示三相电路，三相电源（供电线)电压对称，线电压为380V，ZA=10Q2，ZB-j102，Zc=j102，ZN=12，求Un及各负载相电压；如中线断开，再求上述各量。解：该电路为不对称电路，由题意知三相电源电压对称，故设UA=UAN= 380Z0°V=220Z0°V3则UB=220Z-120°VUc=220Z120°V
Zl Zl Z2 Z1 Z1 Z1 Z2 Z2 A B C Zl I2A . I1A 图L11- 6 因为电路每相的等效阻抗为 Z＝Zl + 1 2 1 2 Z Z Z Z + ＝10∠45°Ω + ∠ ° + ∠ ° ∠ °× ∠ ° 100 30 50 60 100 30 50 60 Ω ＝44.36∠48.84°Ω 所以 I A＝ Z UA ϕ ＝ ∠ ° Ω ∠ ° 44.36 48.84 ) 220 0 V ＝4.96∠-48.84°A I 1A＝ I A 1 2 2 Z Z Z + ＝4.96∠-48.84° ∠ ° + ∠ ° ∠ ° 100 30 50 60 50 60 A＝1.7∠-28.84°A I 2A＝ I A－ I 1A＝4.96∠-48.84°A－1.7∠-28.84°A＝3.4∠-58.84°A 11.2.3 非对称三相电路 例题 11-7 图 L11-7 所示三相电路，三相电源(供电线)电压对称，线电压为 380V， ZA=10Ω，ZB=j10Ω，ZC =－j10Ω，ZN=1Ω， 求UN ' N 及各负载相电压；如中线断 开，再求上述各量。 解：该电路为不对称电路，由题意知三相电源电压对称，故设 U A＝UAN ＝ 3 380 ∠0°V＝220∠0°V 则 U B=220∠-120°V U C=220∠120°V
2200°220/-120°220/120°j1010- j1016.1则UN'NV=14.6/180°VV11/11.110j10-j101计算各负载相电压：UAN.=UA-UNN=(220Z0°-14.6Z180)V=234.6Z0°VUBN.=UB-Unn=(220/-120°-14.6Z180°)V=213Z-117°VUc.=Uc-Un=(220Z120°-14.6Z180)V=213Z117°V中线断开后，U及各相负载电压计算如下：220Z0°220Z-120°220Z120°10j10-j1016.lv=161Z180°VUNNV10.1110+j10-j10UAN.=UA-UNN=(220Z0°-161Z180°)V=381Z0°VUBN.=UB-UNN=(220Z-120°-161Z180)V=198Z-75°VUcN.=Uc-UnN=(220/120°-161Z180)V=198/75°V从计算结果来看，有中线时，负载相电压基本保持对称。各负载相电压与电源相电压(220V)比较，其变化率等于或小于6.8%。没有中线时，各负载相电压明显不对称，A相负载的电压比电源相电压高出73%。iAiatzZAAOi8KZe8B oZcN'Z1ziBinCoN'BoZNiczictNoCo图L11-7图L11-8例题11-8三相电路如图L11-8所示，已知对称线电压为U,=380V，Z=(50+j50)2，Zi=(100+j100)2，Z为R、L、C串联组成，R=502，Xi=314Q，Xc一264Q，试求开关K闭合时的线电流。=
则 UN ' N ＝ 1 1 j10 1 j10 1 10 1 j10 220 120 j10 220 120 10 220 0 + − + + − ∠ ° + ∠ − ° + ∠ ° V＝－ 1.1 16.1 V＝14.6∠180°V 计算各负载相电压： UAN ' ＝U A－UN ' N ＝(220∠0°－14.6∠180°)V＝234.6∠0°V UBN ' ＝U B－UN ' N ＝(220∠-120°－14.6∠180°)V＝213∠-117°V UCN ' ＝U C－UN ' N ＝(220∠120°－14.6∠180°)V＝213∠117°V 中线断开后，UN ' N 及各相负载电压计算如下： UN ' N ＝ j10 1 j10 1 10 1 j10 220 120 j10 220 120 10 220 0 − + + − ∠ ° + ∠ − ° + ∠ ° V＝－ 0.1 16.1 V＝161∠180°V UAN ' ＝U A－UN ' N ＝(220∠0°－161∠180°)V＝381∠0°V UBN ' ＝U B－UN ' N ＝(220∠-120°－161∠180°)V＝198∠-75°V UCN ' ＝U C－UN ' N ＝(220∠120°－161∠180°)V＝198∠75°V 从计算结果来看，有中线时，负载相电压基本保持对称。各负载相电压与电 源相电压(220V)比较，其变化率等于或小于 6.8％。没有中线时，各负载相电压 明显不对称，A 相负载的电压比电源相电压高出 73％。 ZA ZB ZC N´ ZN A B C N Z Z Z N´ A B C K . IA . . IB IC . IA1 . IB1 . IC1 Z1 . I1 图L11- 7 图L11- 8 例题 11-8 三相电路如图 L11-8 所示，已知对称线电压为 Ul＝380V，Z＝ (50+j50)Ω，Z1=(100+j100)Ω，Z 为 R、L、C 串联组成，R＝50Ω，XL＝314Ω，XC ＝－264Ω，试求开关 K 闭合时的线电流
解：由于Zi的接入使该电路变成非对称电路，但Z的接入并不影响Y形对称负载端，电压及负载的对称性，所以对称负载部分仍可按对称电路计算。(1)对称负载的相电流为=22020V—220Z0°iAI=A=3.11/-45°AZ（50+j50)Q/2.50Z45iBl=iA1Z-120°=3.11Z-165°Aicl=iAlZ120°=3.11Z75°A(2)非对称负载Z中的电流为UAB=V3.220Z30°Vi=L=2.69Z-15°AZiV2-100/45°(3)线电流为i A = i A1+ i 1 = (3. 11 Z -45° + 2. 69 / -15) A = [(2. 19+2. 60) -j(2.19+0.70) A=(4.79-2.89i)A= 5.60Z-31.62°AiB=iAl-i,=(3.11/-45°-2.69-15)A=5.86Z-179.6°Aic=icl=3.11Z75°A例题11-9日电路如图L11-9(a)所示，已知三相电源对称，f=50Hz，UA=220V，Z=32,ZN=22,求io(t)。J1ZZ3zzzzZ3Zzz3zzNON'ZN1NNON'(a)(b)(c)图L11-9解：设UA=220Z0°V，利用戴维南定理将图(a)化为图(b)。为求Zo将图(a)N'N开路，并将电源置零，将负载△→Y，得图(c)，由(c)可得：
解：由于 Z1 的接入使该电路变成非对称电路，但 Z1 的接入并不影响 Y 形对称负 载端，电压及负载的对称性，所以对称负载部分仍可按对称电路计算。 (1)对称负载的相电流为 I A1＝ Z UA ＝ + Ω ∠ ° (50 j50) 220 0 V ＝ ⋅ ∠ ° ∠ ° 2 50 45 220 0 A＝3.11∠-45°A I B1＝ I A1∠-120°＝3.11∠-165°A I C1＝ I A1∠120°＝3.11∠75°A (2) 非对称负载 Z1 中的电流为 I 1＝ 1 AB Z U ＝ ⋅ ∠ °Ω ⋅ ∠ ° 2 100 45 3 220 30 V ＝2.69∠-15°A (3) 线电流为 I A ＝ I A1+ I 1 ＝ (3.11 ∠ -45° ＋ 2.69 ∠ -15°)A ＝ [(2.19+2.60) － j(2.19+0.70)] A= (4.79－2.89j) A＝ 5.60∠-31.62°A I B＝ I A1－ I 1＝(3.11∠-45°－2.69∠-15°)A＝ 5.86∠-179.6° A I C＝ I C1＝3.11∠75° A 例题 11-9 电路如图 L11-9(a)所示，已知三相电源对称，f＝50Hz，UA＝220V，Z ＝3Ω，ZN=2Ω，求 i0(t)。 3Z (a) 3Z - + 3Z UA . UB . UC - + - + N N´ . ZN . I0 Z Z Z ZN Z0 + - Uoc . . I0 N (b) Z Z Z Z Z Z N N´ (c) 图L11- 9 解：设U A=220∠0°V，利用戴维南定理将图(a)化为图(b)。为求 Z0 将图(a)N′ N 开路，并将电源置零，将负载Δ→Y，得图(c)，由(c)可得：
(Z+Z)(Z+Z)[Z +6x3Z+Z+Z+ZQ=22Zo(Z +Z)(Z+ Z)9Z+[Z+Z+Z+Z+Z对图(a)，将负载△→Y，由于N'N开路时电路对称，所以！.Uc=110Z120°VUoc2Uocio==27.5/120°A由图(b)得Z,+Znio(t)=2-27.5·cos(ot+120°)A11.2.4三相电路的功率例题11-100已知对称三相电路的负载吸收功率P=2.4kW，功率因数入=0.4(感性)，求：（1）两个瓦特表读数（用二瓦计法测功率）。(2)若负载的功率因数提高到0.8该如何做？此时两只瓦特表的读数是多少？芭称电相AO三相负载AoBoBo路coCoC(a)(b)图L11-10解：（1）用二瓦计法测功率时，如图L11-10(a)所示，两只瓦特表的读数分别为Pi=ULILcos(p-30°),P2=ULILcos(β+30°)因为P+P2=P=2.4kW又p=arccos0.4=66.42P= cos(β-30)= cos36.42°所以7.197cos96.42oPcos(p+30°)即P=—7.197P2
Z0＝ ] Z Z Z Z (Z Z)(Z Z) Z [Z ]Z Z Z Z Z (Z Z)(Z Z) [Z + + + + + + + + + + + + + ＝ 9 6× 3 Ω＝2Ω 对图(a)，将负载Δ→Y，由于 N′ N 开路时电路对称，所以 U OC＝ ⋅ 2 1 U C＝110∠120°V 由图(b)得 I 0＝ 0 N OC Z + Z U ＝27.5∠120°A i0(t)＝ 2 ·27.5 ·cos(ωt +120°) A 11.2.4 三相电路的功率 例题 11-10 已知对称三相电路的负载吸收功率 P＝2.4kW，功率因数 λ＝0.4(感 性)，求： (1) 两个瓦特表读数(用二瓦计法测功率)。 (2)若负载的功率因数提高到 0.8 该如何做？此时两只瓦特表的读数是多少？ 三 相 负 载 A W1 B C W2 * * * * 对 称 三 相 电 路 A B C C C C (a) (b) 图L11- 10 解：(1) 用二瓦计法测功率时，如图 L11-10(a)所示，两只瓦特表的读数分别为 P1＝U L I L cos(ϕ －30°) , P2＝U L I L cos(ϕ ＋30°) 因为 P1＋P2＝P＝2.4kW 又 ϕ ＝arc cos0.4＝66.42° 所以 2 1 P P ＝ cos( 30 ) cos( 30 ) + ° − ° ϕ ϕ ＝ ° ° cos96.42 cos36.42 ＝－7.197 即 P1＝－7.197P2
故Pi+P2=-7.197P2+P2=P=2.4kWP解之得P2==-0.387kW17.197P,=P-Pz=(2.4+0.387)kW=2.787kW(2)欲把功率因数提高到0.8，应该接一组对称的三相电容，如图L11-10(b)所示。在并入电容之前Q=Ptgβ=2.4-tg 66.42°kVA=5.5kVA并入电容之后，有功功率不变：P=P=2.4kW。而cosp=0.8，得@'=36.87°所以Q'=Ptgβ'=Ptg@'=2.4tg36.87°kVA=1.8kVA又Qc=Q'-Q=-3.7kVA即并入的三相电容必须产生3.7kVA的无功功率。并入电容之后P=cos(Φ,-30)cos6.87°=2.53Pzcos(p2+30)cos66.87oPi=2.53P2故Pi+P2=2.53P2+P2=P=2.4kWP所以P2==0.68kW1+ 2.53P=P-P2=1.72kW例题11-11图L11-11所示电路，已知线电压为380V，Y形负载的功率为10kW，功率因数入1=0.85(感性)，△形负载的功率为20kW，功率因数22=0.8(感性)，求(1)电源的线电流；(2)电源的视在功率，有功功率和无功功率及功率因数
故 P1＋P2＝－7.197P2＋P2＝P＝2.4kW 解之得 P2＝1− 7.197 P ＝－0.387 kW P1＝P－P2＝(2.4+0.387)kW＝2.787 kW (2)欲把功率因数提高到 0.8，应该接一组对称的三相电容，如图 L11-10(b) 所示。在并入电容之前 Q＝Ptgϕ ＝2.4·tg 66.42° kVA＝5.5 kVA 并入电容之后，有功功率不变：P ′＝P＝2.4kW。 而 cosϕ ′＝0.8，得 ϕ ′＝36.87° 所以 Q ′＝P′ tgϕ ′＝P tgϕ ′＝2.4tg 36.87° kVA＝1.8 kVA 又 QC＝Q ′－Q＝－3.7 kVA 即并入的三相电容必须产生 3.7 kVA 的无功功率。 并入电容之后 2 1 P P ＝ cos( 30 ) cos( 30 ) 2 2 + ° − ° ϕ ϕ ＝ ° ° cos66.87 cos6.87 ＝2.53 P1＝2.53P2 故 P1＋P2＝2.53P2＋P2＝P＝2.4kW 所以 P2＝1+ 2.53 P ＝0.68 kW P1＝P－P2＝1.72 kW 例题 11-11 图 L11-11 所示电路，已知线电压为 380V，Y 形负载的功率为 10kW， 功率因数 λ1＝0.85(感性)，Δ形负载的功率为 20kW，功率因数 λ2＝0.8(感性)，求： (1)电源的线电流；(2)电源的视在功率，有功功率和无功功率及功率因数
isi'NAotiiB21B ocC o图L11-11解：方法一：(1)设UAB=380Z0°VAB30=3380UAO则一Z-30°VV3V3对星形负载：因为Pi=3UAglacos P1P所以Ia=3UAOCOSP10x10°W=17.87A=3x380x0.85VV3而β,=31.8°cos@,=0.85,所以i,=17.87Z(-30-31.8)A=17.87Z-61.8°A对三角形负载：因为P2=3UABIABCOS2P220×103所以A=21.93AIAB=3UABCOSP23×380×0.8而P2=36.90cOS@2=0.80
Z2 Z2 Z1 A B C Z2 Z1 Z1 . IA . IB . IC . Ia . IA´ . IAB 图L11- 11 解：方法一： (1)设 U AB＝380∠0°V 则 UA ϕ ＝ 3 1 U AB∠－30°＝ 3 380 ∠－30° V 对星形负载： 因为 P1＝3UAφ I acosϕ 1 所以 I a＝ 1 1 3UAϕ cosϕ P ＝ 0.85V 3 380 3 10 103 W × × × ＝17.87A 而 cosϕ 1＝0.85， ϕ 1＝31.8° 所以 I a＝17.87∠(-30°-31.8°)A＝17.87∠-61.8° A 对三角形负载： 因为 P2＝3UAB I AB cosϕ 2 所以 I AB＝ AB 2 2 3U cosϕ P ＝ 3 380 0.8 20 103 × × × A＝21.93A 而 cosϕ 2＝0.80， ϕ 2＝36.9°