复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十三章 重积分 13.3 重积分的变量代换

复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第十三章 重积分 13.2 重积分的性质与计算

一、本单元的内容要点 重积分概念的引入,基本性质

在一元函数积分学中,我们已经知道,定积 分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形 式的和式的极限,由于科学技术和生产实践的发 展,需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空 间物体的质量、重心、转动惯量等,定积分已经 不能解决这类问题,另一方面,从数学逻辑思维 的规律出发,必然会考虑定积分概念的推广,从 而提出了多元函数的积分学问题

一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相 应地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并 且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域do 时,相应地部分量可近似地表示为f(x,y)do的 形式,其中(x,y)在do内这个f(x,y)do称为 所求量U的元素,记为dU,所求量的积分表达式 为

重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域do时, 相应地部分量可近似地表示为f(x,y)do的形式, 其中(x,y)在do内.这个f(x,y)do称为所求量U 的元素,记为dU,所求量的积分表达式为

一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法

一、利用极坐标系计算二重积分 二、二重积分化为二次积分的公式(1)

1.二重积分的定义 2.二重积分存在的条件 3.二重积分的性质

一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分