S1函数极限概念在本章，我们将讨论函数极限的基本概念和重要性质.作为数列极限的推广，函数极限与数列极限之问有看密切的联系，它们之间的纽带就是归结原理一、X超于00时的函数极限二、x超于xo时的函数极限三、单侧极限返回前页后页
前页 后页 返回 §1 函数极限概念 一、x趋于时的函数极限 二、x趋于x0 时的函数极限 三、单侧极限 在本章,我们将讨论函数极限的基本 联系,它们之间的纽带就是归结原理. 函数极限与数列极限之间有着密切的 概念和重要性质.作为数列极限的推广, 返回
一、x超于0时的函数极限设函数f(x)定义在[a,+80)上，当x沿着x轴的正向f(x)无限远离原点时，函数f（x）也无限地接近A，我们就称f(x)当x 趋于+oo时以A为0x极限.返回前页后页
前页 后页 返回 一、x趋于时的函数极限 设函数 f (x) 定义在 a, + ) A f (x) x y O 极限. f (x)当 x 趋于 + 时以A为 也无限地接近A,我们就称 无限远离原点时,函数f (x) 上,当 x 沿着 x 轴的正向
定义1 设f 为定义在[a,+o)上的一个函数．A为定数，若对于任意正数ε>0,存在 M(≥α)，使得当x>M时，f(x)-A <8,则称函数f(x)当x趋于+8时以A为极限记为lim f(x)=A 或者 f(x)→ A (x→+oo)xt8后页返回前页
前页 后页 返回 记为 lim ( ) 或者 x f x A →+ = f (x) → A (x → +). 定数, 若对于任意正数 0， 存在 M( a)， 使得 f (x) − A , 则称函数 f (x)当 x 趋于+ 时以 A为极限. 当x M 时, 定义1 设 f 为定义在 a,+) 上的一个函数 . A 为
lim f(x)=A的几何意义+④有 A-0OxxaM使当x>M时3M②存在1a前页后页返回
前页 后页 返回 ④ 有 A f x A − + ( ) lim ( ) x f x A →+ = 的几何意义 ③ 使当 x M 时 x A− A + ①任意给定 0 M ②存在 M a x A y O a
= 0.例1 证明 limx→+00 XE 任给ε>0,取M=1,当x>M时,证5-f(x)-0一<8,x所以(由定义1),lim=0x-→+0 x返回前页后页
前页 后页 返回 所以(由定义1), 例1 证明 0. 1 lim = x→+ x 证 任给 0, 取 , 1 M = 当 x M 时, , 1 ( ) − 0 = x f x 0. 1 lim = x→+ x
元例2证明limarctanx2X-→+元取 M = tan(证 任给 6>0(8M时，元元f(x)arctanx22<1-(F-6)=6.元这就是说lim arctan x :2x→+返回前页后页
前页 后页 返回 例2 . 2 lim arctan = →+ x x 证明 证 任给 ), 2 0 ( ). 2 tan( 取 M = − 这就是说 π lim arctan . x 2 x →+ = 因为 arctan x 严格增，当 x M 时， π π ( ) arctan 2 2 f x x − = − π π ( ) . 2 2 − − =
定义2设 f(x)定义在(-80,bl上,A是一个常数若对于任意ε>0,存在 M >0, 当x<-M(<b)时f(x)-A<8,则称f(x)当x→-o 时以A为极限，记为lim f(x)=A 或 f(x)→A (x→-0).X返回前页后页
前页 后页 返回 f (x) − A , 定义2 设 f (x)定义在(− ,b上, A是一个常数. 若对于任意 0 , 存在 M 0, 当 x M b − ( )时 则称 f (x)当 x → − 时以 A为极限, 记为 f x A x = → − lim ( ) 或 f (x) → A (x → −)
定义3 设 f(x)定义在o的某个邻域 U(o)内，A为一个常数若对于任意ε>0,存在M>0，当x|>M时f(x)-A <8,则称f(x)当x→8时以A为极限，记为lim f(x)= A 或 f(x)→ A (x→o0),x8后页返回前页
前页 后页 返回 则称 f (x)当 x → 时以 A 为极限， 记为 f (x) − A , 定义3 设 f (x)定义在的某个邻域 U()内, A 为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M 0， 当 x M 时 f x A x = → lim ( ) 或 f (x) → A (x → )
定理 3.1 f(x)定义在 ∞o 的一个邻域内,则limf(x)=A的充要条件是：x-→8lim f(x)= lim f(x)= A.X→-8x→+80元元lim arctanx:lim arctanx =例如-22x-→+00X→-80则由定理3.1，limarctanx不存在x→00返回前页后页
前页 后页 返回 lim f (x) lim f (x) A. x x = = → − → + 定理 3.1 f (x)定义在 的一个邻域内，则 x x limarctan 则由定理 → 3.1， 不存在. f x A x = → lim ( ) 的充要条件是： π π lim arctan , lim arctan , x x 2 2 x x → − →+ 例如 = − =
二、x超于xo时的函数极限设函数f(x）在点x的某空心邻域U（x）内有定义下面我们直接给出函数f(x)当x→x,时以常数A为极限的定义前页后页返回
前页 后页 返回 二、x趋于x0 时的函数极限 设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 ( ) 内有定义. U x0 为极限的定义. 下面我们直接给出函数 f (x) 当 x → x0 时以常数 A