第六节函数图象的讨论
第六节 函数图象的讨论
渐近线定义：当曲线y=f（x）上的一动点P沿着曲线移向无穷点时如果点P到某定直线L的距离趋向于零，那么直线L就称为曲线y=f（x）的一条渐近线1.铅直渐近线（垂直于x轴的渐近线如果 lim f(x) = o0 或 lim f(x)= 0x→xx-→xo那么 x=x,就是 y=f(x)的一条铅直渐近线
一、渐近线 定义: . , ( ) , ( ) 一条渐近线 趋向于零 那么直线 就称为曲线 的 移向无穷点时 如果点 到某定直线 的距离 当曲线 上的一动点 沿着曲线 L y f x P L y f x P = = 1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线) ( ) . lim ( ) lim ( ) 0 0 0 那么 就是 的一条铅直渐近线 如果 或 x x y f x f x f x x x x x = = = = → + → −
1例如y=(x + 2)(x - 3)Y421-12D-2有铅直渐近线两条：x =-2，x=3
例如 , ( 2)( 3) 1 + − = x x y 有铅直渐近线两条: x = −2, x = 3
2. 水平渐近线(平行于x轴的渐近线如果 lim f(x)=b或 lim f(x)=b (b为常数)那么=b就是=f(x)的一条水平渐近线例如 y= arctanx,0.510-515510150.5元元有水平渐近线两条：y==7-2'2
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) ( ) . lim ( ) lim ( ) ( ) 那么 就是 的一条水平渐近线 如果 或 为常数 y b y f x f x b f x b b x x = = = = →+ →− 例如 y = arctanx, 有水平渐近线两条: . 2 , 2 = − y = y
3.斜渐近线如果lim [f(x) -(ax + b)] = 0X→+0或 lim[f(x)-(ax + b)) =0 (a,b为常数)X-那么 y=ax+b就是=f(x)的一条斜渐近线斜渐近线求法：f(x)limlim[f (x) - ax] = b.= a,x-→>8x-8x那么y=ax+b就是曲线y=f(x)的一条斜渐近线
3.斜渐近线 ( ) . lim [ ( ) ( )] 0 ( , ) lim [ ( ) ( )] 0 那么 就是 的一条斜渐近线 或 为常数 如果 y ax b y f x f x ax b a b f x ax b x x = + = − + = − + = →− →+ 斜渐近线求法: , ( ) lim a x f x x = → lim[ f (x) ax] b. x − = → 那么 y = ax + b 就是曲线 y = f (x)的一条斜渐近线
如果注意：f(x)不存在;(1) limxx-→f(x)=a 存在,但 lim[f(x)-ax] 不存在,(2) limx-→0xx-→8可以断定=f(x)不存在斜渐近线例1 求 f(x) = 2(x - 2)(x + 3)的渐近线x-1解D : (-00,1)U (1,+00)
注意: ; ( ) (1) lim 不存在 如果 x f x x→ , lim[ ( ) ] , ( ) (2) lim a 存在 但 f x ax 不存在 x f x x x = − → → 可以断定 y = f (x)不存在斜渐近线. 例1 . 1 2( 2)( 3) 求 ( ) 的渐近线 − − + = x x x f x 解 D :(−,1)(1,+)
lim f(x) = + o0,: lim f(x) =- 00,r-→1tx-→1x=1是曲线的铅直渐近线f(x)2(x - 2)(x + 3)又: lim= 2,limx(x -1)x-→0x→>8x2(x - 2)(x + 3) - 2 x)limx(x-1)x-→82(x - 2)(x + 3) - 2x(x - 1) = 4,= limx-1x→0：y=2x+4是曲线的一条斜渐近线
= → + lim ( ) 1 f x x − , = → − lim ( ) 1 f x x + , x = 1是曲线的铅直渐近线. = → x f x x ( ) 又lim ( 1) 2( 2)( 3) lim − − + → x x x x x = 2, 2 ] ( 1) 2( 2)( 3) lim[ x x x x x x − − − + → 1 2( 2)( 3) 2 ( 1) lim − − + − − = → x x x x x x = 4, y = 2x + 4是曲线的一条斜渐近线
2(x - 2)(x + 3)f(x)=的两条渐近线如图x-1y10050x24-4-2-50100
的两条渐近线如图 1 2( 2)( 3) ( ) − − + = x x x f x
一、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形第一步确定函数= f(x)的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论，求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数f(x):第二步求出方程f(x)=0和f(x)=0 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间
二、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 确定函数y = f (x)的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 ( ) ' f x 和二阶导数 ( ) " f x ; 求出方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间
第三步确定在这些部分区间内f(x)和f(x)的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点（可列表进行讨论）;第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势：第五步描出与方程f(x)=0和f"(x)=0 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形
第三步 确定在这些部分区间内 ( ) ' f x 和 ( ) " f x 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论）； 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势; 第五步 描出与方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形