S 2由平行截面面积求体积授课题目82由平行截面面积求体积目的要求：会由平行截面面积求体积，会求旋转体体积理解定积分的基本思想：重点难点：由平行截面面积求体积理解定积分的基本思想教学方法：讲授法教学过程如下
1 § 2 由平行截面面积求体积 •授课题目§ 2 由平行截面面积求体积 •目的要求:会由平行截面面积求体积,会求旋转体体积 理解定积分的基 本思想; •重点难点: 由平行截面面积求体积, 理解定积分的基 本思想 •教学方法:讲授法 •教学过程如下:
1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，导出了极坐标下平面图形的面积公式：()d82 J现在我们看右图一个空A(x间立体，假设我们知道它在x处截面面积为A（x），可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想b.求出它的体积？
2 1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式 上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的 分析方法，导出了极坐标下平面图形的面积公式 : A 现在我们看右图一个空 间立体，假设我们知道它 在x 处截面面积为A(x)， 可否利用类似于上节极坐 标下推导面积公式的思想 求出它的体积？ x A(x)
如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积V- ZV, ~ZA(x) x,由此可得：V = [ A(x)dx这里，体积的计算的关键是求截面面积A（x），常用的方法先画出草图，分析图象求出A（x）例 1 求两圆柱： x2 +y2=R2 z2 +x2 = R2 所围的立体体积,3
3 如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似 看作直柱体，其体积等于底面积乘高， 所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积 i n i n i i V = V A x x =1 =1 ( ) 由此可得: V A(x)dx. b a = 这里，体积的计算的关键是求截面面积A(x) , 常用的方法先 画出草图，分析图象求出A(x). 例 1 求两圆柱: 2 2 2 2 2 2 x + y = R z + x = R 所围的立体体积
解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？下图就是其在第一卦限部分立体：22RR
4 解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体 积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？ 下图就是其在第一卦限部分立体：
该立体被平面 x=x E(O, R)（因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为/R2－2的正方形，所以截面面积A(x)= R2-≤2故两圆柱面所围成的立体体积R16R3V = 8f(R2 -x2) dx =:3Zx.Xa-b-C
5 (0, R) ( ) 2 2 3 0 16 8 3 R V R x dx R = − = 故两圆柱面所围成的立体体积 x y z -a 0 a -c c -b b 0 x x y z -a 0 a -c c -b b 0 x 该立体被平面 （因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为 的 正方形, 所以截面面积 。 2 2 R − 2 2 A(x) = R − x = x
例2求由圆面所围立体（椭球）的体积。（如上图x2y222=1++一baC解法：画出草图，关键是求出用垂直于轴（其它轴也可）的平面截立体所得截面面积函数A（x）的具体表达式利用平行截面面积求立体体积，关键是求出截面面积函数的表达式，则立体体积的计算就可以轻易地转化为截面面积函数的定积分计算。6
6 2 2 2 A x( ) 2 2 2 x y z a b c + + = 1 例2 求由椭圆面所围立体（椭球）的体积。(如上图） 解法：画出草图，关键是求出用垂直于轴（其它轴也可）的平面 截立体所得截面面积函数 的具体表达式。 利用平行截面面积求立体体积，关键是求出截面面积函数的表达 式，则立体体积的计算就可以轻易地转化为截面面积函数的定积 分计算
2、旋转体体积公式设f是[a,b]上的连续函数，Qy= f(x是由平面图形：0≤≤f(x)，xE[a,b]（右图阴影部分）绕x轴旋转一周所得的旋转体，0X那么易知截面面积函数为baA(x) = π[f(x)]}’, x E[a,b],由已知平行截面面积求体积的y= f(x)公式可知，旋转体？的体积公式为：V = 元 j [f(x)]' dx.例3求圆锥体的体积公式
7 2、旋转体体积公式 2 2 [ , ] 0 ( ) , [ , ] ( ) , [ , ] ( ) . 3 b a f a b y f x x a b x A x f x x a b V f x dx = = 设 是 上的连续函数， 是由平面图形： （右图阴影部分）绕 轴旋转一周所得的旋转体， 那么易知截面面积函数为 （ ） ， 由已知平行截面面积求体积的 公式可知，旋转体 的体积公式为： 例 求圆锥体的体积公式 b a y f x = ( ) x y o b a y f x = ( ) x y o x a b y f x = ( ) x y o a b y f x = ( ) x y o a b y f x = ( ) x y o
例4 求由圆x2+(y-R)2≤r2(O<r<R)绕x轴旋转一周所得环状立体体积。解：如上图所示，上、下半圆方程分别为：y=R+Vr2-x2，y, =R-/r2-x2，[x≤r则环体体积是由上、下两个半圆绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之差（如下图所示）：下半圆：2 -上半圆：yR+Vr2-x28
8 2 2 2 例 求由圆 绕 轴旋转 4 ( ) (0 ) x y R r r R x + − 一周所得环状立体体积。 1 2 2 2 2 2 , , y R r x y R r x x r x = + − = − − 解：如上图所示，上、下半圆方程分别为： 则环体体积是由上、 下两个半圆绕 轴旋转一周所得旋转体的体积之差 (如下图所示）： y o x r − r 2 2 1 上半圆：y R r x = + − 2 2 2 下半圆：y R r x = − − y xo − rr y xo − rr
即环体体积：V=元j xdx-~ yidx=元2 - x2I dx -d-= 4元R[ /r? -x dx = 2元°r2R.课后记：总结出求体积的一般步骤：1、确定积分变量,2、确定积分区间（把所求体积投影到所选轴上）3、确定平行截面面积其中确定平行截面面积是难点，如244页例1若选y为积分变量平行截面面积是曲边梯形，有同学误认为是矩形
9 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 . r r r r r r r r V y dx y dx R r x dx R r x dx R r x dx r R − − − − = − = + − − − − = − = 即环体体积： 课后记: 总结出求体积的一般步骤:1、确定积分变量,2、确定积分区 间(把所求体积投影到所选轴上),3、确定平行截面面积. 其中确定平行截面面积是难点,如244页例1若选y为积分变量, 平行截面面积是曲边梯形,有同学误认为是矩形