用 Excel求解层次分析法(AHP)问题 2005-05-04 用Bxe求解层次分析法(AP)问题 层次分析法(AHP)简介 层次分析法(AHP)的由来 美国运筹学家A.L. Saaty于本世纪70年代提出的层次分析法 ( Analytical Hierar-chy Process,简称AHP方法),是一种定性 与定量相结合的决策分析方法。它是一种将决策者对复杂系统的决策 思维过程模型化、数量化的过程。应用这种方法,决策者通过将复杂 问题分解为若干层次和若千因素,在各因素之间进行简单的比较和计 算,就可以得出不同方案的权重,为最佳方案的选择提供依据。 层次分析法(AP)基本原理 AHP法首先把问题量按问颗号质和总目标将此问题分解成 不同层次,构成一个多属火的析结制模型目分为最低层(供决策的 方案、措施等),相对于最高层(总目标)的相对重要性权值的确定 或相对优劣次序的排序问题。 翻层次分析法(AHP)特点 ↓分析思路清楚,可将系统分析人员的思维过程系统化、数学化 和模型化; 分析时需要的定量数据不多,但要求对问题所包含的因素及其 关系具体而明确; 4这种方法适用于多准则、多目标的复杂问题的决策分析,广泛 用于地区经济发展方案比较、科学技术成果评比、资源规划和 分析以及企业人员素质测评 版权所有一京华孤客 欢迎访问我的个人主页 ttp: //free. 6to23. com/hgk1983 第1页共15页
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 2005-05-04 用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 一、 层次分析法（AHP）简介 层次分析法（AHP）的由来 美国运筹学家 A.L.Saaty 于本世纪 70 年代提出的层次分析法 （Analytical Hierar-chy Process，简称 AHP 方法)，是一种定性 与定量相结合的决策分析方法。它是一种将决策者对复杂系统的决策 思维过程模型化、数量化的过程。应用这种方法，决策者通过将复杂 问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计 算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。 层次分析法（AHP）基本原理 AHP 法首先把问题层次化，按问题性质和总目标将此问题分解成 不同层次，构成一个多层次的分析结构模型，分为最低层（供决策的 方案、措施等），相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定 或相对优劣次序的排序问题。 层次分析法（AHP）特点 分析思路清楚，可将系统分析人员的思维过程系统化、数学化 和模型化； 分析时需要的定量数据不多，但要求对问题所包含的因素及其 关系具体而明确； 这种方法适用于多准则、多目标的复杂问题的决策分析，广泛 用于地区经济发展方案比较、科学技术成果评比、资源规划和 分析以及企业人员素质测评。 版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983 第 1 页 共 15 页
用 Excel求解层次分析法(AHP)问题 2005-05-04 二、层次分析法(AHP)的具体步骤 明确问题 在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问题时,首先要 对问题有明确的认识,弄清问题的范围,了解问题所包含的因素, 确定出因素之间的关联关系和隶属关系。 递阶层次结构的建立 根据对问题分析和了解,将问题所包含的因素,按照是否共 有某些特征进行归纳成组,并把它们之间的共同特性看成是系统 中新的层次中的一些因素,而这些因素本身也按照另外的特性组 合起来,形成更高层次的图素,直到最终形成单一的最高层次因 素 0最高层是目标 0中间层是准则层 0最低层是方案层或措施层 √建立两两比较的判断矩阵 判断矩阵表示针对上一层次某单元(元素),本层次与它有 关单元之间相对重要性的比较。一般取如下形式: pl p p1 b11 b12...bln p2b21b2462 版权所有一京华孤客 欢迎访问我的个人主页 ): //free. 6to23. com/hgk1983 第2页共15页
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 2005-05-04 二、层次分析法（AHP）的具体步骤 9 明确问题 在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问题时，首先要 对问题有明确的认识，弄清问题的范围，了解问题所包含的因素， 确定出因素之间的关联关系和隶属关系。 9 递阶层次结构的建立 根据对问题分析和了解，将问题所包含的因素，按照是否共 有某些特征进行归纳成组，并把它们之间的共同特性看成是系统 中新的层次中的一些因素，而这些因素本身也按照另外的特性组 合起来，形成更高层次的因素，直到最终形成单一的最高层次因 素。 o 最高层是目标层 o 中间层是准则层 o …….. o 最低层是方案层或措施层 9 建立两两比较的判断矩阵 判断矩阵表示针对上一层次某单元（元素），本层次与它有 关单元之间相对重要性的比较。一般取如下形式： Cs p1 p2 … … pn p1 b11 b12 … … b1n p2 b21 b22 … … b2n 版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983 第 2 页 共 15 页
用 Excel求解层次分析法(AHP)问题 2005-05-04 p bn1 bn2 在层次分析法中,为了使判断定量化,关键在于设法使任意 两个方案对于某一准则的相对优越程度得到定量描述。一般对单 一准则来说,两个方进行比较总能判断出优劣,层次分析法采 用1-9标度方法,对不同情况的评比给出数量标度 标度定义与说明 两个元素对某个属性具有同样重要性 两个素漫校,一/另一元素稍微重要 两个素吨较,青那用另一元素明显重要 两个元素比较,一元素比另一元素重要得多 两个元素比较,一元素比另一元素极端重 2,4,6,q表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度 1/bij两个元素的反比较 判断矩阵B具有如下特征: bii=1 bji =1/ bij bij bik/ bjk (i,j,k=1,2,…n) 判断矩阵中的bij是根据资料数据、专家的意见和系统分析人 版权所有一京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/hgk1983 第3页共15页
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 2005-05-04 … … … … … … … … … … … … pn bn1 bn2 … … bnn 在层次分析法中，为了使判断定量化，关键在于设法使任意 两个方案对于某一准则的相对优越程度得到定量描述。一般对单 一准则来说，两个方案进行比较总能判断出优劣，层次分析法采 用 1-9 标度方法，对不同情况的评比给出数量标度。 标 度 定义与说明 1 两个元素对某个属性具有同样重要性 3 两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要 5 两个元素比较，一元素比另一元素明显重要 7 两个元素比较，一元素比另一元素重要得多 9 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要 2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度 1/bij 两个元素的反比较 判断矩阵 B 具有如下特征： bii = 1 bji = 1/ bij bij = bik/ bjk (i,j,k=1,2,….n) 判断矩阵中的 bij 是根据资料数据、专家的意见和系统分析人 版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983 第 3 页 共 15 页
用 Excel求解层次分析法(AHP)问题 2005-05-04 员的经验经过反复研究后确定。应用层次分析法保持判断思维的 致性是非常重要的,只要矩阵中的bij满足上述三条关系式时, 就说明判断矩阵具有完全的一致性。 判断矩阵一致性指标C.I.( Consistency Index) CI=IMax-n 一致性指标C.I的值越大,表明判断矩阵偏离完全一致性的 程度越大,C.I.的值越小,表明判断矩阵越接近于完全一致性 一般判断矩阵的阶数n越大,人为造成的偏离完全一致性指标CI 的值便越大;n越小,人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值 便越小。 对于多阶判 晋均随机一致性指标 na1n出小你正互反短阵计第100 次得到的平均随机一致性指标。 RIO 00.580.901.121.241.321.411.46 N101112131415 RI1.49|1.521.541.56|1.581.59 当n<3时,判断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵一致性 指标C.I.与同阶平均随机一致性指标R.I.之比称为随机一致 性比率C.R.( Consistency Ratio)。 CR CI 当C.R.<0.10时,便认为判断矩阵具有可以接受的一致 版权所有一京华孤客 欢迎访问我的个人主页 ttp: //free. 6to23. com/hgk1983 第4页共15页
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 2005-05-04 员的经验经过反复研究后确定。应用层次分析法保持判断思维的 一致性是非常重要的，只要矩阵中的 bij 满足上述三条关系式时， 就说明判断矩阵具有完全的一致性。 判断矩阵一致性指标 C.I.(Consistency Index) MAX n CI n 1 λ − = − 一致性指标 C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的 程度越大， C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。 一般判断矩阵的阶数 n 越大，人为造成的偏离完全一致性指标 C.I. 的值便越大；n 越小，人为造成的偏离完全一致性指标 C.I.的值 便越小。 对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标 R.I.(Random Index),下表给出了 1-15 阶正互反矩阵计算 1000 次得到的平均随机一致性指标 。 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.46 N 10 11 12 13 14 15 RI 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 当 n<3 时，判断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵一致性 指标 C.I. 与同阶平均随机一致性指标 R.I. 之比称为随机一致 性比率 C.R.(Consistency Ratio)。 CI CR RI = 当 C.R.< 0.10 时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致 版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983 第 4 页 共 15 页
用 Excel求解层次分析法(AHP)问题 2005-05-04 性。当C.R.>0.10时,就需要调整和修正判断矩阵,使其满足 C.R.<0.10,从而具有满意的一致性 层次单排序 层次单排序就是把本层所有各元素对上一层来说,排出评比 顺序,这就要计算判断矩阵的最大特征向量,最常用的方法是和 积法和方根法 和积法具体计算步骤: ◇将判断矩阵的每一列元素作归一化处理,其元素的 般项为 将每 化后的判断矩阵按行相加为 b(i=1 今对向量(W1,W2…W)t归一化处理: (1=1,2.n) W=(W1, Wn)t 即为所求的特征向量的近似解。 ◇计算判断矩阵最大特征根max (BW)1 nw 方根法具体计算步骤 版权所有一京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/hgk1983 第5页共15页
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 2005-05-04 版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983 性。当 C.R. ≥0.10 时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足 C.R.< 0.10 ，从而具有满意的一致性。 9 层次单排序 层次单排序就是把本层所有各元素对上一层来说，排出评比 顺序，这就要计算判断矩阵的最大特征向量，最常用的方法是和 积法和方根法。 和积法具体计算步骤： 将判断矩阵的每一列元素作归一化处理，其元素的 一般项为 ij ij ij b b (i,j=1,2,3......n) b = ∑ n i ij j 1 w b (i 1,2......n) = = = ∑ 将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为 对向量 W=（ W1， W2…… Wn)t 归一化处理: i i n j j=1 w w (i 1,2......n) w = = ∑ W=（ W1， W2…… Wn)t 即为所求的特征向量的近似解。 计算判断矩阵最大特征根 λmax n J max i 1 i (BW) nw λ = = ∑ 方根法具体计算步骤 第 5 页 共 15 页
用 Excel求解层次分析法(AHP)问题 2005-05-04 今将判断矩阵的每一行元素相乘Mij ◇计算M的n次方根 (1=1,2.n) ◆对向量W(W1,W2…W)t归一化处理: W,=Ny(i=12…n) W=(W1,W2……Wn)t 即为所求的特征向量的近似解。 令计算判断矩阵最大特征根m8x √层次综合排序 1 利用层次单排序的计算结果,进一步综合出对更上一层次的优 劣顺序,就是层次总排序的任务 三、层次分析法举例 某单位拟从三名干部中提拔一人担任领导工作,干部的优劣(由 上级人事部门提出),用六个属性来衡量:健康状况、业务知识、写 作水平、口才、政策水平、工作作风,分别用p1、p2、p3 p5、p6来表示。判断矩阵如下A D6 /2 版权所有一京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/hgk1983 第6页共15页
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 2005-05-04 版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983 将判断矩阵的每一行元素相乘 Mij n ij ij j 1 M b (i 1, 2.....n) = = ∏ = 计算Mi 的n 次方根Wi n wi i = = m (i 1,2.....n) 对向量 W=（ W1， W2…… Wn)t 归一化处理: i i n j j=1 w w (i 1,2......n) w = = ∑ W=（ W1， W2…… Wn)t 即为所求的特征向量的近似解。 计算判断矩阵最 大特征根 λmax 9 层次综合排序 利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优 劣顺序，就是层次总排序的任务。 三、 担任领导工作，干部的优劣（由 六个属性来衡量：健康状况、业务知识、写 作水 层次分析法举例 某单位拟从三名干部中提拔一人 上级人事部门提出），用 平、口才、政策水平、工作作风，分别用 p1 、 p2 、 p3 、 p4 、 p5 、 p6 来表示。判断矩阵如下 A。 A p1 p2 p3 p4 p5 p6 p1 1 1 1 4 1 1/2 n J max i 1 i (BW) nw λ = = ∑ 第 6 页 共 15 页
用Exce求解层次分析法(AHP)问题 2005-05-04 /2 1/2 1/4 1/4 1/5 1/3 /3 D5 组织部门给三个人,甲、乙、丙对每个目标的层性打分 康状况 1/4 业务水平 /4 /5 1/2 作水平 版权所有一京华孤客 欢迎访问我的个人主页 ): //free. 6to23. com/hgk1983 第7页共15页
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 2005-05-04 p2 1 1 2 4 1 1/2 p3 1 1/2 1 5 3 1/2 p4 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 p5 1 1 1/3 3 1 1 p6 2 2 2 3 1 1 组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。 健康状况 甲 乙 丙 甲 1 1/4 1/2 乙 4 1 3 丙 2 1/3 1 业务水平 甲 乙 丙 甲 1 1/4 1/5 乙 4 1 1/2 丙 5 2 1 写作水平 甲 乙 丙 版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983 第 7 页 共 15 页
用Exce求解层次分析法(AHP)问题 2005-05-04 1/5 口才 1/3 /5 1/7 政策水平 /7 工作作风 /7 1/9 1/5 版权所有一京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/hgk1983 第8页共15页
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 2005-05-04 甲 1 3 1/5 乙 1/3 1 1 丙 5 1 1 口才 甲 乙 丙 甲 1 1/3 5 乙 3 1 7 丙 1/5 1/7 1 政策水平 甲 乙 丙 甲 1 1 7 乙 1 1 7 丙 1/7 1/7 1 工作作风 甲 乙 丙 甲 1 7 9 乙 1/7 1 5 丙 1/9 1/5 1 版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983 第 8 页 共 15 页
用 Excel求解层次分析法(AHP)问题 2005-05-04 层次分析图如下 总目标L提拔一位干部担任领导工作 5 目 示 健康状况一 业务水平 写作水平 才 政策水平 作作风 方案层 丙 用方根法求最大特征值和最大特征相量如 A的最大特征值为6.35,特征相量为 B2=(0.160.190190050.2,0.30) 各属性的最大特征值为 特征值健康水业务知写作能口才政策水工作作 平 识 力 平 风 3.023.023.563.053.003.21 相应特征相量为 0.140.100.320280470.77 B3=0.630.330220650470.17 0.240.570460.07007005 版权所有一京华孤客 欢迎访问我的个人主页 ): //free. 6to23. com/hgk1983 第9页共15页
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 2005-05-04 版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983 第 9 页 共 15 页 分析图如下 用方根法求最大特征值和最大特征相量如下 各属性的最大特征值为 知 写作能 口才 政 策 水 工作作 层次 提拔一位干部担任领导工作 健 康 A 的最大特征值为 6.35，特征相量为 T B2 = (0.16,0.19,0.19,0.05,0.12,0.30) 特征值 健 康 水 业 务 平 识 力 平 风 λmax 3.02 3.02 3.56 3.05 3.00 3.21 相应特征相量为 0.65 0.47 0.17 0.24 0.57 0.460.07 0.07 0.05 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 3 0.14 0.10 0.32 0.28 0.47 0.77 B 0.63 0.33 0.22 ⎡ ⎤ ⎢ = 状 况 业 务 水 平 写 作 水 平 口 才 政 策 水 平 工 作 作 风 甲 乙 丙 w1 w2 w3 w4 w5 w6 总目标 方案层 子 目 标
用 Excel求解层次分析法(AHP)问题 2005-05-04 于是有w3=B2B3=(040,034026 在三人中选择A担任领导 四、用 excel求解层次分析法问题 求解层次分析法问题需要很大的计算量,采用常见的exce1软件 计算层次分析法简单方便,可以收到事半功倍的效果 用exce求解层次分析法主要是最大特征值和特征相量的求解 下面我们以和积法为例说明如何用 excel解AHP问题 我们用的例子是:一家公司决定购买一栋房子,经过初步调查研 究,确定了三个候选房A、B、C。从经济、地理、建筑三个因素出发 考虑,购买满意房子的决策判据有八个方面: 1)面积 2)交通 传 3)环境 4)房龄 5)空地,指花园、停车场; 6)设备 7)结构 8)价格 对八个准则和候选房子构造判断矩阵如下: 版权所有一京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/hgk1983 第10页共15页
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题 2005-05-04 版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983 于是有 在三人中选择 A 担任领导 excel 求解层次分析法问题 要很大的计算量，采用常见的 excel 软件 半功倍的效果。 因素出发 考虑 指花园、停车场； 对八个准则和候选房子构造判断矩阵如下： T w3 2 B B3 = = (0.40,0.34,0.26) 四、 用 求解层次分析法问题需 计算层次分析法简单方便，可以收到事 用 excel 求解层次分析法主要是最大特征值和特征相量的求解， 下面我们以和积法为例说明如何用 excel 解 AHP 问题。 我们用的例子是：一家公司决定购买一栋房子，经过初步调查研 究，确定了三个候选房 A、B、C。从经济、地理、建筑三个 ，购买满意房子的决策判据有八个方面： 1) 面积 2) 交通 3) 环境 4) 房龄 5) 空地， 6) 设备 7) 结构 8) 价格 第 10 页 共 15 页