S3一般项级数教学目的：让学生掌握一般项级数的收敛性问题教学重点：某些特殊类型的级数的收敛性问题。教学难点：判别法的灵活运用教学方法：讲授法。教学步骤：上节我们讨论了正项级数的收敛性问题，关于一般数项级数的收敛性判别问题要比正项级数复杂，本节只讨论某些特殊类型的级数的收敛性问题
§3 一般项级数 教学目的：让学生掌握一般项级数的收敛性问题． 教学重点：某些特殊类型的级数的收敛性问题． 教学难点：判别法的灵活运用． 教学方法：讲授法． 教学步骤： 上节我们讨论了正项级数的收敛性问题，关于一般数 项级数的收敛性判别问题要比正项级数复杂，本节只 讨论某些特殊类型的级数的收敛性问题．
交错级数若级数的各项符号正负相同，即(1)u-u2 +us -u +.(-1)u, +..(u, >0, n = 1,2,.),则称（1）为交错级数定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数（）满足下述两个条件：(i）数列 iu 单调递减;(ii) limu, = 0,则级数（1）收敛。证考察交错级数（1）的部分和数列（s，，它的奇数项和偶数项分别为S2m-} = Ul-(U2 -U:) -..-(U2m-2 -U2m-1),S2m=(ui-U2)+(u3-U)+..+(U2m-1-U2m)由条件（i），土述两式中各个括号内的数都是非负的，从而数列
一 交错级数 若级数的各项符号正负相同，即 .( 1) . ( 0, 1,2,.), 1 1 2 3 4 − + − + − + = + u u u u u u n n n n （1） 则称（1）为交错级数. 定理12.11（莱布尼茨判别法） 若交错级数（）满足下述两个 条件： (i） 数列 单调递减； （ii） 则级数（1）收敛. { u } n 0, lim = → un n 证 考察交错级数（1）的部分和数列 { sn } ，它的奇数项和 偶数项分别为 ( ) . ( ), s2m−1 u1 u2 u3 u2m−2 u2m−1 = − − − − − ( ) ( ) . ( ). s2m u1 u2 u3 u4 u2m 1 u2m = − + − + + −− 由条件（i），上述两式中各个括号内的数都是非负的，从而数列
是递减的，而数列is2m）是递增的.又由条件（i）知道S2m-1/00m>o所以数列is，收敛，即级数（1）收敛推论若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级1 Rn<≤Un+1（1）的余项估计式为二绝对收敛的级数一定收敛(5)Ui +U? +...+Un +...若级数各项绝对值所组成的级数(6)I ui I+Iu, I +...+ Iun I +...收敛，则称原级数（5）为绝对收敛
{ } s2m−1 是递减的，而数列 是递增的.又由条件（i）知道 0 0 ( ), 2 1 2 2 − = → → − s s u m m m m 从而 {[ , ]} s2m s2m−1 是一个区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数 s ，使得 . lim 2 1 lim 2 s s s m m m m = = → − → 所以数列 收敛，即级数（1）收敛. { s } n { } s2m 推论 若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级 （1）的余项估计式为 | | . Rn un+1 二 绝对收敛的级数一定收敛 若级数 . . 1 2 u + u + + u + n （5） 各项绝对值所组成的级数 | | | | . | | . 1 2 u + u + + u + n （6） 收敛，则称原级数（5）为绝对收敛
定理12.12绝对收敛的级数一定收敛证由于级数（6）收敛，根据级数的柯西收敛准则，对任意正数℃，总存在正数N，使得对n>N和任意正整数r，有I um+1 / + I um+2 I +.+ Ium+r 2!n!n!n=1的各项绝对值所组成的级数是lal[al[oA2!n!n!应用比式判别法，对于任何实数α都有
定理12.12 绝对收敛的级数一定收敛. 证 由于 级数（6）收敛，根据级数的柯西收敛准则，对任意 正数 ，总存在正数N ，使得对n>N 和任意正整数r ，有 | | | | . | | . 1 2 + + + um+ um+ um+r 由于 | . | | | | | . | | , 1 2 1 2 + + + + + + um+ um+ um+r um+ um+ um+r 因此由柯西准则知级数（5）也收敛. 例1 级数 . ! . ! 2! 2 1 = + + + + = n n n n n 的各项绝对值所组成的级数是 . ! . 2! | | ! | | | | | | 2 = + + + + n n n n 应用比式判别法，对于任何实数 都有
aUn+!Qlimlimn+1Unn→0n→00因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛若级数（5）收敛，但级数（6）不收敛，则称级数（5）为条件收敛下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质1．级数的重排我们把正整数列(1,2，..，}到它自身的一一映射f :n→k(n称为正整数列的重排，相应的对于数列 (ul按映射 F:un→Uk(n)所 得到的数列(uk(n)）称为原级数的重排,相应于此，我们也称≥uk(m) 是级数（5) 的重排,为叙述方便，记U,=Uk(m)级数Zuk(n写作即把级数7(7)O+U2 +... + Un +
0, 1 | | | | | | lim lim 1 = + = → + → n n n n n u u 因此，所考察的级数对任何实数 都绝对收敛. 若级数（5）收敛，但级数（6）不收敛，则称级数（5）为 条件收敛. 下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质. 1. 级数的重排 我们把正整数列{1，2，.，.}到它自身的一一映射 f : n → k(n) 称为正整数列的重排，相应的对于数列 按映射 un uk n F ( ) : → 所 得到的数列 称为原级数的重排.相应于此，我们也称 级数 =1 ( ) n uk n 是级数（5）的重排.为叙述方便，记 n uk (n) = 即把级数 写作 . . 1 2 + + + + n =1 ( ) n uk n {u } n { } uk (n) (7)
设级数（5）绝对收敛，且其和等于S，则任意重定理12.13排后所得到的级数（7）也绝对收敛亦有相同的和数2级数的乘积设有收敛级数Zu, = u + u, .+ u, +... = A,.(11)(12)ZU, =+V, ..+U, ..= B
定理12.13 设级数（5）绝对收敛，且其和等于S ，则任意重 排后所得到的级数（7）也绝对收敛亦有相同的和数. 2 级数的乘积 设有收敛级数 . . . . . , 1 2 1 2 B A n n un u u un = + + + + = = + + + + = （11） （12）
若级数（11）（12）都收敛，则对定理12.14（柯西定理Zwn（13）中所有乘积U,U，按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛，且其和等于AB例2等比级数-l+r+r+..+r..|rk11-r(Zrn）按（15）的顺序排列，则得到是绝对收敛的.将1=1+(r+r)+(r'+r+r)+.+(r"+..+r")+..(1-r)=1+2r+3r +...+(n+l)r" +...三阿贝耳判别法和狄利克雷判别法设,U,(i=1,2,, n引理（分部求和公式，也称阿贝耳变换）为两组实数，若令(k = 1,2,.., n),Ok = U+U2 + ... +Uk则有如下分部求和公式成立：
定理12.14（柯西定理） 若级数（11）、（12）都收敛，则对 （13）中所有乘积 ui j 按任意顺序排列所得到的级数 wn 也绝对收敛，且其和等于AB. 例2 等比级数 1 . . | | 1 1 1 2 = + + + + + − r r r r r n 是绝对收敛的.将 ( ) 2 r n 按（15）的顺序排列，则得到 1 ( ) ( ) . ( . ) . 1 2 2 2 2 (1 ) = + + + + + + + + + + − r r r r r r n n r r 1 2 3 . ( 1) . 2 = + + + + + + r r n r n 三 阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 引理（分部求和公式，也称阿贝耳变换） 设 为两组实数，若令 . ( 1,2,., ), 1 2 k n k k = + + + = 则有如下分部求和公式成立： , (i 1,2,.,n) i i =
Z80,=(-8)o,+(66)o,++(-8)o.-+8.0, (18)i-1证 以U= O1Uk= Ok-Ok-(k = 2,3,..,n) 分别乘以 c;(k=1,.,n)整理后就的所要证的公式（18）推论（阿贝耳引理）若i)S&….Cn是单调数组(i）对任一正整数k(l<k≤n)有,A(这里=Ui+..+Uk）,则记 =max(l; 时，有kIZ8U,<36A.(19)k=1证由（i)知道-8282-3... 8n-1-8n都是同号的.于是分部求和公式及条件（ii）推得2&D,(c-&)o+(c, 8)0,+.+(C--6).-*.0.k=l
( ) ( ) . ( ) . (18) 1 2 1 2 3 2 1 1 1 ii n n n n n n i = − + − + + − + − − = 证 以 1 =1 ,k =k −k−1 (k = 2,3,.,n) 分别乘以 (k 1,2,.,n), k = 整理后就的所要证的公式（18）. 推论（阿贝耳引理） 若 （i） 是单调数组； （ii） n , ,., 1 2 对任一正整数 k(1 k n) 有 |k | A （这里 k =1 +.+k ）， 则记 max{| |} k k = 时，有 | | 3 . (19) 1 A k n k k = 证 由（i）知道 n n − − − 1 2 2 3 −1 , ,., 都是同号的.于是分部求和公式及条件（ii）推得 | | | ( ) ( ) . ( ) | 1 2 1 2 3 2 1 1 1 k n n n n n n k k = − + − + + − + − − =
≤Al(G-&2)+(&2-)+..+(cn-en)/+AlE,1= AI-&2I+AIE,≤A(I +2/, )≤3cA现在讨论级数(20)Ea,b, = aib,+azb, +... + anb, +....收敛性的判别法定理12.15（阿贝耳判别法）若iα,为单调有界数列，且级数bn收敛，则级数（20）收敛证由级数b，收敛，依柯西准则，对任给正数 ，存在正数N，使当n>N时对任一正整数p，都有
A A A A A A n n n n n 3 (| 2 | |) | | | | | ( ) ( ) . ( )| | | 1 1 2 1 2 2 3 1 + = − + − + − + + − + − 现在讨论级数 . . 1 1 2 2 a b = a b + a b + + a b + n n n n （20） 收敛性的判别法. 定理12.15（阿贝耳判别法） 若 {an } 为单调有界数列，且级数 bn 收敛，则级数（20）收敛. 证 由级数 bn 收敛，依柯西准则，对任给正数 ，存在 正数 N ，使当 n>N 时对任一正整数 p ，都有
n+pb8.k-n又由于数列iαn有界，所以存在M>0，使lα,M，应用（19)n+p式结果可得到I Zaib.0效Za,sin nx 和Za,cos nx 对任何xe(o'Jr) 都收敛则级数
| | . + = n p k n bk 又由于数列 有界，所以存在 ，使 ，应用（19） 式结果可得到 a b M k n p k n k | | 3 + = { a } n M 0 |an | M 这就说明级数（20）收敛. 定理12.16（狄利克雷判别法） 若数列 单调递减，且 0 lim = → an n ，又级数 b 的部分和数列有界，则级数（20）收敛. n {a } n 例3 若数列 具有性质 . ., 0, 1 2 lim = → a a a an n n 则级数 a nx 和 对任何 都收敛. n sin a nx n cos x(0,2 )