S5三重积分三重积分的典型物理背景是求密度非均匀分布的空问物体的质量.研究三重积分的方法和步骤与二重积分相似。三重积分的概念1二化三重积分为累次积分三、 三重积分换元法前页后页返回
前页 后页 返回 §5 三 重 积 分 三重积分的典型物理背景是求密度非均 匀分布的空间物体的质量. 研究三重积分 的方法和步骤与二重积分相似. 一、 三重积分的概念 二、 化三重积分为累次积分 三、 三重积分换元法 返回
一、三重积分的概念与二重积分相类似,通过求一个空间立体V的质量M就可导出三重积分.设V的密度函数为f(x,y,z)为了求 V的质量,把 V分割成 n 小块：V,Vz..,Vn在每一小块V,上任取一点(S;,n;,S,),则M = lim Z f(5,n;,S;)AV,17]~04i-1其中△V,为小块V,的体积,T|=max(V,的直径).后页返回前页
前页 后页 返回 一、 三重积分的概念 与二重积分相类似, 通过求一个空间立体V 的质量 M 就可导出三重积分. 设V 的密度函数为 f x y z ( , , ), Vi ( , , ), i i i 在每一小块 上任取一点 则 0 1 lim ( , , ) , n i i i i T i M f V → = = 为了求 V 的质量, 把 V 分割成 n 小块: 1 2 , , , , V V Vn 1 max . i i n T V 其中 Vi 为小块Vi 的体积, = 的直径
设VcR2为一可求体积的有界区域,f(x,y,z)是定义在V上的有界函数.现用若干个光滑曲面所组成的曲面网T来分割V，它把V分成n个小区域：V,V2.., Vn, 用 △V, 记 V,(i = 1, 2, .., n)的体积, 并记[T|=max(V,的直径).V(S,,nNi,S,)e V, (i=1,2,,n), 作积分和Zf(5,n;5)AV,.i=-1后页返回前页
前页 后页 返回 定义在 V 上的有界函数.现用若干个光滑曲面所组 成的曲面网 T 来分割 V，它把 V 分成 n 个小区域: 1 max . i i n T V = 的直径 ( , , ) ( 1,2, , ), = i i i i V i n 作积分和 1 ( , , ) . n i i i i i f V = 1 2 , , , , ( 1, 2, , ) , V V V V V i n n i i 用 记 的体积 并记 = 设 为一可求体积的有界区域 f x y z ( , , ) , 3 V R 是
定义1 对上述 V和 f(x,y,z),若有一确定的实数 J,对任给的正数ε,总存在某正数S,使得对于V的任何分割 T,只要T<S,属于T的所有积分和都满足Zf(5,n;,5)AV,-J<8,i=1则称f(x,y,z)在V上可积,并称数J为f(x,y,z)在V上的三重积分，记作J=J f(x,y,z)dv 或f(x,y,z)dxdydz,后页返回前页
前页 后页 返回 对任给的正数 , 总存在某正数 , 使得对于V 的任 何分割 T, 只要 T , 属于T 的所有积分和都满足 1 ( , , ) , n i i i i i f V J = − 则称 f x y z ( , , ) 在V 上可积 f x y z ( , , ) , 并称数J 为 在 V 上的三重积分, 记作 定义1 对上述 V f x y z 和 ( , , ), 若有一确定的实数 J, ( , , ) d ( , , ) d d d , V V J f x y z V f x y z x y z = 或
其中 f(x,,z)称为被积函数,x,,z称为积分变量V称为积分区域当 f(x,J,z)=1 时,[l[dV 在几何上表示V的体积.V三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性质,这里不再一一细述.例如(1)有界闭域V上的连续函数必三重可积;(2)有界闭域V上的有界函数f(x,J,z),若其间断点后页返回前页
前页 后页 返回 其中 f x y z ( , , ) 称为被积函数, x, y, z 称为积分变量, V 称为积分区域. 当 ( , , ) 1 d V f x y z V 时， 在几何上表示V 的体积. 三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性 质, 这里不再一一细述. 例如: (1) 有界闭域 V 上的连续函数必三重可积; (2) 有界闭域V 上的有界函数 f x y z ( , , ), 若其间断点
集中在有限个零体积的曲面（可类似于零面积那样定义)上,则f(x,,z)在V上必三重可积后页返回前页
前页 后页 返回 集中在有限个零体积的曲面 (可类似于零面积那样 定义) 上, 则 f x y z ( , , ) 在V 上必三重可积
二、化三重积分为累次积分1.积分区域为长方体若函数f(x,y,z)在长方体定理21.15V =[a, b]x[c, d]x[e, f]上的三重积分存在,且对任何x E[a,b],二重积分I(x) = [I f(x, y,z) dy dzD存在,其中 D=[c,d]×[e,f],则积分后页返回前页
前页 后页 返回 二、化三重积分为累次积分 1. 积分区域为长方体 定理21.15 若函数 f x y z ( , , ) 在长方体 V a b c d e f = [ , ] [ , ] [ , ] 上的三重积分存在, 且对任何 x a b [ , ], 二重积分 ( ) ( , , ) d d D I x f x y z y z = 存在, 其中 D c d e f = [ , ] [ , ], 则积分
'dx[f f(x,y,z) dy dzD也存在,且JJ f(x,y,z) dy dz =' dx JJ f(x,y,z) dy dz. (1)D证用平行于坐标面的平面网T作分割，它把V分成有限个小长方体Vijk =[xi-1 , x,]x[yj-1,y,Ix[zk-1, zr].设 Mjk,mijik分别为f(x,y,z)在vijk上的上、下确界.前页后页返回
前页 后页 返回 d ( , , ) d d b a D x f x y z y z 也存在, 且 ( , , ) d d d ( , , ) d d . (1) b a V D f x y z y z x f x y z y z = 证 用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把 V 分成 有限个小长方体 1 1 1 [ , ] [ , ] [ , ]. i j k i i j j k k v x x y y z z = − − − , ( , , ) 设 分别为 M m f x y z i jk i jk 在 上的上、下确界. i jk v
V5; e[x;-1,x;1,在 D;k =[yj-1,y,]x[3k-,z] 上有mijxAy,Az, ≤ J f(5,y,z)dydz≤ MijxAy,Azr.Djk现按下标i,k相加，则有Z JJ f(5,y,z)dydz =J[ f(5,y,z)dydz =I(5)j,k DjkD及Emjnax;Ay ,Az, ≤EI(5,)Ax, ≤E M jAx,Ay Azr.i,j,ki,j,k(2)后页返回前页
前页 后页 返回 1 [ , ] i i i x x − 1 1 [ , ] [ , ] ， 在 上有 D y y z z jk j j k k = − − ( , , )d d . j k i jk j k i i jk j k D m y z f y z y z M y z 现按下标 j k, 相加, 则有 , ( , , )d d ( , , )d d ( ) j k i i i j k D D f y z y z f y z y z I = = 及 , , , , ( ) . i jk i j k i i i jk i j k i j k i i j k m x y z I x M x y z (2)
上述不等式两边是分割T的上和与下和,由于f在V上可积,当 T→0 时,下和与上和具有相同的极限,所以由(2)式得I(x)在[a,b]上可积,且 I(x)dx = [] f(x, y,z)dxdydz.CV有时为了计算上的方便，也可采用其他计算顺序2.积分区域为xy型区域xy型区域V是指可以用以下方式表示的区域：后页返回前页
前页 后页 返回 上述不等式两边是分割 T 的上和与下和, 由于 f 在 V 上可积, 当 T → 0 时, 下和与上和具有相同的极 限, 所以由(2)式得 I x( ) 在 [ , ] a b 上可积, 且 ( )d ( , , )d d d . b a V I x x f x y z x y z = 有时为了计算上的方便, 也可采用其他计算顺序. 2. 积分区域为 xy 型区域 xy 型区域 V 是指可以用以下方式表示的区域: