《运筹学》课程授课教案（讲稿）第28讲 灵敏度分析；效用理论在决策中的应用

第_28_讲次课程名称：《运筹学》灵敏度分析：效用理论在决策中的应用授课题目本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，了解灵敏度分析内容；并了解效用理论在决策中的应用[重点及难点]灵敏度分析。内容[本讲课程的引入]在通常的决策模型中自然状态的损益值和概率领往往是预测和估计得到的，一般不会十分准确。因此，根据实际情况的变化，有必要对这些数据在多大范围内变动，而原最优决策方案继续有效进行分析，这种分析就叫做灵敏度分析。[本讲课程的内容]$7.5.1灵敏度分析的意义例7.10有外壳完全相同的木盒100个，将其分为两组，一组内装白球，有70盒。另一组内装黑球，有30盒。现从这100个盒中任取一盒，让你猜，如果这个盒内装的是白球，猜对得500分，猜错罚200分。如果这个盒内装的是黑球，猜对得1000分，猜错罚150分。为了使希望得分最高，合理的决策方案是什么？有关数据如表710所示。有关数据表表 7—10概率自然状态白黑0.70.3决策方案猜白500分200分猜黑1000分150分白0.7△500分解：画决策树，如图7一2所示，清目黑0.3△-200分1白0.7△-150分猜黑黑0.31000分

课程名称：《运筹学》 第 28 讲次 授课题目 灵敏度分析；效用理论在决策中的应用 本讲目的要求及重点难点： 目的要求] 通过本讲课程的学习，了解灵敏度分析内容；并了解效用理论在决策中的应 用 [重点及难点] 灵敏度分析。 内 容 [本讲课程的引入] 在通常的决策模型中自然状态的损益值和概率领往往是预测和估计得到的，一般不 会十分准确。因此，根据实际情况的变化，有必要对这些数据在多大范围内变动，而原 最优决策方案继续有效进行分析，这种分析就叫做灵敏度分析。 [本讲课程的内容] §7.5.1 灵敏度分析的意义 例 7.10 有外壳完全相同的木盒 100 个，将其分为两组，一组内装白球，有 70 盒。另一组内装黑 球，有 30 盒。现从这 100 个盒中任取一盒，让你猜，如果这个盒内装的是白球，猜对得 500 分，猜 错罚 200 分。如果这个盒内装的是黑球，猜对得 1000 分，猜错罚 150 分。为了使希望得分最高，合 理的决策方案是什么？有关数据如表 7—10 所示。 表 7—10 有关数据表 概率 决策方案 自 然 状 态 白 黑 0.7 0.3 猜白 猜黑 500 分 －200 分 －150 分 1000 分 解：画决策树，如图 7—2 所示， 1 猜白 猜黑 3 白 0.7 黑 0.3 白 0.7 黑 0.3 500 分 －200 分 －150 分 1000 分 2

内容猜白的数学期望：0.7*500+0.3*(-200)=290猜黑的数学期望：0.7*(-150)+0.3*1000=195显然，按照最大期望值准则，猜白是最优方案。现在假设白球出现的概率变为0.8，这时，猜白的数学期望：0.8*500+0.2*(-200)=360猜黑的数学期望：0.8*(-500)+0.2*1000=80很明显，猜白仍是最优方案。再假设白球出现的概率变为0.6，这时，猜白的数学期望：0.6*500+0.4*(-200）=220猜黑的数学期望：0.6*(-150)+0.4*1000=310现在的结果发生了变化，猜黑是最优决策方案。$7.5.1转折概率设P是白球出现的概率则1-P是黑球出现的概率.计算两个方案的数学期望，并使其相等,得到P*500+(1-P)*(-200)=P*(-150)+(1-P)*1000,解方程后得P=0.65,将它称为转折概率.当P>0.65,猜白是最优方案.当P<0.65猜黑是最优方案。在实际的决策过程中，经常要将自然状态的概率和损益值等，在一定的范围内作几次变化，反复地进行计算，考察所得到的数学期望值是否变化很大，影响到最优方案的选择。如果这些数据稍加变化，而最优方案不变，那么这个决策方案就是稳定的。否则，这个决策方案就是不稳定的，需要进行更深一步的讨论了。87.6效用理论在决策中的应用$7.6.1效用和效用曲线效用是经济学中的一个重要概念，它是用来表示决策者对不同货币价值和各种决策后果的主观评价，是对价值的一种定量表述。在进行决策时，不同的决策者由于各自的经济地位、性格特征、对风险的态度等的不同，对同样的期望益损值可能赋以不同的效用值。这说明每个人都有自已的效用函数，它是实际货币值的函数。若以x表示实际的货币值，U(x）表示该货币值的效用值。一般地，所有人对更多货币值的评价总是更高，因而效用函数是货币值的增函数

内 容 猜白的数学期望：0.7*500+0.3*(-200)=290 猜黑的数学期望：0.7*(-150)+0.3*1000=195 显然,按照最大期望值准则,猜白是最优方案。 现在假设白球出现的概率变为 0.8，这时， 猜白的数学期望：0.8*500+0.2*(-200)=360 猜黑的数学期望：0.8*(-500)+0.2*1000=80 很明显，猜白仍是最优方案。再假设白球出现的概率变为 0.6，这时， 猜白的数学期望：0.6*500+0.4*(-200)=220 猜黑的数学期望：0.6*(-150)+0.4*1000=310 现在的结果发生了变化，猜黑是最优决策方案。 §7.5.1 转折概率 设 P 是白球出现的概率,则 1-P 是黑球出现的概率.计算两个方案的数学期望，并使 其相等,得到 P*500+(1-P)*(-200)=P*(-150)+(1-P)*1000,解方程后得 P=0.65,将它称为转折概 率.当 P >0.65,猜白是最优方案.当 P<0.65 猜黑是最优方案。 在实际的决策过程中，经常要将自然状态的概率和损益值等，在一定的范围内作几次 变化，反复地进行计算，考察所得到的数学期望值是否变化很大，影响到最优方案的选择。 如果这些数据稍加变化，而最优方案不变，那么这个决策方案就是稳定的。否则，这个决 策方案就是不稳定的，需要进行更深一步的讨论了。 §7.6 效用理论在决策中的应用 §7.6.1 效用和效用曲线 效用是经济学中的一个重要概念，它是用来表示决策者对不同货币价值和各种决策后 果的主观评价，是对价值的一种定量表述。在进行决策时，不同的决策者由于各自的经济 地位、性格特征、对风险的态度等的不同，对同样的期望益损值可能赋以不同的效用值。 这说明每个人都有自己的效用函数，它是实际货币值的函数。若以 x 表示实际的货币值， U(x) 表示该货币值的效用值。一般地，所有人对更多货币值的评价总是更高，因而效用 函数是货币值的增函数

内容在决策分析中，可利用冯·诺依曼一摩根斯坦的预期效用理论来确定决策者的效用函数U(x)。如果决策者认为可能出现的两种结局是无差异的，则决策者认为两者的效用值相同。对任一决策问题，设在自然状态s,下策略α,的益损值为a,(i=l,",m,j=l,,n)，记a=max(a），a.=min(ag），则对其中的任意货币益损值a(a.≤a≤a），如果决策者认为以下两个结局无差异(1)确定地获得收益a：(2)获得收益α的概率为p，获得收益a,的概率为1-p。则益损值a的效用值为：(7.6)U(a)=pU(a)+(l-p)U(a,)例7.11假定决策者对0元收入的效用值为0，对10000元收入的效用值为100。各决策者认为以下结局是无差异的：决策者A：确定地获得收入5000元；得收入10000元的概率为0.6，得收入0元的概率为0.4;决策者B：确定地获得收入5000元；得收入10000元的概率为0.4，得收入0元的概率为0.6；决策者C：确定地获得收入5000元；得收入10000元的概率为0.5，得收入0元的概率为0.5；试求决策者A、B、C得收入5000时的效用值。解：对决策者A有：U(5000)=0.6×U(10000)+0.4×U(0)=0.6×100+0.4×0=60对决策者B有：U(5000)=0.4×U(10000)+0.6×U(0)=0.4×100+0.6×0=40对决策者C有：U(5000)=0.5×U(10000)+0.5×U(0)=0.5×100+0.5×0=50效用值是一个相对评价值，在决策分析一般可取U(a")=1，U(a.)=0，此时

内 容 在决策分析中，可利用冯•诺依曼―摩根斯坦的预期效用理论来确定决策者的效用函 数 U(x) 。如果决策者认为可能出现的两种结局是无差异的，则决策者认为两者的效用值 相同。 对任一决策问题，设在自然状态 j s 下策略  i 的益损值为 a (i 1, ,m; j 1, ,n) ij     ， 记 max( ) min( ) a  aij a  aij  ， ，则对其中的任意货币益损值 ( )  a a  a  a ，如果决 策者认为以下两个结局无差异： ⑴确定地获得收益 a ； ⑵获得收益  a 的概率为 p ，获得收益  a 的概率为 1 p 。 则益损值 a 的效用值为： ( ) ( ) (1 ) ( )   U a  pU a   p U a (7.6) 例 7.11 假定决策者对 0 元收入的效用值为 0，对 10000 元收入的效用值为 100。各决 策者认为以下结局是无差异的： 决策者 A：确定地获得收入 5000 元；得收入 10000 元的概率为 0.6，得收入 0 元的概 率为 0.4； 决策者 B：确定地获得收入 5000 元；得收入 10000 元的概率为 0.4，得收入 0 元的概 率为 0.6； 决策者 C：确定地获得收入 5000 元；得收入 10000 元的概率为 0.5，得收入 0 元的概 率为 0.5； 试求决策者 A、B、C 得收入 5000 时的效用值。 解：对决策者 A 有： U(5000)  0.6U(10000)  0.4U(0)  0.6100  0.40  60 对决策者 B 有： U(5000)  0.4U(10000)  0.6U(0)  0.4100  0.60  40 对决策者 C 有： U(5000)  0.5U(10000)  0.5U(0)  0.5100  0.50  50 效用值是一个相对评价值，在决策分析一般可取 ( ) 1  U a ，U(a )  0 ，此时

内容U(a)=p。以实际货币值为横坐标，效用值为纵坐标，画效用出效用函数的图像，就得到了决策者的效用曲线。为便于比较，图13.3在同一坐标系中给出了三个不同类型的决策者对同一决策的效用曲线。不同的效用曲线反映出决策者的不同特点。(1)效用曲线是凹的。这表明货币收益的边际效用是递减的，即随着货币收益值的增加，每增加单货币值图7—4位收益时效用的增加量递减。他的确定收益的效用值高于具有相同期望值的风险收益的效用值。这种决策者对损失较敏感，而对收益的反应比较迟钝，是一种小心谨慎、不求大利、回避风险的保守型决策者，称之为风险厌恶者。(2)效用曲线是凸的。这表明货币收益的边际效用是递增的。对这些人来说，确定收益的效用值低于具有相同期望值的风险收益的效用值。这类决策者与上述决策者相反，他们对收益反应敏感，是一种不怕风险、积极进取、谋求大利的进取型决策者，称之为风险偏好者。(3)效用曲线是直线。这表明货币收益的边际收益是常数。对这类决策者来说确定的收益和具有相同期望值的风险收益的效用值是一样的，他们完全根据期望值的大小来选择自己的策略，是一种中间型的决策者，称之为风险中立者。由于效用函数反映的是个人的观点和主观态度，所以不同的决策者对同一决策问题可能有不同的效用函数，属于以上三种类型中的某一类。同一个决策者随着时间、环境、决策问题等的变化其效用函数也可能发生变化。例如，在现实生活中，有些人既购买彩票又购买保险，这些人在涉及货币值较小的决策时，可能是风险偏好者，但在涉及货币值较大的决策时，又成了风险厌恶者。这说明决策者对风险的态度会随着某些条件的变化发生变化。87.6.2效用曲线的应用货币值的效用值反映了该货币值对决策者的主观价值，因此决策者在比较策略的优劣时，依据的是效用值。利用决策者的效用函数进行决策分析，就是把效用值作为评价策略

内 容 U(a)  p。 以实际货币值为横坐标，效用值为纵坐标，画 出效用函数的图像，就得到了决策者的效用曲线。 为便于比较，图 13.3 在同一坐标系中给出了三个不 同类型的决策者对同一决策的效用曲线。不同的效 用曲线反映出决策者的不同特点。 ⑴效用曲线是凹的。这表明货币收益的边际效 用是递减的，即随着货币收益值的增加，每增加单 位收益时效用的增加量递减。他的确定收益的效用 值高于具有相同期望值的风险收益的效用值。这种决策者对损失较敏感，而对收益的反 应比较迟钝，是一种小心谨慎、不求大利、回避风险的保守型决策者，称之为风险厌恶 者。 ⑵效用曲线是凸的。这表明货币收益的边际效用是递增的。对这些人来说，确定收 益的效用值低于具有相同期望值的风险收益的效用值。这类决策者与上述决策者相反， 他们对收益反应敏感，是一种不怕风险、积极进取、谋求大利的进取型决策者，称之为 风险偏好者。 ⑶效用曲线是直线。这表明货币收益的边际收益是常数。对这类决策者来说确定的 收益和具有相同期望值的风险收益的效用值是一样的，他们完全根据期望值的大小来选 择自己的策略，是一种中间型的决策者，称之为风险中立者。 由于效用函数反映的是个人的观点和主观态度，所以不同的决策者对同一决策问题 可能有不同的效用函数，属于以上三种类型中的某一类。同一个决策者随着时间、环境、 决策问题等的变化其效用函数也可能发生变化。例如，在现实生活中，有些人既购买彩 票又购买保险，这些人在涉及货币值较小的决策时，可能是风险偏好者，但在涉及货币 值较大的决策时，又成了风险厌恶者。这说明决策者对风险的态度会随着某些条件的变 化发生变化。 §7.6.2 效用曲线的应用 货币值的效用值反映了该货币值对决策者的主观价值，因此决策者在比较策略的优劣 时，依据的是效用值。利用决策者的效用函数进行决策分析，就是把效用值作为评价策略 货币值 效 用 值 1 0 图 7—4 甲 乙 丙

内容的标准，依据期望效用最大原则选择策略。如果决策者是风险中立者，则期望效用准则和期望益损值准则的评价结果是相同的。例7.12在例7.10中，如果决策者的效用函数如表7一11，用期望效用最大准则确定决策者的最优策略。表 7-11货币值462-146-4效用值0.450.10.0501解：画出该决策问题的决策树，把工厂试制新产品的费用直接反映到收益中，并把每一货币值的效用值也加入到结果点旁，按求解决策树的顺序，逆向计算各点的期望效用值，分别注在各点的上方，得图7-个数字为货币值，第二个为效用值）。图中结果点的第一销路好0.40.446；A销路不好0.6-14;0销路好0.40.26;0.45A批7销路不好0.6时0.45试失败0.3-4:0.05Z2;0.1不试0.45制6:0.45图75事件点②：0.4×U(46)+0.6×U(-14)=0.4×1+0.6×0=0.4事件点③：0.4×U(6)+0.6×U(-4)=0.4×0.45+0.6×0.05=0.21按期望效用值最大选择策略：大批量生产，“剪去”另一策略枝。把0.4标注到决策点2]上方。事件点①：0.7×0.4+0.3×0.1=0.31，即试制这一策略的期望效用值为0.31不试制新产品的期望效用为U（6）=0.45，根据期望效用值最大准则，不试制新产品是决策者的最优策略。把0.45标注在决策点的上方。这是因为决策者是一个风险厌恶者，尽管试制新产品的期望收益值更大，但由于这一策略选择包含更大的风险，因此决策者为回避风险，宁愿选择一个期望收益小，但风险也小的策略。在现实的决策环境中，我们很难准确地知道决策者的效用函数。虽然利用冯·诺依曼一

内 容 的标准，依据期望效用最大原则选择策略。如果决策者是风险中立者，则期望效用准则和 期望益损值准则的评价结果是相同的。 例 7.12 在例 7.10 中，如果决策者的效用函数如表 7—11，用期望效用最大准则确定决 策者的最优策略。 表 7—11 货币值 46 6 2 -4 -14 效用值 1 0.45 0.1 0.05 0 解：画出该决策问题的决策树，把工厂试制新产品的费用直接反映到收益中，并把每 一货币值的效用值也加入到结果点旁，按求解决策树的顺序，逆向计算各点的期望效用值， 分别注在各点的上方，得图 7—5（图中结果点旁的第一个数字为货币值，第二个为效用值）。 事件点②：0.4U(46)  0.6U(14)  0.41 0.60  0.4 事件点③：0.4U(6)  0.6U(4)  0.40.45 0.60.05  0.21 按期望效用值最大选择策略：大批量生产，“剪去”另一策略枝。把 0.4 标注到决策点 上方。 事件点①：0.70.4  0.30.1 0.31 ，即试制这一策略的期望效用值为 0.31 不试制新产品的期望效用为 U(6)  0.45 ，根据期望效用值最大准则，不试制新产品 是决策者的最优策略。把 0.45 标注在决策点 的上方。这是因为决策者是一个风险厌恶 者，尽管试制新产品的期望收益值更大，但由于这一策略选择包含更大的风险，因此决策 者为回避风险，宁愿选择一个期望收益小，但风险也小的策略。 在现实的决策环境中，我们很难准确地知道决策者的效用函数。虽然利用冯•诺依曼― 1 1 3 2 2 6；0.45 2；0.1 试 制 不 试 制 成功 0.7 失败 0.3 大 批 大 量 小 批 大 量 销路好 0.4 销路不好 0.6 销路好 0.4 销路不好 0.6 46；1 -14；0 6；0.45 0.21 1 0.4 0.31 图 7—5 -4；0.05 0.45 0.4 0.45 2 1

内容摩根斯坦的预期效用理论，通过类似实验的方式可获得决策者对每一个益损值的效用值，但这种方法在实践中的可操作性及由此获得的效用值的可靠性都值得怀疑。尽管如此，效用理论为我们理解和解释现实当中决策者面对各种决策问题时所做出的实际选择提供了一个合理的理论基础，同时也为我们更科学地建立决策模型，分析决策问题提供了一个可能的方法。[本讲小结]】本章主要介绍了决策分析理论。决策是决策者在各种可能的策略中选择最优或满意策略的过程。把决策问题按有关自然状态的信息分为确定型决策、不确定型决策及风险型决策，有利于我们建立决策分析模型。不确定型决策和风险型决策的基本方法是本章的重点内容。对不确定型决策，因为没有有关状态发生的概率分布的信息，因而策略的选择完全依赖于决策者个人的心理因素，各种决策方法适用于具有不同性格特点的决策者。在风险型决策中，由于决策者可获得有关状态的概率分布，因此可以利用概率统计方法选出统计意义上的最优策略。益损值表和决策树是进行决策分析的基本工具，特别是决策树法可以更直观、有效地进行决策的分析。期望益损值最大和期望效用值最大准则是风险决策中选择最优策略的基本方法，它们分别把货币值和效用值作为评价和选择策略的依据。特别是期望效用准则，不仅考虑了不同策略下的货币收益，而且还考虑了决策者对待风险的主观态度。[本讲课程的作业］复习本章内容

内 容 摩根斯坦的预期效用理论，通过类似实验的方式可获得决策者对每一个益损值的效用值， 但这种方法在实践中的可操作性及由此获得的效用值的可靠性都值得怀疑。尽管如此，效 用理论为我们理解和解释现实当中决策者面对各种决策问题时所做出的实际选择提供了 一个合理的理论基础，同时也为我们更科学地建立决策模型，分析决策问题提供了一个可 能的方法。 [本讲小结] 本章主要介绍了决策分析理论。决策是决策者在各种可能的策略中选择最优 或满意策略的过程。把决策问题按有关自然状态的信息分为确定型决策、不确定型决策 及风险型决策，有利于我们建立决策分析模型。不确定型决策和风险型决策的基本方法 是本章的重点内容。对不确定型决策，因为没有有关状态发生的概率分布的信息，因而 策略的选择完全依赖于决策者个人的心理因素，各种决策方法适用于具有不同性格特点 的决策者。在风险型决策中，由于决策者可获得有关状态的概率分布，因此可以利用概 率统计方法选出统计意义上的最优策略。益损值表和决策树是进行决策分析的基本工 具，特别是决策树法可以更直观、有效地进行决策的分析。期望益损值最大和期望效用 值最大准则是风险决策中选择最优策略的基本方法，它们分别把货币值和效用值作为评 价和选择策略的依据。特别是期望效用准则，不仅考虑了不同策略下的货币收益，而且 还考虑了决策者对待风险的主观态度。 [本讲课程的作业] 复习本章内容