第四章函数的连续性81连续性的概念内容：1函数在点o的连续性2 间断点及其的分类3区间上的连续函数的性质重点：函数在点x。的连续性难点：连续、一致连续的证明要求：理解连续的定义，间断点的分类会用定义证明函数的连续性
第四章 函数的连续性 §1 连续性的概念 内容： 1 函数在点 的连续性 2 间断点及其的分类 3 区间上的连续函数的性质 重点：函数在点 的连续性 难点：连续、一致连续的证明 要求：理解连续的定义，间断点的分类， 会用定义证明函数的连续性。 0 x 0 x
81连续性概念问题的提出：厂（1）自然界中有许多现象如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反应,就是函数的连续性（2）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图1）
§ 1 连续性概念 问题的提出： （1）自然界中有许多现象,如气温的变 化，河水的流动，植物的生长等等，都 是连续地变化着的.这种现象在函数关系 上的反应,就是函数的连续性. （2）直观上来说，连续函数的图象是一 条连绵不断的曲线。（如图1）
yty=f(x)fXoAxo0X图1一：函数在一点的连续性1. 定义的引入先回顾一下函数在xo点的极限 lim f(x)= A,定义中要求f(x)在xo的某个空心邻域内有定义，即f(x)在xo有没有定义、定义为多少均与极限有没有、极限为多少无关。这里f(x。）可以有三种情况：
O x y y = f (x) x0 图1 一. 函数在一点的连续性 1．定义的引入 先回顾一下函数在 0 x 点的极限 f x A， x x = → lim ( ) 0 定义中要求 f (x) 在 0 x 的某个空心邻域内有定义，即 f (x) 在 0 x 有没有定义、定义为多少 均与极限有没有、极限为多少无关。这里 ( ) 0 f x 可以有三种情况： A ( ) 0 f x
sin(x -x。)1（图2）(1) F(xo)无定义，比如上章讲过的特殊极限 limx-→xox- Xoxx± Xo(2) f(x)± A, 比如 f(x)=, lim f(x)=xo ± f(xo) (图3)[x+1 x= xoX-→X(3)f(x。)=A,(图1 f(x)yyy=f(x)y= f(x)A0OxXxoXo图3图2第3种情况与前两种情况不同，要求f(x)在x。有定义且极限等于f(xo)，我们称这种情况为f(x）在x。处连续
(1) ( ) 0 f x 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1 sin( ) lim 0 0 0 = − − → x x x x x x （图2） (2) f (x0 ) A， 比如 ， + = = 0 0 1 ( ) x x x x x x f x lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x x = → （图3） (3) f (x0 ) = A， (图1） x0 y = f (x) O x y 图2 O x y x0 ( ) 0 f x y = f (x) 图3 A 第3种情况与前两种情况不同，要求 f (x) 在 0 x 有定义且极限等于 f (x0 )， 我们称这种情况为 f (x)在 0 x 处连续
f（x）在x。处连续的定义定义l：设函数f(x)在x。的某邻域 U(x)内有定义，若(1)lim f(x) = f(xo)>X则称函数f(x）在x点连续例如函数f(x)= 2x+1在点x =2连续，因为lim f(x) = lim (2x + 1) = 5 = f(2)x->21x+0xsin在x =0处连续。因为又如函数f(x)=x0x=0lim f(x)= lim x -sin -=0=f(O）（无穷小乘以有界量仍为无穷小）x-0x-→0x3.等价定义先引入增量的定义：记x=x-x,称为自变量 x（在点x）的增量
2. f (x) 在 x0 处连续的定义 定义1：设函数 f (x) 在 x0 的某邻域 ( ) 0 U x 内有定义，若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → （1） 则称函数 f (x) 在 x0 点连续。 lim ( ) lim (2 1) 5 (2) ( ) 2 1 2 2 2 f x x f f x x x x x = + = = = + = → → 例如函数 在点 连续，因为 无穷小乘以有界量仍为无穷小） 又如函数 在 处连续。因为 0 (0) ( 1 lim ( ) lim sin 0 0 0 0 1 sin ( ) 0 0 f x f x x x x x x x f x x x = = = = = = → → 3．等价定义 先引入增量的定义：记 x = x − x0 ,称为 自变量 x ( ) 0 在点x 的增量
或改变量; Ay= f(x)-f(xo)=f(xg+Ax)-f(xo)= y-yo称为函数（在点x）的增量或改变量。要说明的是增量△x、△1可以是正的，也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示yt)y=f(x)f(xo +Ax)AyAx(f(xo)0XxoXo +Ar图4利用增量定义得等价定义1：设函数f(x)在x,的某邻域内有定义,若 lim Ay=0，则称1x->0函数f(x）在X点连续
或改变量； 0 0 0 0 y = f (x) − f (x ) = f (x + x) − f (x ) = y − y 称为函数 ) 0 y（在点x 的增量或改变量。要说明的是增量 x、y 可以是正的，也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示 x0 x + x 0 ( ) 0 f x x y y = f (x) O x y ( ) 0 f x + x 图4 利用增量定义得 等价定义1：设函数 f (x)在x0的某邻域内有定义，若 lim 0，则称 0 = → y x 函数 f (x) 在 x0 点连续
也可以改用一定义：等价定义2：设函数f(x)在x.的某邻域内有定义,若对Vε>0,3S>0使得当x-xl<S时，有f(x)-f(xo)<,则称函数f(x)在Xo点连续。注意问题：(1)f(x)在x。有极限是f(x)在x.连续的必要条件；(2）函数f(x)在x,连续，要求f(x)在x点有定义，而等价定义2中不等式f(x)-f(xo)|<ε对x=x。总成立，因此极限的“ε一s”语言叙述中把"0<x-xo<8" 换成“x-x。<8”;(3) (1) 式又可表示为 lim f(x)= f(lim x)= f(xo)可见“f在x=0连续”意味着极限运算 lim与对应法则f的可交换性。例1:证明函数f(x)= xD(x)在点x = O连续，其中D(x)为狄利克雷函数
也可以改用－定义： 等价定义2：设函数 f (x)在x0的某邻域内有定义，若对 0 , 0 使得当 x − x0 时，有 f (x) − f (x0 ) ,则称 函数 f (x) 在 x0 点连续。 注意问题： 可见“ 在 连续”意味着极限运算 与对应法则 的可交换性。 （ ）（）式又可表示为 “ ”换成“ ”； 对 总成立，因此极限的“ － ”语言叙述中把 （ ）函数 在 连续，要求 在 点有定义，而等价定义 中不等式 （） 在 有极限是 在 连续的必要条件； f x f f x f x f x x x x x f x f x x x f x x f x x f x x f x x x x x x x x 0 0 0 0 lim 3 1 lim ( ) (lim ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 → → → = = = − − − = 例1： 证明函数 f (x) = x D(x)在点x = 0连续，其中D(x)为狄利克雷函数
证明：由f(0)=0及D(x)≤1，对于Vs>0，为使f(x)- f(O)|=xD(x)≤x <8只要取S一ε，即可按ε-S定义推得f(x)在x=0连续。4.左、右连续的定义当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义1不能讨论f（x）的连续性，为此我们在定义1的基础上，由f(x)在xo左、右极限的定义得定义2：设f(x)在x。的某右邻域U(x)(或左邻域U_(x))内有定义，若lim f(x) = f(xo)(或 lim f(x)= f(xo))x→xo则称函数f（x）在xo点右连续（或左连续）。根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系定理4.1：f(x）在x点连续的充要条件为f(x）在xo点既右连续又左连续。由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论
只要取 ＝ ，即可按 定义推得 在 连续。 证明：由 及 ，对于 ，为使 ( ) 0 ( ) (0) ( ) (0) 0 ( ) 1 0 − = − = = f x x f x f x D x x f D x 4．左、右连续的定义 当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义1不能讨论 f (x) 的连续性，为此我们在定义1的基础上，由 f (x) 在 x0 左、右极限的定义得 定义2：设 lim ( ) ( ) ( lim ( ) ( ) ) ( ) ( )( ( )) 0 0 0 0 0 0 0 f x f x f x f x f x x U x U x x x x x = = → + → − + − 或 在 的某右邻域 或左邻域 内有定义，若 则称函数 f (x) 在 x0 点右连续（或左连续）。 根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系 定理4．1： f (x) 在 x0 点连续的充要条件为： f (x) 在 x0 点既右连续又左连续。 由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论
Vx+2x≥0例2：讨论函数f(x）=在x=0的连续性x-2x00xlim f(x) = lim(x -2) =-2 + f(0)-2所以f(x)在x=0右连续，但不左连续，x-2图5从而f(x)在x=0不连续。(如图5)二.间断点及其分类1．间断点的定义定义3：设函数f在某Ux。)内有定义，若f在点x.无定义，或在点x有定义但不连续，则称点x为f的间断点或不连续点。从定义我们可以得到，若x.为函数f的间断点，则是下列情形之一：1）f在点x.无定义（如图2）
例2： 讨论函数 在 0的连续性。 2 0 2 0 ( ) = − + = x x x x x f x lim ( ) lim ( 2) 2 (0) 0 0 f x x f x x = + = = → + → 解：因为lim ( ) lim ( 2) 2 (0) 0 0 f x x f x x = − = − → − → 从而 在 不连续。如图 ） 所以 在 右连续，但不左连续， ( ) 0 ( 5 ( ) 0 = = f x x f x x 2 －2 x y O x+2 x-2 图5 二.间断点及其分类 1．间断点的定义 定义3： 但不连续，则称点 为 的 设函数 在某 内有定义，若 在点 无定义，或在点 有定义 x f f U x f x x 0 0 0 0 0 ( ) 间断点或不连续点。 从定义我们可以得到， 若x0为函数 f 的间断点，则是下列情形之一： 1) f 在点x0无定义（如图2）
2) lim f(x)不存在;3) f 在点x.有定义且 lim f(x)= A存在，但A≠ f(xo)(如图3)X→X根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类2.间断点的分类1）可去间断点：若 lim f(x)= A，而f在点x.无定义，或有定义但-→xoA≠f(x)，则称x为函数f的可去间断点。例3: f(x)=sgn x，lim f(x)=1,f(0)=0,f(0)±1故x=0是f(x)的可去间断点。sn±,m (x)=1, 但(x)在x=0无定义例4: f(x)=x故x=0是f(x)的可去间断点
） 在点 有定义且 存在，但 如图 ） 不存在； 3 lim ( ) ( )( 3 2) lim ( ) 0 0 0 0 f x f x A A f x f x x x x x = → → 根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类 2．间断点的分类 1）可去间断点： ，则称 为函数 的 若 ，而 在点 无定义，或有定义但 A f x x f f x A f x x x 0 0 0 ( ) lim ( ) 0 = → 可去间断点。 例3： 故 是 的可去间断点。 ， ， ， 0 ( ) ( ) sgn lim ( ) 1 (0) 0 (0) 1 0 x f x f x x f x f f x = = = = → 例4： 故 是 的可去间断点。 ， ，但 在 无定义 0 ( ) lim ( ) 1 ( ) 0 sin ( ) 0 x f x f x f x x x x f x x = = = = →