第一章高中数学的课程目标和内容第一节确定中学数学课程目标和内容的依据教学目标：使学生理解确定中学数学课程目标和内容的依据。教学重点、难点：确定中学数学课程目标和内容的依据中数学自身的特点及中学生的学习基础和年龄特征是本节重点：其中中学生的学习基础和年龄特征也是本节的难点。教学方法：讲解法教学过程：一、中学教育的性质和任务中学教育性质属于普通教育，是对学生进行一般科学文化知识教育，为他们在德、智、体等方面的发展，奠定中等普通科学文化基础，或者说，为人一生正常地工作、生活和继续学习打下中等教育基础。因而，中学教育的任务是为学生毕业后升学与接受职业技术教育所必备的数学基础知识，基本技能和数学能力，同时还要照顾我国存在着地区与地区、城市与乡村之间的差别，既要有统一性，又要有灵活性。二、数学自身的特点及其在培养人才中所起的作用1.特点数学以现实世界的空间形式和数量关系为其研究对象。数学内容的基本特点：具有高度的抽象性，严密的逻辑性和应用的广泛性。数学自身的特点：模型化、数量化、算法化、论述的严谨性、语言表达的精炼性和丰富的辩证唯物主义思想等诸多方面。2.作用（1）有利于发展学生的观察力、注意力、记忆力和想象力。（2）有利于培养学生的空间想象能力和运算能力。（3）数学知识具有广泛的应用价值。一方面，在日常生活、生产实际中都要运用数学的知识、思想和方法，同时数学知识也是进一步学习科学技术的基础；另一方面，在社会科学中也越来越多地使用着数学语言、思想、方法和符号，发挥着重"数学是一切科学的得力助手和工具"的作用。（4）数学中充满着丰富的辩证唯物主义思想，所以数学教学有利于培养学生的辩证唯物主义思想。综上所述，数学在发展智力、培养能力等方面起着重要的作用，它为学生毕业后适应生活、就业、自学和升学读书所必需。因此，确定中学数学课程目标和内容必须考虑数学自身的特点及其在培养人才中所起的作用。三、中学生的学习基础和年龄特征中学生的学习基础：以小学教育阶段的学习为基础，在小学阶段养成的学习方法、学习习惯都影响着中学阶段的的学习
第一章 高中数学的课程目标和内容 第一节 确定中学数学课程目标和内容的依据 教学目标： 使学生理解确定中学数学课程目标和内容的依据。 教学重点、难点： 确定中学数学课程目标和内容的依据中数学自身的特点及中学生的学习基础和年龄特征是本节重 点；其中中学生的学习基础和年龄特征也是本节的难点。 教学方法： 讲解法 教学过程： 一、中学教育的性质和任务 中学教育性质属于普通教育，是对学生进行一般科学文化知识教育，为他们在德、智、体等方面 的发展，奠定中等普通科学文化基础，或者说，为人一生正常地工作、生活和继续学习打下中等教 育基础。 因而，中学教育的任务是为学生毕业后升学与接受职业技术教育所必备的数学基础知识，基本技 能和数学能力，同时还要照顾我国存在着地区与地区、城市与乡村之间的差别，既要有统一性，又 要有灵活性。 二、数学自身的特点及其在培养人才中所起的作用 1．特点 数学以现实世界的空间形式和数量关系为其研究对象。 数学内容的基本特点：具有高度的抽象性，严密的逻辑性和应用的广泛性。 数学自身的特点：模型化、数量化、算法化、论述的严谨性、语言表达的精炼性和丰富的辩证唯 物主义思想等诸多方面。 2．作用 （1）有利于发展学生的观察力、注意力、记忆力和想象力。 （2）有利于培养学生的空间想象能力和运算能力。 （3）数学知识具有广泛的应用价值。一方面，在日常生活、生产实际中都要运用数学的知识、思 想和方法，同时数学知识也是进一步学习科学技术的基础；另一方面，在社会科学中也越来越多地 使用着数学语言、思想、方法和符号，发挥着重"数学是一切科学的得力助手和工具"的作用。 （4）数学中充满着丰富的辩证唯物主义思想，所以数学教学有利于培养学生的辩证唯物主义思 想。 综上所述，数学在发展智力、培养能力等方面起着重要的作用，它为学生毕业后适应生活、就 业、自学和升学读书所必需。因此，确定中学数学课程目标和内容必须考虑数学自身的特点及其在 培养人才中所起的作用。 三、中学生的学习基础和年龄特征 中学生的学习基础：以小学教育阶段的学习为基础，在小学阶段养成的学习方法、学习习惯都影 响着中学阶段的的学习
思维发展心理学研究表明：初中生的抽象逻辑思维以经验型为主；高中生的抽象逻辑由经验型向理论型急剧转化。因而，在确定中学数学课程目标和内容时要考虑中学生所处年龄段的思维能力。四、社会的需求教育的作用是要把自然的人培养成社会的人、社会的生产力。所以，社会的政治经济和科学技术的需求也在很大程度上影响着数学课程的目标和内容。数学教育要符合信息时代的社会需求，以及公众对数学教育的需求。五、教师的状况教师是教学活动的组织者和学生活动的引导者，教学的各项工作最终都要由一线教师来完成。波利亚曾说过，”仅有知识而无兴趣很容易沦为一个极差的教师。而如果对有的东西一知半解，缺之较好的训练和培养，那么即使有良好的愿望，有兴趣，有教学方法，甚至还有其它的手段也无济于事，因为他连把内容讲得一清二楚这种起码的事都做不到。”。因此，大多数数学教师的数学专业基础知识、教学水平、教学态度、教学方式等状况也是确定中学数学课程目标和内容的主要依据。习题：确定中学数学课程目标和内容的主要依据有哪些？：思考作为一名数学教师应具有哪些基本素质？第二节高中数学的课程自标和内容教学目标：1.使学生掌握高中数学课程目标；2.使学生明确高中数学课程内容。教学重、难点：对高中数学课程目标的掌握与对高中数学课程内容的了解是本节重点；对高中数学课程目标的理解与高中数学课程内容全面清晰的认识是本节的难点。教学方法：讲解法与讨论法相结合教学过程：高中数学课程目标教育部在2003年颁布了《普通高中数学课程标准（实验稿）》，在《普通高中数学课程标准（实验稿）》中提出高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下：（1）获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用.通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。（2）提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。（3）提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。（4）提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力
思维发展心理学研究表明：初中生的抽象逻辑思维以经验型为主；高中生的抽象逻辑由经验型 向理论型急剧转化。因而，在确定中学数学课程目标和内容时要考虑中学生所处年龄段的思维能 力。 四、社会的需求 教育的作用是要把自然的人培养成社会的人、社会的生产力。所以，社会的政治经济和科学技术 的需求也在很大程度上影响着数学课程的目标和内容。数学教育要符合信息时代的社会需求，以及 公众对数学教育的需求。 五、教师的状况 教师是教学活动的组织者和学生活动的引导者，教学的各项工作最终都要由一线教师来完成。波 利亚曾说过，"仅有知识而无兴趣很容易沦为一个极差的教师。而如果对有的东西一知半解，缺乏较 好的训练和培养，那么即使有良好的愿望，有兴趣，有教学方法，甚至还有其它的手段也无济于 事，因为他连把内容讲得一清二楚这种起码的事都做不到。"。因此，大多数数学教师的数学专业基 础知识、教学水平、教学态度、教学方式等状况也是确定中学数学课程目标和内容的主要依据。 习题： . 确定中学数学课程目标和内容的主要依据有哪些？ . 思考作为一名数学教师应具有哪些基本素质？ 第二节 高中数学的课程目标和内容 教学目标： 1．使学生掌握高中数学课程目标； 2．使学生明确高中数学课程内容。 教学重、难点： 对高中数学课程目标的掌握与对高中数学课程内容的了解是本节重点；对高中数学课程目标的理 解与高中数学课程内容全面清晰的认识是本节的难点。 教学方法： 讲解法与讨论法相结合 教学过程： 高中数学课程目标 教育部在2003年颁布了《普通高中数学课程标准（实验稿）》，在《普通高中数学课程标准 （实验稿）》中提出高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步 提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下： （1）获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概 念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作 用.通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。 （2）提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 （3）提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能 力，发展独立获取数学知识的能力。 （4）提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能 力，发展独立获取数学知识的能力
（5）提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。（6）具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。上述六条目标基本可分为三个层次：第一个层次是知识与技能；第二个层次是过程与方法；第三个层次就是情感、态度与价值观。通过数学教学，使学生在这三个方面都得到应有的发展。这六条目标具有如相特点：（1）与时俱进地认识双基”，即为适应信息时代发展的需要，把最基本的数据处理、统计知识等内容列入新的数学基础知识和基本技能之中；使学生开展自主学习、探究活动。（2）在”空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力”中，数据处理能力是《普通高中数学课程标准》对基本能力一个发展。（3）”提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力”是《普通高中数学课程标准》对数学能力的基本要求，而”提高数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，以及独立获取数学知识的能力”是对数学能力的进一步要求。（4）”提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力”，是《普通高中数学课程标准》对应用意识和创新意识的具体化和明确化。（5）在数学课程中情感、态度、价值观的培育是促进学生全面和谐发展的需要。二、高中数学课程内容高中数学课程包括必修课程和选修课程两部分内容，必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，对于选修课程，学生可以根据自已的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。（一）必修课程必修课程是高中数学中的基础课程，它包括数学1、数学2、数学3、数学4、数学5共5个模块。其内容的确定遵循两个原则：一是满足未来公民的基本数学需求，二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。学生在完成必修课程的学习任务后，可以达到高中毕业要求。5个模块的内容分别是：数学11.集合：集合的含义与表示、集合间的基本关系、集合的基本运算；2.函数概念与基本初等函数I：函数、指数函数、对数函数、幂函数、函数与方程、函数模型及其应用、实习作业（写出有关函数概念的形成、发展或应用的文章进行交流）。数学21.立体几何初步：空间几何体、点线面之间的位置关系；2．平面解析几何初步、直线与方程、圆与方程、用代数方法处理几何问题的思想、空间直角坐标系。数学31.算法初步：算法的含义和程序框图、基本算法语句、阅读中国古代算法案例并体会中国古代数学对世界数学发展的贡献；2．统计：随机抽样、用样本估计总体、变量的相关性；
（5）提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 （6）具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思 维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主 义世界观。 上述六条目标基本可分为三个层次：第一个层次是知识与技能；第二个层次是过程与方法；第 三个层次就是情感、态度与价值观。通过数学教学，使学生在这三个方面都得到应有的发展。这六 条目标具有如相特点： （1）与时俱进地认识"双基"，即为适应信息时代发展的需要，把最基本的数据处理、统计知识 等内容列入新的数学基础知识和基本技能之中；使学生开展自主学习、探究活动。 （2）在"空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力"中，数据处理能力 是《普通高中数学课程标准》对基本能力一个发展。 （3）"提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力"是《普通高中数 学课程标准》对数学能力的基本要求，而"提高数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和 交流的能力，以及独立获取数学知识的能力"是对数学能力的进一步要求。 （4）"提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能 力，发展独立获取数学知识的能力"，是《普通高中数学课程标准》对应用意识和创新意识的具体 化和明确化。 （5）在数学课程中情感、态度、价值观的培育是促进学生全面和谐发展的需要。 二、高中数学课程内容 高中数学课程包括必修课程和选修课程两部分内容，必修课程是每个学生都必须学习的数学 内容，对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。 （一）必修课程 必修课程是高中数学中的基础课程，它包括数学1、数学2、数学3、数学4、数学5共5个模块。其 内容的确定遵循两个原则：一是满足未来公民的基本数学需求，二是为学生进一步的学习提供必要 的数学准备。学生在完成必修课程的学习任务后，可以达到高中毕业要求。5个模块的内容分别是： 数学1 1．集合：集合的含义与表示、集合间的基本关系、集合的基本运算； 2．函数概念与基本初等函数I：函数、指数函数、对数函数、幂函数、函数与方程、函数模型及 其应用、实习作业（写出有关函数概念的形成、发展或应用的文章进行交流）。 数学2 1．立体几何初步：空间几何体、点线面之间的位置关系； 2．平面解析几何初步、直线与方程、圆与方程、用代数方法处理几何问题的思想、空间直角坐 标系。 数学3 1．算法初步：算法的含义和程序框图、基本算法语句、阅读中国古代算法案例并体会中国古 代数学对世界数学发展的贡献； 2．统计：随机抽样、用样本估计总体、变量的相关性；
3概率：随机事件发生的不确定性和频率的稳定性、概率的意义以及频率与概率的区别、两个互斥事件的概率加法公式、古典概型及其概率计算公式、用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率、随机数的意义、运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率、几何概型的意义、利用阅读材料了解人类认识随机现象的过程。数学41.基本初等函数II（三角函数）：任意角与弧度、三角函数：2.平面向量：平面向量的实际背景及基本概念、向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、向量的应用；3.三角恒等变换：用向量的数量积推导两角差的余弦公式并体会向量方法的作用、用两角差的余弦公式推导各个和角公式和差角公式以及二倍角公式、运用上述公式进行简单的恒等变换。数学5：1.解三角形：正弦定理和余弦定理及其简单运用、运用正弦定理和余弦定理解决与测量和几何计算有关的一些实际问题；2.数列：数列的概念和简单表示法、等差数列和等比数列；3.不等式：不等关系、一元二次不等式、二元一次不等式组与简单线性规划问题、基本不等式。（二）选修课程选修课程的内容分为四个系列。在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生可以根据自已的兴趣和需求，选择学习系列1或系列2。系列1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，包括2个模块；系列2则是为希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的，包括3个模块。在系列1和系列2的课程中，有些内容及要求是相同的，有些内容基本相同但要求不同，还有些内容是不同的。系列3由6个专题组成，系列4由10个专题组成。系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容都是数学的基础性内容，反映了某些重要的数学思想。不论是选修系列1的学生，还是选修系列2的学生，都可选修系列3和系列4。必修课程是选修课程中系列1和系列2课程的基础，但选修课程中系列3和系列4基本上不依赖其他系列的课程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。（三）高中数学课程内容的主要特点1.增加了新内容（1）在必修课程和选修课程的系列1和系列2中，新增加了算法初步、推理与证明、框图这三项内容；（2）在选修课程的系列3和系列4中，有很多专题是第一次引入高中数学课程中的（3）增加了数学探究、数学建模、数学文化三项主要内容，它们贯穿于整个高中课程之中，不单独设置，渗透在每个模块或专题中。2.削弱了三角函数恒等变换的证明，降低了对集合（在必修课程中）和常用逻辑用语（在系列1和系列2中）的学习要求，减少了对不等式证明的要求和立体儿何中综合证明的内容。3.加强了向量的内容。在系列2中把空间向量与立体几何结合起来，用向量的方法，证明空间有关直线和平面位置关系的一些定理。4．重视了学生对于统计思想的认识，通过适量的案例让学生体会统计的思想和方法
3．概率：随机事件发生的不确定性和频率的稳定性、概率的意义以及频率与概率的区别、两个 互斥事件的概率加法公式、古典概型及其概率计算公式、用列举法计算一些随机事件所含的基本事 件数及事件发生的概率、随机数的意义、运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计 概率、几何概型的意义、利用阅读材料了解人类认识随机现象的过程。 数学4 1．基本初等函数II（三角函数）：任意角与弧度、三角函数； 2．平面向量：平面向量的实际背景及基本概念、向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐 标表示、平面向量的数量积、向量的应用； 3．三角恒等变换：用向量的数量积推导两角差的余弦公式并体会向量方法的作用、用两角差 的余弦公式推导各个和角公式和差角公式以及二倍角公式、运用上述公式进行简单的恒等变换。 数学5： 1．解三角形：正弦定理和余弦定理及其简单运用、运用正弦定理和余弦定理解决与测量和几 何计算有关的一些实际问题； 2．数列：数列的概念和简单表示法、等差数列和等比数列； 3．不等式：不等关系、一元二次不等式、二元一次不等式组与简单线性规划问题、基本不等 式 。 （二）选修课程 选修课程的内容分为四个系列。在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生， 可以根据自己的兴趣和需求，选择学习系列1或系列2。系列1是为希望在人文、社会科学等方面发展 的学生而设置的，包括2个模块；系列2则是为希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的，包括3 个模块。在系列1和系列2的课程中，有些内容及要求是相同的，有些内容基本相同但要求不同，还 有些内容是不同的。系列3由6个专题组成，系列4由10个专题组成。系列3和系列4是为对数学有兴趣 和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容都是数学的基础性内容，反映了某些重 要的数学思想。不论是选修系列1的学生，还是选修系列2的学生，都可选修系列3和系列4。 必修课 程是选修课程中系列1和系列2课程的基础，但选修课程中系列3和系列4基本上不依赖其他系列的课 程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。 （三）高中数学课程内容的主要特点 1．增加了新内容 （1）在必修课程和选修课程的系列1和系列2中，新增加了算法初步、推理与证明、框图这三项 内容； （2）在选修课程的系列3和系列4中，有很多专题是第一次引入高中数学课程中的； （3） 增加了数学探究、数学建模、数学文化三项主要内容，它们贯穿于整个高中课程之中，不 单独设置，渗透在每个模块或专题中。 2．削弱了三角函数恒等变换的证明，降低了对集合（在必修课程中）和常用逻辑用语（在系列 1和系列2中）的学习要求，减少了对不等式证明的要求和立体几何中综合证明的内容。 3．加强了向量的内容。在系列2中把空间向量与立体几何结合起来，用向量的方法，证明空间有 关直线和平面位置关系的一些定理。 4．重视了学生对于统计思想的认识，通过适量的案例让学生体会统计的思想和方法
5.在基本初等函数II（三角函数）中从函数模型的角度，重点研究现实世界中具有周期性变化的对应关系。6．微积分初步中不再系统地讲解极限概念，只是通过瞬时变化率的描述，着重理解微分的基本思想及其应用。7．在导数的内容中，主要是让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的意义，并用导数为工具，研究函数的单调性、函数的极值和最大（小）值，体会导数在实际中的应用。习题：1《高中数学课程标准》所述的高中数学课程的总自标是任么？具体自标有哪些2.新的高中数学课程中的必修内容有哪些？3.新的高中数学课程选修内容中，系列1和系列2的各个模块分别是什么？系列3和系列4的各专题呢？4.与大纲中的教学内容相比，新的高中数学课程内容具有哪些主要特点？第二章数学基础知识的教学和数学能力的培养第一节数学概念及其教学（一）教学目标：1.明确数学概念的含义：2.掌握数学概念教学的程序和方法。教学重、难点：明确数学概念的含义及数学概念教学的程序和方法是本节的重点，其中数学概念的含义是本节的难点。教学方法：讲解法教学过程：一、数学概念1.数学概念的意义概念：是反映事物的本质属性和特征的思维形式。任何一个正确的概念，都是科学抽象的结果，它既反映了一类事物的全体，又揭示了这类事物所共有的本质属性。数学概念：是一类特殊的概念，它是反映事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式。数学概念是用数学语言表达的，而数学语言又包括文字语言和符号语言，因此数学概念的表达形式是语词和符号。2.概念内涵和外延概念的外延：概念所确定的对象的范围称为概念的外延。概念的内涵：概念所确定的涵义称为。概念的内涵是对概念的质的描述，它反映了概念所属的一类事物的共同属性；概念的外延是对概念的量的刻画，它表明了概念所属的这类事物的范围，这一范围恰是具有上述共同属性的一类事物的集合，称为概念的外延集。内涵与外延两个方面的统一结合，确定了一个概念，并使不同概念之间界线分明，不容混淆
5．在基本初等函数Ⅱ（三角函数）中从函数模型的角度，重点研究现实世界中具有周期性变化 的对应关系。 6．微积分初步中不再系统地讲解极限概念，只是通过瞬时变化率的描述，着重理解微分的基本 思想及其应用。 7．在导数的内容中，主要是让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的意义， 并用导数为工具，研究函数的单调性、函数的极值和最大（小）值，体会导数在实际中的应用。 习题： 1《高中数学课程标准》所述的高中数学课程的总目标是什么？具体目标有哪些？ 2．新的高中数学课程中的必修内容有哪些？ 3．新的高中数学课程选修内容中，系列1和系列2的各个模块分别是什么？系列3和系列4的各专 题呢？ 4．与大纲中的教学内容相比，新的高中数学课程内容具有哪些主要特点？ 第二章 数学基础知识的教学和数学能力的培养 第一节 数学概念及其教学（一） 教学目标： 1．明确数学概念的含义； 2．掌握数学概念教学的程序和方法。 教学重、难点： 明确数学概念的含义及数学概念教学的程序和方法是本节的重点，其中数学概念的含义是 本节的难点。 教学方法： 讲解法 教学过程： 一、数学概念 1．数学概念的意义 概念：是反映事物的本质属性和特征的思维形式。任何一个正确的概念，都是科学抽象的结果， 它既反映了一类事物的全体，又揭示了这类事物所共有的本质属性。 数学概念：是一类特殊的概念，它是反映事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形 式。数学概念是用数学语言表达的，而数学语言又包括文字语言和符号语言，因此数学概念的表达 形式是语词和符号。 2．概念内涵和外延 概念的外延：概念所确定的对象的范围称为概念的外延。 概念的内涵：概念所确定的涵义称为。 概念的内涵是对概念的质的描述，它反映了概念所属的一类事物的共同属性；概念的外延是对概 念的量的刻画，它表明了概念所属的这类事物的范围，这一范围恰是具有上述共同属性的一类事物 的集合，称为概念的外延集。内涵与外延两个方面的统一结合，确定了一个概念，并使不同概念之 间界线分明，不容混淆
概念的内涵与外延之间的关系：概念的内涵与外延之间存在着发展中的反变关系：当内涵增多时，就会得到外延集缩小的新概念；反之，当内涵减少时，就会得到外延集扩大的新概念。3.概念间的关系概念间的关系：是指概念的外延集之间的关系，若两个概念的外延集具有公共元素，则称这两个概念为相容关系，否则称这两个概念为不相容关系。如果设A、B、C三个集合分别是甲、乙、丙三个概念的外延集，那么：（1）若ANB≠Φ，则称甲、乙两概念之间的关系为相容关系。相容关系又可分为同一关系（全同关系）、属种关系（从属关系）和交叉关系，即（2）若AnB为空集且A、B都是C的真子集，则称甲、乙两概念为同一属概念丙之下的不相容关系（全异关系）。不相容关系又可分为矛盾关系和反对关系。概念间的不相容关系是数学中利用反证法和穷举法证题的依据之一。4.概念的定义概念的定义就是揭示一个概念的内涵或外延的逻辑方法。其中揭示内涵的定义称为内涵定义，明确外延的定义称为外延定义。（1）定义的结构及表达形式任何定义都由被定义项Ds、定义项Dp和定义联项组成，其中被定义项Ds是指要求给予明确的概念；定义项Dp是指用来明确被定义项的概念；定义联项是指用来联接定义项和被定义项的词语。由于用于表达定义联项的词语不同，因此对定义的表达形式也有所不同，常见的表达形式为：Ds就是Dp;Ds等于Dp;Ds表示Dp;Ds当且仅当Dp；Dp叫做DsDp称为Ds等等。（2）下定义的规则定义的表述必须合理、正确、简明，因此在下定义时一定要遵循以下规则：规则1定义要相称。即定义项和被定义项的外延集必须相同。规则2定义不得循环。即定义项中所选用的概念必须是已经确定的，不能直接或间接地包含被定义项。规则3定义要简捷。即定义的表达要简明、扼要、精练。规则4定义一般不用否定形式。即除某些非用否定形式表达不可的定义之外，绝大多数定义都要用肯定有关属性的形式表达定义项。5.原始概念原始概念：根据下定义的规则2，定义项中所选用的概念必须是先前已经确定的，也就是已被定义过的，如此顺次上溯，最终必出现未定义过的概念，这样的概念就是原始概念。在数学教材中对所引用的原始概念都作了一定的解释和描述，但对它们的表述形式都不是定义的形式
概念的内涵与外延之间的关系：概念的内涵与外延之间存在着发展中的反变关系：当内涵增多 时，就会得到外延集缩小的新概念；反之，当内涵减少时，就会得到外延集扩大的新概念。 3．概念间的关系 概念间的关系：是指概念的外延集之间的关系，若两个概念的外延集具有公共元素，则称这两个 概念为相容关系，否则称这两个概念为不相容关系。 如果设A、B、C三个集合分别是甲、乙、丙三个概念的外延集，那么： （1）若A∩B≠ф，则称甲、乙两概念之间的关系为相容关系。 相容关系又可分为同一关系（全同关系）、属种关系（从属关系）和交叉关系，即 （2）若A∩B为空集且A B ，则称甲、乙两概念为同一属概念丙之 下的不相容关系（全异关系）。 不相容关系又可分为矛盾关系和反对关系。 概念间的不相容关系是数学中利用反证法和穷举法证题的依据之一。 4．概念的定义 概念的定义就是揭示一个概念的内涵或外延的逻辑方法。其中揭示内涵的定义称为内涵定义，明 确外延的定义称为外延定义。 （1）定义的结构及表达形式 任何定义都由被定义项Ds、定义项Dp和定义联项组成，其中被定义项Ds是指要求给予明确的概 念；定义项Dp是指用来明确被定义项的概念；定义联项是指用来联接定义项和被定义项的词语。由 于用于表达定义联项的词语不同，因此对定义的表达形式也有所不同，常见的表达形式为： Ds就是Dp； Ds等于Dp； Ds表示Dp； Ds当且仅当Dp； Dp叫做Ds Dp称为Ds等等。 （2）下定义的规则 定义的表述必须合理、正确、简明，因此在下定义时一定要遵循以下规则： 规则1 定义要相称。即定义项和被定义项的外延集必须相同。 规则2 定义不得循环。即定义项中所选用的概念必须是已经确定的，不能直接或间接地包 含被定义项。 规则3 定义要简捷。即定义的表达要简明、扼要、精练。 规则4 定义一般不用否定形式。即除某些非用否定形式表达不可的定义之外，绝大多数定 义都要用肯定有关属性的形式表达定义项。 5．原始概念 原始概念：根据下定义的规则2，定义项中所选用的概念必须是先前已经确定的，也就是已被 定义过的，如此顺次上溯，最终必出现未定义过的概念，这样的概念就是原始概 念。 在数学教材中对所引用的原始概念都作了一定的解释和描述，但对它们的表述 形式都不是定义的形式。 、 都是C的真子集
6.概念的划分概念的划分就是把一个属概念按照某一属性划分为若干个互不相容的种概念。被分的属概念称为划分的母项，分得的各个种概念称为划分的子项，划分时所依据的属性称为划分的标准。(1）划分的种类i一次划分法。就是根据实际需要对某一概念只划分一次，将划分后的子项不再继续划分。ii连续划分法。就是根据实际需要，将某一概念第一次划分后把所得的子项又作为母项继续划分，直到满足需要为止。iii二分法。就是将母项划分为两个具有矛盾关系的子项的划分法。这种方法实际上就是将母项中具有某种属性的种概念作为一个子项，而不具有这种属性的种概念作为另一个子项，每次划分都只有两个子项。(2）划分的规则为了使概念的划分准确无误，必须遵循以下规则：规则1划分要相称。规则2每次划分都要用同一标准。即在同一次划分时，只能选用被分概念的同一属性，而不能同时选用两种或两种以上属性。规则3划分要逐级进行，不能越级。即每次划分应取与母项最接近的种概念作为子项，而不能将母项的某一种概念的种概念作为子项。习题：1：什么是数学概念？试举出数学概念的例子。2.什么是概念的内涵和外延？举例说明它们之间的关系。3.概念间的关系有哪几类？其中每一类又有哪几种？4.指出下列概念中每两个概念之间的关系：BCA实数无理数有理数D无限且不循环的小数E分数第二节数学命题及其教学（一）教学目标：1.明确数学命题的含义；2.掌握数学命题教学的程序和方法。教学重、难点：明确数学命题的含义及数学教学命题的程序和方法是本节的重点，其中数学命题的含义是本节的难点。教学方法：讲解法教学过程：一、数学命题1.判断的意义，结构及类型
6．概念的划分 概念的划分就是把一个属概念按照某一属性划分为若干个互不相容的种概念。被分的属概念称 为划分的母项，分得的各个种概念称为划分的子项，划分时所依据的属性称为划分的标准。 （1）划分的种类 i 一次划分法。就是根据实际需要对某一概念只划分一次，将划分后的子项不再继续划 分。 ii 连续划分法。就是根据实际需要，将某一概念第一次划分后把所得的子项又作为母项继 续划分，直到满足需要为止。 iii二分法。就是将母项划分为两个具有矛盾关系的子项的划分法。这种方法实际上就是将母 项中具有某种属性的种概念作为一个子项，而不具有这种属性的种概念作为另一个子项，每次划分 都只有两个子项。 （2）划分的规则 为了使概念的划分准确无误，必须遵循以下规则： 规则1 划分要相称。 规则2 每次划分都要用同一标准。即在同一次划分时，只能选用被分概念的同一属性，而不 能同时选用两种或两种以上属性。 规则3 划分要逐级进行，不能越级。即每次划分应取与母项最接近的种概念作为子项，而不 能将母项的某一种概念的种概念作为子项。 习题： 1．什么是数学概念？试举出数学概念的例子。 2．什么是概念的内涵和外延？举例说明它们之间的关系。 3．概念间的关系有哪几类？其中每一类又有哪几种？ 4．指出下列概念中每两个概念之间的关系： A 实数 B 无理数 C 有理数 D无限且不循环的小数 E 分数 第二节 数学命题及其教学（一） 教学目标： 1．明确数学命题的含义； 2．掌握数学命题教学的程序和方法。 教学重、难点： 明确数学命题的含义及数学教学命题的程序和方法是本节的重点，其中数学命题的含义是 本节的难点。 教学方法： 讲解法 教学过程： 一、数学命题 1．判断的意义，结构及类型
判断：是对思维对象有所断定的思维形式，所谓”断定”，是指肯定或否定。因此，也就是说，判断是对思维对象有所肯定或否定的思维形式。"有所断定”是判断的基本特征之一，任何一个判断都表示对思维对象”有所断定”，即肯定或否定。另外，有真假之分也是判断的基本特征，如果一个判断能够正确地反映客观实际，与事实相符，那么这个判断就是真实的，称为真判断；否则，就是虚假的，称为假判断。判断的结构：判断一般由主词（用S表示），宾词（用P表示），联结词构成，按判断的质分为：1°肯定判断，反映对象和属性关系的判断。其逻辑形式为：S是P。20否定判断，反映对象和属性之间缺乏某种联系的判断。其逻辑形式为：S不是P。判断可按不同的标准分类。按照判断的量分为：1°全称判断，其宾词所指的为主词外延的一部分。其逻辑形式为"所有S都是（或不是）P"。2°特称判断，其宾词所指的为主词外延的一部分。其逻辑形式为"有些S都是（或不是）P”。30单称判断，其主词为特定对象的单独个体。从表面看，单称判断似乎是一种特称判断，但实质上按其主词的外延来看，它是属于全称判断的一类。在全称判断中，可以省略表示量的”所有”一词；而在特称判断中，绝对不能省略表示量的”有些”一词。按判断的量和质分类：1°全称肯定判断，其逻辑形式是"所有S都是P"；2°全称否定判断，其逻辑形式是"所有S都不是P"；30特称肯定判断，其逻辑形式是”有些S是P”4°特称否定判断，其逻辑形式是"有些S不是P”；2.数学命题数学命题就是在数学中能够判断真假的陈述语句。换句话说，表示数学判断的陈述语句叫做数学命题。数学命题往往采用含有数学符号的语言陈述。显然命题也有真、假之分，如果一个判断是真判断，那么表示该判断的语句是真命题，否则就是假命题。3.四种命题及其关系数学中的命题一般都可表示成"若P则q”或”如果P那么q”的形式，其中P叫做命题的条件，q叫做命题的结论，我们称这种形式的命题为蕴涵式命题。例如”对顶角相等”是一数学命题，可将它表示成蕴涵式命题，即”如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。1°逆命题及其形式；20否命题及其形式；3°逆否命题及其形式。由上述四种命题的一般形式可以看出，它们之间存在着互逆、互否、及互为逆否三种关系。从中学的学习我们已经知道，当原命题真时，其逆命题和否命题都不一定真，而逆否命题却一定真；反之，当原命题假时，其逆命题和否命题不一定假，而逆否命题却一定假
判断:是对思维对象有所断定的思维形式，所谓"断定"，是指肯定或否定。因此，也就是说，判 断是对思维对象有所肯定或否定的思维形式。 "有所断定"是判断的基本特征之一，任何一个判断都表示对思维对象"有所断定"，即肯定或否 定。另外，有真假之分也是判断的基本特征，如果一个判断能够正确地反映客观实际，与事实相 符，那么这个判断就是真实的，称为真判断；否则，就是虚假的，称为假判断。 判断的结构：判断一般由主词（用S表示），宾词（用P表示），联结词构成。 按判断的质分为： 1 0肯定判断，反映对象和属性关系的判断。其逻辑形式为：S是P。 2 0否定判断，反映对象和属性之间缺乏某种联系的判断。其逻辑形式为：S不是P。 判断可按不同的标准分类。 按照判断的量分为： 1 0全称判断，其宾词所指的为主词外延的一部分。其逻辑形式为"所有S都是（或不是）P"。 2 0特称判断，其宾词所指的为主词外延的一部分。其逻辑形式为"有些S都是（或不是）P"。 3 0单称判断，其主词为特定对象的单独个体。从表面看，单称判断似乎是一种特称判断，但实质 上按其主词的外延来看，它是属于全称判断的一类。 在全称判断中，可以省略表示量的"所有"一词；而在特称判断中，绝对不能省略表示量的"有 些"一词。 按判断的量和质分类： 1 0全称肯定判断，其逻辑形式是"所有S都是P"； 2 0全称否定判断，其逻辑形式是"所有S都不是P"； 3 0特称肯定判断，其逻辑形式是"有些S是P"； 4 0特称否定判断，其逻辑形式是"有些S不是P"； 2．数学命题 数学命题就是在数学中能够判断真假的陈述语句。换句话说，表示数学判断的陈述语句叫做数学 命题。数学命题往往采用含有数学符号的语言陈述。显然命题也有真、假之分，如果一个判断是真 判断，那么表示该判断的语句是真命题，否则就是假命题。 3．四种命题及其关系 数学中的命题一般都可表示成"若P则q"或"如果P那么q"的形式，其中P叫做命题的条件，q叫做命 题的结论，我们称这种形式的命题为蕴涵式命题。例如"对顶角相等"是一数学命题，可将它表示成 蕴涵式命题，即"如果两个角是对顶角，那么这两个角相等"。 1 0逆命题及其形式； 2 0否命题及其形式 ； 3 0逆否命题及其形式。 由上述四种命题的一般形式可以看出，它们之间存在着互逆、互否、及互为逆否三种关系。 从中学的学习我们已经知道，当原命题真时，其逆命题和否命题都不一定真，而逆否命题 却一定真；反之，当原命题假时，其逆命题和否命题不一定假，而逆否命题却一定假
如果一个命题与另一个命题同真同假，那么就说这两个命题等价。根据等价的含义，上述问题可归结为：互逆或互否的两个命题不等价，而互为逆否的两个命题等价。4.定理和公理凡是经过逻辑证明确认真实性的命题叫做定理，例如两个函数的和的导数，等于这两个函数的导数的和”、“两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的两倍”、”同底数的幕相乘，底数不变，指数相加”等都是数学定理。其中第二个例子恰好叙述了一个完全平方公式，第三个例子叙述了同底数幂的乘法法则，因此数学定理包括数学中的公式和法则。有些定理是由定义或前一个定理只需稍加思索而不需详细证明推得的真实性命题，我们称这些定理为推论。综上所述，数学中的定理包括公式、法则和推论。在推证一些定理时，要以在它前面推得的其它一些定理为基础，而推证这些定理时，又要以在它前面推得的其它定理为基础，顺次上溯，最终要用到未经过逻辑证明的一些最基本的命题，而且这些命题是人们经过长期的实践直接证实的，它们是推证其它命题的依据，我们称这些命题为公理。习题：1：什么是判断？怎样的判断才是真实的数学判断？2在数学中，常用的判断有哪几种？它们的逻辑形式分别是什么？3.指出命题”对顶角相等的条件和结论，并分别写出这一命题的逆命题、否命题和逆否命题最后指出这三个命题的真假性。第三节推理、证明及其教学（一）教学目标：1.明确推理、证明的含义；2.掌握推理、证明教学的程序和方法。教学重、难点：明确推理、证明的含义及掌握推理、证明教学的程序和方法是本节的重点，其中明确推理、证明的含义是本节的难点。教学方法：讲解法教学过程：一、推理（一）推理的意义推理就是由一个或几个已知判断，得到一个新的判断的思维形式。每个推理都由前提和结论两部分组成，推理所依据的已知判断，叫做推理的前提，得出的新判断，叫做推理的结论。推理的前提可以是一个，也可以是多个。(二）推理的方法在数学中，常用的推理方法主要有归纳法、演绎法和类比法，分别介绍如下：1.归纳法归纳法也叫归纳推理，它是由特殊到一般的推理，也就是由两个或两个以上单称判断或特称判断（前提）得到一个全称判断（结论）的推理方法
如果一个命题与另一个命题同真同假，那么就说这两个命题等价。根据等价的含义，上述问题可 归结为：互逆或互否的两个命题不等价，而互为逆否的两个命题等价。 4．定理和公理 凡是经过逻辑证明确认真实性的命题叫做定理，例如"两个函数的和的导数，等于这两个函数的 导数的和"、"两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的两倍"、"同底数的幂 相乘，底数不变，指数相加"等都是数学定理。其中第二个例子恰好叙述了一个完全平方公式，第三 个例子叙述了同底数幂的乘法法则，因此数学定理包括数学中的公式和法则。 有些定理是由定义或前一个定理只需稍加思索而不需详细证明推得的真实性命题，我们称这些定 理为推论。 综上所述，数学中的定理包括公式、法则和推论。 在推证一些定理时，要以在它前面推得的其它一些定理为基础，而推证这些定理时，又要以在它 前面推得的其它定理为基础，顺次上溯，最终要用到未经过逻辑证明的一些最基本的命题，而且这 些命题是人们经过长期的实践直接证实的，它们是推证其它命题的依据，我们称这些命题为公理。 习题： 1．什么是判断？怎样的判断才是真实的数学判断？ 2．在数学中，常用的判断有哪几种？它们的逻辑形式分别是什么？ 3．指出命题"对顶角相等"的条件和结论，并分别写出这一命题的逆命题、否命题和逆否命题， 最后指出这三个命题的真假性。 第三节 推理、证明及其教学(一) 教学目标： 1．明确推理、证明的含义； 2．掌握推理、证明教学的程序和方法。 教学重、难点： 明确推理、证明的含义及掌握推理、证明教学的程序和方法是本节的重点，其中明确推 理、证明的含义是本节的难点。 教学方法： 讲解法 教学过程： 一、推理 （一）推理的意义 推理就是由一个或几个已知判断，得到一个新的判断的思维形式。 每个推理都由前提和结论两部分组成，推理所依据的已知判断，叫做推理的前提，得出的新判 断，叫做推理的结论。推理的前提可以是一个，也可以是多个。 （二）推理的方法 在数学中，常用的推理方法主要有归纳法、演绎法和类比法，分别介绍如下： 1.归纳法 归纳法也叫归纳推理，它是由特殊到一般的推理，也就是由两个或两个以上单称判断或特称判 断（前提）得到一个全称判断（结论）的推理方法
归纳法可分为不完全归纳法和完全归纳法。（1）不完全归纳法不完全归纳法也叫不完全归纳推理，它是由一类事物的部分对象具有的某一属性得到这类事物的全体对象都具有这一属性的推理。以上两例中的推理方法都是不完全归纳法，由于不完全归纳法是将部分对象具有的属性推广到全体对象的推理方法，因此这种推理的结论不一定正确，但是利用不完全归类法得到的结论有时也正好适合于全体对象。由此可见，尽管利用不完全归纳法得到的结论不一定正确，但在发现某类事物的共同属性方面，它却起着非常重要的作用，事实上，数学中的许多真实性命题，都是通过不完全归纳法发现的。（2）完全归纳法完全归纳法也叫完全归纳推理，它是由一类事物的每一个对象所具有的某个同一属性得到这类事物的全体对象都具有这一属性的推理。当所考察的事物的对象较少时，自然可用完全归纳法，但是当所考察的事物的对象很多甚至有无限多个时，很难逐一考察每个对象甚至无法考察，这时若将这一事物形成的集合划分成有限的几个独立、完备的子集，并在其中的各个子集上都能考察出每个对象的某一属性，就可以利用完全归纳法。由于完全归纳法考察了一类事物的每一个对象，因而由正确的前提必然会得到正确的结论，所以它是一种严格的推理方法，数学中常用这种方法进行证明2.演绎法演绎法也叫演绎推理，它是由一般到特殊的推理，也就是由一类事物对象的一般判断（前提），得到这类事物的个别对象的特殊判断（结论）的一种推理方法。由于演绎法是从一般到特殊的推理方法，因此这种推理只要前提是真的，并且推理合乎逻辑，那么所得到的结论肯定是正确的。所以，演绎法也是一种严格的推理方法。演绎推理的形式多种多样，数学中常用的有三段论、关系推理、联言推理、选言推理、假言推理和模态推理等，其中最普遍的是三段论和关系推理，以下仅对三段论和关系推理加以介绍。（1）三段论三段论是由某类事物的一个..全称判断和另一个全称或特称判断得出一个新的全称或特称判断的推理形式，其结构为：M是（或不是）·大前提，S是M,..小前提S是或不是）·结论。任何一个三段论都包含着三个项，即小项S大项P和中项M，其中小项S是结论中的主项，大项P是结论中的谓项，中项M是结论中消失的项，也是两个前提中的共同项。在三段论推理中，具有大项的前提叫做大前提，具有小项的前提叫做小前提，大前提是一个全称判断，小前提是一个全称或特称判断。从三段论的结构来看，如果大前提是肯定判断，那么结论也是肯定判断，反之，如果大前提是否定判断，那么结论也是否定判断。一个推理过程往往由若干个前后相联系的三段论组合而成。在使用三段论进行推理时，也往往省略大前提或小前提
归纳法可分为不完全归纳法和完全归纳法。 （1）不完全归纳法 不完全归纳法也叫不完全归纳推理，它是由一类事物的部分对象具有的某一属性得到这类事物 的全体对象都具有这一属性的推理。 以上两例中的推理方法都是不完全归纳法。 由于不完全归纳法是将部分对象具有的属性推广到全体对象的推理方法，因此这种推理的结论 不一定正确，但是利用不完全归类法得到的结论有时也正好适合于全体对象。由此可见，尽管利用 不完全归纳法得到的结论不一定正确，但在发现某类事物的共同属性方面，它却起着非常重要的作 用，事实上，数学中的许多真实性命题，都是通过不完全归纳法发现的。 （2）完全归纳法 完全归纳法也叫完全归纳推理，它是由一类事物的每一个对象所具有的某个同一属性得到这类 事物的全体对象都具有这一属性的推理。 当所考察的事物的对象较少时，自然可用完全归纳法，但是当所考察的事物的对象很多甚至有 无限多个时，很难逐一考察每个对象甚至无法考察，这时若将这一事物形成的集合划分成有限的几 个独立、完备的子集，并在其中的各个子集上都能考察出每个对象的某一属性，就可以利用完全归 纳法。 由于完全归纳法考察了一类事物的每一个对象，因而由正确的前提必然会得到正确的结论，所 以它是一种严格的推理方法，数学中常用这种方法进行证明。 2.演绎法 演绎法也叫演绎推理，它是由一般到特殊的推理，也就是由一类事物对象的一般判断（前 提），得到这类事物的个别对象的特殊判断（结论）的一种推理方法。 由于演绎法是从一般到特殊的推理方法，因此这种推理只要前提是真的，并且推理合乎逻辑， 那么所得到的结论肯定是正确的。所以，演绎法也是一种严格的推理方法。 演绎推理的形式多种多样，数学中常用的有三段论、关系推理、联言推理、选言推理、假言推 理和模态推理等，其中最普遍的是三段论和关系推理，以下仅对三段论和关系推理加以介绍。 （1）三段论 三段论是由某类事物的一个.全称判断和另一个全称或特称判断得出一个新的全称或特称判 断的推理形式，其结构为： ∵ M是（或不是）P.大前提， S是M，.小前提， ∴ S是（或不是）P.结论。 任何一个三段论都包含着三个项，即小项S大项P和中项M，其中小项S是结论中的主项，大项P是 结论中的谓项，中项M是结论中消失的项，也是两个前提中的共同项。在三段论推理中，具有大项的 前提叫做大前提，具有小项的前提叫做小前提，大前提是一个全称判断，小前提是一个全称或特称 判断。 从三段论的结构来看，如果大前提是肯定判断，那么结论也是肯定判断，反之，如果大前提是 否定判断，那么结论也是否定判断。 一个推理过程往往由若干个前后相联系的三段论组合而成。在使用三段论进行推理时，也往往 省略大前提或小前提