83.平面曲线的弧长与曲率自的要求：会求平面曲线的弧长与曲率理解定积分的基本思想重点难点：平面曲线弧长公式的证明理解定积分的基本思想教学方法：讲授法教学过程如下
1 §3. 平面曲线的弧长与曲率 •目目的要求:会求 平面曲线的弧长与曲率 理解定积分的基 本思想; 重点难点: 平面曲线弧长公式的证明, 理解定积分的基 本思想 教学方法:讲授法 教学过程如下:
、平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念我们已经学习过，利用刘薇割圆术定义了圆的周长，现将刘微的割圆术加以推广，则可定义出平面曲线的弧长，并得到平面曲线弧长的计算公式。设平面曲线C = AB(为曲线弧），如图所示，在C上从A到B依次取分点：P2A= Po, P, P.,..., P., P,., P.-I,P,= B,它们成为对曲线C的一个分割DP, =B2
2 一、平面曲线的弧长 1、平面曲线弧长的概念 我们已经学习过，利用刘嶶割圆术定义了圆的周长，现将 刘嶶的割圆术加以推广，则可定义出平面曲线的弧长，并得到 平面曲线弧长的计算公式。 0 1 2 1 1 ( , , , , , , , , , , i i n n C AB C A B A P P P P P P P B C − − = = = 设平面曲线 为曲线弧），如图 所示 在 上从 到 依次取分点： 它们成为对曲线 的一个分割 x =A =B y o P1 P2 Pi−1 Pi Pn−1 P0 Pn
，记为T，然后用线段联结T中每相邻两点，得到C的n条弦：P-,P,(i=1,2,,n),这n条弦又成为C的一条内接折线.记IT = max (IP-,PI), s(T) = [P-,P|-分别表示最长弦与折线的总长度定义1 对于曲线 C的无论怎样分割T，如果存在有限极限里 lim s(T)= s，则称曲线C是可求长的，并把极限 s 定义T→C为曲线的弧长。一般来说，平面上连续的曲线不一定都可求长，但如果是平面上光滑的曲线段一定是可求长的。以下讨论的曲线求长问题都是指光滑曲线求长的问题。为此先给出光滑曲线的定义。3
3 1 1 1 1 1 0 ( 1,2, , ), . max , ( ) , . 1 lim ( ) , i i n i i i i i n i T T T C n P P i n n C T P P s T P P C T s T s C s − − − = → = = = = ，记为 ，然后用线段联结 中每相邻两点，得到 的 条弦： 这 条弦又成为 的一条内接折线 记 分别表示最长弦与折线的总长度 定义 对于曲线 的无论怎样分割 ，如果存在有限极限 里 则称曲线 是可求长的，并把极限 定义 为曲线的弧长。 一般来说，平面上连续的曲线不一定都可求长，但如果是 平面上光滑的曲线段一定是可求长的。以下讨论的曲线求 长问题都是指光滑曲线求长的问题。为此先给出光滑曲线 的定义
定义2 设平面曲线C由参数方程:x=x(t),y=y(t), t e[α,β] 给出如果 x(t) 、y'(t)在[α, β]上连续,且: [x(t)]} +[y'(t)} ±0, t e[α, β,则称曲线C为一条光滑曲线。2、光滑曲线的弧长公式1)、若光滑线 C 由参数方程: x=x(t),y=y(t), te[α, β] 给出，,则 C一定可求长，则其长为：s=f [x(0]' +[(0] dt (1)a证明(略）2)、若光滑线 C 由直角坐标方程：y= f(x), xe[a, b]l (或:x=g(y),ye[α,b]l）给出，则由（1）易得其弧长公式为:4
4 2 2 2 2 2 ( ), ( ), [ , ] . ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) 0 [ , 2 1) ( ), ( ), , ( ) ( ) . (1) 2) C x x t y y t t x t y t x t y t t C C x x t y y t t C s x t y t dt C = = + = = = + 定义 设平面曲线 由参数方程： 给出 如果 、 在 上连续，且： ， ， 则称曲线 为一条光滑曲线。 、光滑曲线的弧长公式 、若光滑线 由参数方程： 给出，则 一定可求长，则其长为： 证明(略) 、若光滑线 由直角 ( ), [ , ] ( ( ), [ , ] ) 1 y f x x a b x g y y a b = = 坐标方程： 或： 给出，则由（）易得其弧长公式为：
s=j 1+[1(x)] dx (或: s=j /1+[g(v)}dy ) (2)3)、若光滑线 C 由极坐标方程：r=r(0),e[α,β]，(r(0)连续,[r(0)} +[r(の)} 0）给出，则由（1)易得其弧长公式为:s-f /(r(o)] +[r(0)] do. (3)例l 求摆线：x=a(t-sint)，y=a(1-cost),(a>0)一拱的弧长,解：如图所示2a2Ca2元ao6GXD
5 2 2 2 2 2 2 1 ( ) . ( 1 ( ) .) (2) 3) ( ) , ( ) ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) . . (3) b b a a s f x dx s g y dy C r r r r r s r r d = + = + = + = + 或： 、若光滑线 由极坐标方程： ， ，（ 连续， ）给出，则由（）易得其弧长公式为： 例 求摆线： 一拱的弧长。 1 sin , 1 cos , ( 0) x a t t y a t a = − = − ( ) ( ) 解：如图所示 x y
e* +e-从 x=0 到 x=α>0的那一段弧长。例2求悬链线y=-2解：如图所示：y6e'+eMy=2X[oa6
6 2 0 0 2 x x e e y x x a − + 例 求悬链线 从 到 的那一段弧长。 = = = 解：如图所示： 1 08642 -5 5 1 0 M o a o a x y 2 x x e e y − + =
例3 求心形线 r =a(1+cosの)（a>0)的周长解：如图所示：2r =α(1+cosXBR2a
7 64224 5 5 1 0 C B D2a x 0y r a = + (1 cos ) 例 求心形线 的周长。 3 (1 cos ) ( 0) r a a = + 解：如图所示：