第六讲3.4多自由度弹性体系的地震反应分析口3.5多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用
3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 3.5 多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用 第 六 讲
S3.4多自由度弹性体系的地震反应分析一、多自由度弹性体系的运动方程在单向水平地面运动作用下，多自由度体系mnXnf的变形如图所示。xm设该体系各质点的相对水平位移为x,(i=1,2, .".,n),m其中n为体系自由度数X1Jn则各质点所受的水平惯性力为++fn=-m,(x，+x)Xg图多自由度体系的变形f12=-mz（x+x2）fin=-mn(x。+xn)
§3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 一、多自由度弹性体系的运动方程 图 多自由度体系的变形 在单向水平地面运动作用下，多自由度体系 的变形如图所示。 设该体系各质点的相对水平位移为 xi(i=1,2,.,n), 其中n为体系自由度数， 则各质点所受的水平惯性力为 ( ) 1 1 1 f m x x I g = − + ( ) 2 2 2 f m x x I g = − + ( ) In n g n f = −m x + x
mnXn(F)=-[M((甲)+(1)xg)体系水平惯性力-n其中F-n12因[区，，,m;XJnmm2(0]-[1, ,][M]-myxfnmn-[K x]= (F]刚度方程：**xg(] -[,, , x,]图多自由度体系的变形[M []+[K Jx]=-[M J1]x多自由度体系无阻尼运动方程多自由度有阻尼体系运动方程[M [x] + [c](]+ [K Jx]= -[M Jx()-[x,x2,, x]
体系水平惯性力 ( 1 ) g F = − M x + x 其中 T I I In F [ f , f , , f ] = 1 2 T n x x , x , , x = 1 2 T 1 = 1,1, ,1 = mn m m M 2 1 刚度方程： Kx= F 多自由度体系无阻尼运动方程 g M x + K x = − M 1 x 多自由度有阻尼体系运动方程 g M x + C x + K x = − M 1 x 图 多自由度体系的变形 1 2 , , , T n x x x x = T n x x , x , , x = 1 2
二、多自由度体系的自由振动＊自由振动方程不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令x。=0[M [(]+[K ]x]= (0]多自由度自由振动方程设方程的解为(=sin(ot+）（-[2各质点振幅）二关于时间t微分两次得=-のsin(ot+）代入振动方程得：([K ]-0[Mb(@)sin(ot + p) = 0由于sin(のt+β)+0则须有：([]- 0[Mb(@)- (0)动力特征方程
( 各质点振幅） 二、多自由度体系的自由振动 ＊自由振动方程 不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令 多自由度自由振动方程 = 0 g x M x +Kx= 0 (K− 2 M )= 0 动力特征方程 设方程的解为 x= sin(t + ) T n , , , = 1 2 sin( ) 2 关于时间t微分两次得 x = − t + ( ) sin( ) 0 2 K − M t + = 代入振动方程得： 由于 sin(t +) 0 则须有：
＊自振频率动力特征方程(k]- 0?[mb(@)= (0)有非零解，则必有：体系发生振动，[k]-α [M] = 0多自由度体系的动力特征值方程其解由小到大排列为の,02,0,の（i=1,2,n）为体系第阶自由振动圆频率一个n自由度体系，有n个自振圆频率，即有n种自由振动方式或状态
＊自振频率 体系发生振动， 有非零解，则必有： 0 2 K − M = ——多自由度体系的动力特征值方程 (i 1,2, , n) i = 其解由小到大排列为 2 2 2 2 1 , , , n 为体系第i阶自由振动圆频率 一个n自由度体系，有n个自振圆频率，即有n种自由振动方式或状态 动力特征方程 ( ) 0 2 K − M =
例题3-3计算仅有两个自由度体系的自由振动频率m0kk12[K][M]k21k220m2[k]- α [M] = 0可得：解：由式0kki2m,02I[K]-"[M]I0kak22mz=mm(o)-(km+kzm)o+(k22-kk2）=0解上方程得：olkk.k22-k2k21(k.k2)k221-2干0222mm,m,mzm2m2
例题3-3 计算仅有两个自由度体系的自由振动频率 = 21 22 11 12 k k k k K = 2 1 0 0 m m M 解：由式 − − = 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 0 0 |[ ] [ ]| m m k k k k K M ( ) ( ) ( ) 11 22 12 21 2 11 2 22 1 2 2 1 2 = m m − k m + k m + k k − k k 0 2 K − M = = 0 解上方程得： 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 m m k k k k m k m k m k m k − − = + + 可得：
＊振型多自由度体系以某一阶圆频率の，自由振动时，将有一特定的振幅）与之相应它们之间应满足动力特征方程([k]-o? [mb(g,)= (0)6设(o)-[0u,pi2,-1-0n/0im,0i2/im0m-1/0im-与相应，用分块矩阵表达[A,n-1(B,In-I([K]-0 [M)[(B-)C
多自由度体系以某一阶圆频率 ＊振型 i 自由振动时，将有一特定的振幅 { } i 与之相应 它们之间应满足动力特征方程 ( ) 0 2 K −i M i = T 1 2 1 , , , , 设 i = i i in− in T 1 2 1 [ / , / , , / ,1] =i n i i n i i n i n− i n = − 1 i n 1 in { } 与 i 相应，用分块矩阵表达 − = − − − i n i i n i n i B C A B K M T 1 2 1 1 { } [ ] { } ( )
[4(B-0)-0)则动力特征方程din(BITS展开得解得、)--[4,]后(Bm-1(**)[4, n-(@- +(B,)n-1 =(0)(B@)- +C, =0(*)将（**）代入（*），可用以复验6求解结果的正确性
则动力特征方程 0 { } 1 [ ] { } 1 T 1 1 1 = − − − − i n i n i i n i n i n B C A B 展开得 [ ] { } 1 0 1 1 + − = Ai n− i n− Bi n { } 0 1 T 1 + = Bi n− i n− Ci 1 1 1 1 [ ] { } − − i n− = − Ai n− Bi n 解得 （**） （*） 将（**）代入（*），可用以复验 i n−1 求解结果的正确性
令中im=a,）(o.)=a, (6)由此得体系以の,频率自由振动的解为(x)=a,师)sin(,t+)体系在自由振动过程中的形状保持不变定义：振型把反映体系自由振动形状的向量=α称为振型把称为规则化的振型，也可简称为振型也称为第i阶振型
由此得体系以 i 频率自由振动的解为 x= a sin( t + ) i i i 体系在自由振动过程中的形状保持不变 定义：振型 i = ai i { } i 把反映体系自由振动形状的向量 称为振型 把 称为规则化的振型，也可简称为振型 { } i 也称为第i 阶振型 令 in = ai = − 1 i n 1 i i = ai i
m3=1000kg1例题3-4L4mk3=600kN/mm2 = 1500 kg三层剪切型结构如图所示求该结构的自振圆频率和振型4mkz=1200kN/mmi= 2000kg解：该结构为3自由度体系质量矩阵和刚度矩阵分别为5mk=1800kN/m20001.50x10kg[M]=00130-1.2x10°N/m[K]--1.21.8-0.60-0.60.6先由特征值方程求自振圆频率，令02B600
例题3-4 三层剪切型结构如图所示， 求该结构的自振圆频率和振型 解：该结构为3自由度体系， 质量矩阵和刚度矩阵分别为 10 kg 0 0 1 0 1.5 0 2 0 0 [ ] 3 M = 10 N / m 0 0.6 0.6 1.2 1.8 0.6 3 1.2 0 [ ] 6 − − − − K = 先由特征值方程求自振圆频率，令 600 B 2 =