第十章定积分的应用授课题目：81平面图形的面积日的要求：会求平面图形面积，理解定积分的基本思想重点难点：重点求平面图形面积，理解定积分的基本思想难点理解定积分的基本思想教学方法：讲授法教学过程如下：直角坐标系下平面图形的面积：由定积分的几何意义，连续曲线=（x）（0)与直线：=，=（），轴所围成的曲边梯形的面积为:
1 第 十 章 定 积 分 的 应 用 授课题目:§ 1 平 面 图 形 的 面 积 目的要求:会求平面图形面积,理解定积分的基 本思想 重点难点:重点求平面图形面积,理解定积分的基 本思想; 难点理解定积分的基 本思想 教学方法:讲授法 教学过程如下: 一． 直角坐标系下平面图形的面积 ： 由定积分的几何意义，连续曲线 与直线： 轴所围成的曲边梯形的面积为：
y= f(x)f(x)dxA=0若 f(x)在[a,b]上不都是非负的Xa则所围成图形（如右图）y的面积为 A=[If(x)dxy= f(x)-j r(x)dx-j f(x)dxOXb+J f(x)dx- { f(x)dx.1
2 ( ) [ , ] , ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) . b a c d a c e b d e f x a b A f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx = = − + − 若 在 上不都是非负的 则所围成图形（如右图） 的面积为 y = f (x) a 0 x y b b o y = f (x) c d e x y a o
ty一般地，若平面区域是 x一区域：由上yi = f(x)曲线 =fi(x)、下曲线y2 =f,(x)左直线 x=α 、右直线 x=b 所围成则其面积公式为： A=[[fi(x)-f(x)]y2 = f2(x)eX0a6x区域若平面区域是 y一区域：由左曲线yxi = gi(y)、右曲线 xz = g2(y)、b下直线 y=α、上直线y=b所围成，则其面积公式为：gi(y)x=x = g2(y)A = [lg2(y) - gi(y)ldy. 如aO图所示。Xy一区域3
3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) b a x y f x y f x x a x b A f x f x y x g y x g y y a y b = = = = = − = = = = 一般地，若平面区域是 —区域：由上 曲线 、下曲线 、 左直线 、右直线 所围成， 则其面积公式为： 若平面区域是 —区域：由左曲线 、右曲线 、 下直线 、上直线 x—区域 2 1 , ( ) ( ) . b a A g y g y dy = − 所围成 则其面积公式为： 如 图所示。 y—区域 y x o ( ) 1 1 y = f x ( ) 2 2 y = f x a b x y o a b ( ) 1 x = g y ( ) 2 x = g y
如果平面区域既不是x一型区域，也不是V一型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若于个一型区域与y一型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。如右下图：上曲线由三条不同的曲线：AB、BC与CD 构成；下曲D线由两条不同曲线：EF与FG所构成。为计算其面积，可分别过点B、C与F作平行于y轴的直线，则把平面区域分成4个x—一型区域
4 如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，则用一组 平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x—型 区域与y—型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总 的面积等于各区域面积之和。如右下图： 上曲线由三条不同的曲线： AB、BC与CD 构成；下曲 线由两条不同曲线：EF与 FG所构成。为计算其面积， 可分别过点B、C与F作平行 于 y轴的直线，则把平面区 域分成4个x—型区域。 y x E a b A B C D F G o
例1 求抛物线 y2 = x 与直线：x-2y-3=0B所围成的平面区域的面积A2解法1：如图所示：所给的区域不是一个规范的x-域，如图A需将其切成两块，即可化成x-形区域的面积问题第一块的面积：4A = [-x-(-x)]dx= 2]，第二块的面积：30,总面积： A=A +A =10228.332
5 解法 ： 如图所示： 所围成的平面区域的面积 例 求抛物线 与直线： 1 . 1 2 3 0 2 y = x x − y − = 所给的区域不是一个规范的x-域, 如图 需将其切成两块, 即可化成x-形区域的 面积问题。 第一块的面积 ： A B A1 A2 ,第二块的面积 ： ,总面积：
解法2：若把围成的平面区域看成y一型区域：则左曲线为：x=y2右曲线为： x=2y+3,y一型区域面积的计算公式得面积A= [2y+3)- y ly=102y(t)+03二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积设区间[α,b]上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示x=x(t), y=(t) α≤t≤8在[α，] 上y(t)连续，x(t)连续可微且 x(t)±0
6 ( ) . 3 2 2 3 10 2 3, , 2 3 1 2 2 − = + − = = + = A y y dy x y y y x y 域面积的计算公式得面积 右曲线为： —型区 —型区域：则左曲线为： 解法 ： 若把围成的平面区域看成 二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积 设区间 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示 y (t) 0 [a,b] 在 上 y t( ) 连续， x t( ) 连续可微且 x t ( ) 0
a=xα),b=x8)x()>0（对于 x(t)<0 的情况类似讨论）则A = f' 1 y(t) / x(t)dt = f' bv(t)x(t) / dt计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法：1）具体计算时常利用图形的几何特征2）从参数方程x=x()，=t）α≤t≤定义域分析确定x例2 求由椭圆1 所围成的面积。b2Q解
7 （对于 的情况类似讨论）则 计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常 有两种方法： 1）具体计算时常利用图形的几何特征 2）从 参数方程 定义域 分析确定 2 2 2 2 1 x y a b 例2 求由椭圆 所围成的面积。 + = 解 | ( ) | ( ) | ( ) ( ) | b a A y t x t dt y t x t dt = = x t ( ) 0
例3 求摆线 x = α(t-sin t),y=a(l-cost),(a>O)的一拱与x 轴所围的平面图形的面积（如图阴影部分）12aCa2元aBG福由图看出，=0对应原点 （0，0），t=2π 对应一拱的终点(2元α,0），所以其面积为：23A= Ja(1-cost)[a(t-sin t)]'dt = Jα"(1- cost)"dt008
8 例3 求摆线 的一拱与x 轴 所围的平面图形的面积 (如图阴影部分) 由图看出, 对应原点 (0 , 0 ) , 对应一拱的终点 ,所以其面积为: x = a(t −sin t), y = a(1− cost),(a 0) (2a,0)
三、极坐标下平面图形的面积r =r(0)设曲线C由极坐标方程 r =r(の),θ [α,β]给出，其中r(の)在[α,β]r(0.)r(0B上连续，β-α≤2元．由曲线C与40两射线：θ=α、=β所围成的a平面图形的面积：Xr?()d6-和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是成（见下页示图）1）利用图象：2）分析极坐标方程的定义域9
9 三、极坐标下平面图形的面积 A r d C r C r r = = = − = ( ) 2 1 2 . [ , ] ( ) [ , ] ( ) , 2 平面图形的面积： 两射线： 、 所围成的 上连续， 由曲线 与 给出，其中 在 设曲线 由极坐标方程 o r = r() ( ) = i−1 r = r( i ) r r i x 和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上 下限的确定。确定上下限方法通常也是 1）利用图象；2）分析极坐标方程的定义域 （见下页示图）
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