S2含参量反常积分教学目的：1）理解含参量（反常）积分的概念2）会用含参量反常积分的连续性、可微性与可积性定理解决问题教学重点：含参量反常积分的连续性、可微性与可积性定理教学难点：含参量反常积分可微性与可积性定理教学方法：讲练结合
§2 含参量反常积分 教学目的：1）理解含参量（反常）积分的概念． 2）会用含参量反常积分的连续性、可微性与可 积性定理解决问题． 教学重点：含参量反常积分的连续性、可微性与可积性定理． 教学难点：含参量反常积分可微性与可积性定理． 教学方法：讲练结合．
一、一致收敛及判别法定义：设函数f(x,y)在无界区域R=((x,y)Iα≤x≤b,c≤y≤+o}上，若对于每一个固定的(1)x e[a,b],反常积分[。f(x,y)dy都收敛，则它的值是x在α,b上的取值，当记这个函数为I(x)时，则有I(x)=[f(x,y)dy,x E[a,b]称（1）式为定义在a,b上的含参量x的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分
一 、一致收敛及判别法 ( ) 积分，或简称含参量反常积分。 称（）式为定义在 上的含参量 的无穷限反常 函数为 时，则有 都收敛，则它的值是 在 上的取值，当记这个 反常积分 上，若对于每一个固定的 定义：设函数 在无界区域 a b x I x I x f x y dy x a b x a b x a b f x y dy a x b c y f x y R x y c c 1 , ( ) ( ) ( , ) , , , , , ( , ) (1) , } ( , ) { , | = + = + +
定义1 设含参量反常积分(1)与函数I(x)对Vε>CEN >c,使得M > N时，对一切xe[a,b],都有I J f(x, y)dy-I(x)k即Jm f(x,y)dyk?称含参量反常积分（1）在[a,b一致收敛于I(x),或含参量积分（1）在a,b一致收敛
或含参量积分（）在 一致收敛。 称含参量反常积分（）在 一致收敛于 即 使得 时，对一切 ，都有 定义 设含参量反常积分 与函数 对 a b a b I x f x y dy f x y dy I x N c M N x a b I x M M c 1 , 1 , ( ), | ( , ) | | ( , ) ( )| , , 1 (1) ( ) 0 − +
定义19.7（一致收敛的柯西准则）设含参量反常积分(1)在[a,b一致收敛对V>0,3M >c,使得当A, A, > M时，对一切x E[a,b], 都有( f(x, y)dy- I(x) k sin xy0dy在[8, + 00 )例1证明含参量反常积分Joy上一致收敛（其中>0),但在（0,+8）内不一致收敛
− | ( , ) ( )| , , (1) , 0, 19.7( 2 1 1 2 f x y dy I x A A M x a b a b M c A A 当 时，对一切 ，都有 积分 在 一致收敛 对 ，使得 定义 一致收敛的柯西准则）设含参量反常 上一致收敛（其中 但在（ ， ）内不一致收敛。 例 证明含参量反常积分 在 ， ） + + + 0), 0 [ sin 1 0 dy y x y
定义19.8 设含参量反常积分(1)在[a,b一致收敛对任一趋于+的递增数列(A,}(其中A, =c)，函数项级数ZAf(x, y)dy=Eu,(x)n=ln=l在[a,b]上一致收敛
| , . ( , ) ( ) { } ( ) 19.8 (1) , 1 1 1 1 在 上一致收敛 项级数 对任一趋于 的递增数列 其中 ，函数 定义 设含参量反常积分 在 一致收敛 a b f x y dy u x A A c a b n n n A A n n n = = = + = +
魏尔斯特拉斯M判别法 设有函数g(y),使得f(x, y)]≤ g(y), x e[a,bl ye[c,+o0)若[g(y)dy收敛,则[f(x,y)dy在[a,b]上一致收敛。cos xy.Odx在R上一致收敛。例2证明含参量反常积分1+ x"e-ry sin Xdx在[0,d]上一致收敛。例3证明含参量反常积分|x
若 收敛，则 在 上一致收敛。 魏尔斯特拉斯 判别法 设有函数 使得 g y dy f x y dy a b f x y g y x a b y c M g y c c ( ) ( , ) , ( , ) ( ), , , [ , ). ( ), + + + 例 证明含参量反常积分 dx在R上一致收敛。 x x y + 0 + 2 1 cos 2 例 证明含参量反常积分 dx在 d上一致收敛。 x x e xy 0, sin 3 0 + −
含参量反常积分的性质定理19.9（连续性）如果函数f(x,y)在矩形R =[a,b]x[c,+00]上连续,若含参量反常积分I(x)=[f(x,y)d)在[a,b]上一致收敛，则I(x)在[a,b]上连续
二、 含参量反常积分的性质 定理19.9（连续性） 如果函数 f (x, y) 在矩形 R = a,b[c,+) + = c 上连续， 若含参量反常积分I(x) f (x, y)dy 在[a,b]上一致收敛，则I(x)在[a,b]上连续
定理19.10(可微性） 设f(x,y)与f,(x,y)在区域[a,b]x[c,+o0)上连续，若I(x)= [f(x, y)dy 在[a,b]上收敛,。f,(x,y)dy 在[a,b]上一致收敛,则I(x)在[a,b]上可微，且I'(x) = / f.(x, y)dy
+ + + = + = c x c x c x I x f x y dy I x a b a b f x y dy a b a b c I x f x y dy f x y f x y ( ) ( , ) ( ) [ , ] [ , ] ( , ) [ , ] [ , ] [ , ) ( ) ( , ) 19.10 ( , ) ( , ) 则 在 上可微，且 上收敛， 在 上一致收敛， 上连续，若 在 定理 （可微性）设 与 在区域
定理19.10(可积性） 设f(x,y)在区域[a,b]×[c,+)上连续若I(x)=[f(x,y)dy 在[a,b]上一致收敛，则I(x)在[a,b]上可积, 且' dx J." f.(x, y)dy -J dy f' f.(x, y)dx
+ + + = = + c b a x c x b a c dx f x y dy dy f x y dx a b I x f x y dy a b I x f x y a b c ( , ) ( , ) [ , ] ( ) ( , ) [ , ] ( ) 19.10 ( , ) [ , ] [ , ) 上可积，且 若 在 上一致收敛，则 在 定理 （可积性）设 在区域 上连续
例4 计算sin bx -sin axte-px dx (p>0,b>a)x例5 计算sin axI = /+8dxJox
( 0, ) sin sin 4 0 dx p b a x bx ax I e p x − = + − 例 计算 dx x ax I sin 5 0 + = 例 计算