S 4 高阶导数教学内容：1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数y=x"、三角函数y=sinx、y=cosx、指数函数y=e的n阶导数公式。2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。3、给出了求由参量方程所确定的函数的一阶导数的计算公式教学重点：各类函数高阶导数的计算要求：熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。问题的提出：速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速度与位移是什么关系呢？
§4 高阶导数 教学内容： 1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数y=xn、三角函数 y=sinx、y=cosx、指数函数y=ex的n阶导数公式。 2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。 3、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。 教学重点： 各类函数高阶导数的计算。 要求： 熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。 问题的提出： 速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速 度与位移是什么关系呢？
高阶导数的概念1、二阶导数的定义文在点x可导，则称f在点定义1：若函数f的导函数x,的导数为f在点的二阶导数f记作f"(x），即f'(0)- f'(x)= f"(xo),limX-0x-Xo同时称f在点x为二阶可导。2、n阶导数：f的n-1阶导数的导数称为 f 的n阶导数。3、高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
一 高阶导数的概念 1、二阶导数的定义 定义1：若函数 的导函数 在点 可导，则称 在点 的导数为 在点 的二阶导数，记作 ，即 同时称 在点 为二阶可导。 2、n 阶导数： 的n-1阶导数的导数称为 的n 阶导数。 3、高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 0 x f f f f 0 x 0 x 0 f x ( ) 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ), x f x f x f x → x x − = − f 0 x f f
高阶导数的计算1、n个初等函数的高阶导数例1求幂函数y=x（n为正整数）的各阶导数。解由幂函数的求导公式得y' = nx"-1y" = n(n-1)x"-2y(n-1) = (y(n-2)' = n(n -1)..2x,y(n) = (y(n-l)= (n(n -1)2x)' = n!,y(n+1) = y(n+2)= ...= 0.由此可见，对于正整数幂函数x"，每求导一次，其幂次降低1第n阶导数为一常数，大于n阶的导数都等于0
二 高阶导数的计算 1、n 个初等函数的高阶导数 例1 求幂函数 （n 为正整数）的各阶导数。 n y x = 解 由幂函数的求导公式得 1 2 ( 1) ( 2) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) , ( 1) , ( ) ( 1) 2 ( ) ( ( 1) 2 ) !, n n n n n n n n y nx y n n x y y n n x y y n n x n y y − − − − − + + = = − = = − = = − = = . . ， . = .= 0. 由此可见，对于正整数幂函数x n，每求导一次，其幂次降低1， 第 n 阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于0
注：用类似的方法，可求得三角函数y=sin x,y=cos x指数函数的各阶导数。元(sin x)(n) = sin(x + n.2元(cosx)(n) = cos(x+ n. 2(e*)(n) = er
注：用类似的方法，可求得三角函数y=sin x ,y=cos x 指数函数的各阶导数。 ( ) ( ) ( ) (sin ) sin( ) 2 (cos ) cos( ) 2 ( ) n n x n x x x n x x n e e = + = + =
2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数莱布尼茨公式：(uv)(n) = u(n)p(0) + c,u(n-1),() +...+ c,u(n-k),(k) +...+ u(0)p(n)-Zchu(-k),(k)k=0例4:设y=e*cosx，求 y(5)解令u(x）=ev(x）=cosx由例2和例3有元u(n)(x)= e*, v()(x) = cos(x+ n. 2应用莱布尼茨公式（n=5）得2元y(5) = e* cos x +5e* cos(x+ ")+10e* cos(x+ 2.2T)+e*cos(x+5."+10e*cos(x+3.=)+5e*cos(x+4.-222= 4e*(sinx-cosx)
2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数 莱布尼茨公式： ( ) ( ) (0) 1 ( 1) (1) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) k n k k n n n n n n uv = u v + c u v ++ c u v ++ u v − − = − = n k k n k k n c u v 0 ( ) ( ) 例4：设 y e x ，求 x = cos . (5) y 解 令 u x e v x x 由例2和例3有 x ( ) = , ( ) = cos ). 2 ( ) , ( ) cos( ( ) ( ) u x = e v x = x + n n x n 应用莱布尼茨公式（n=5）得 ) 2 ) 10 cos( 2 2 cos 5 cos( (5) y = e x + e x + + e x + x x x ) 2 ) cos( 5 2 ) 5 cos( 4 2 10 cos( 3 + e x + + e x + + e x + x x x 4e (sin x cos x) x = −
3分例解研究函数的高阶导数製函数的高阶导数r,L2x.f(x)f(0)=0时,时，由左右导数定义不难求得（接下页）
3、分 段 函 数 的 高 阶 导 数 例5 研究函数 的高阶导数。 − = , 0 , 0, ( ) 2 2 x x x x f x 解 当 时， 当 时， 当 时，由左右导数定义不难求得 x 0 x 0 ( ) 2 , ( ) 2, ( ) 0( 3); ( ) f x = x f x = f x k k ( ) 2 , ( ) 2, ( ) 0( 3). ( ) f x = − x f x = − f x k k x = 0 (0) = (0) = (0) = 0, + − f f f （接下页）
而当 n≥2 时，f(n)(O)不存在，整理后得2x,x>0,2,x> 0,不存在，x=00,x= 0f"(x)=3 f'(x) =3 (-2x,x<0,-2,x<0,当n≥3时，f(n)(x)= 0(x ± 0), f(n)(0)不存在
而当 − = = 2 , 0, 0, 0, 2 , 0, ( ) x x x x x f x − = = 2, 0, 0, 2, 0, ( ) x x x f x 不存在， n 3 f (n) (x) = 0(x 0), f (n) (0)不存在。 n 2 (0) (n) 时， f 不存在，整理后得 当 时
4、由参量方程所确定的函数的高阶导数x-00由参量方程y-y(t)女 y= y(x) 的一阶、二阶所确定的函数导数分别为：y'(t)dy(1)dxp'(t)d'yy"(t)p'(t)-y'(t)"(t)(2)dr?[p'(t)]
4、由参量方程所确定的函数的高阶导数 由参量方程 所确定的函数 的一阶、二阶 导数分别为: = = ( ) ( ) y t x t y = y(x) ( ) ( ) t t dx dy = （1） 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t dx d y − = （2）
x =a(t-sint)例6试求由摆线参量方程所确定的函数y=a(t-cost)y=y(x)的二阶导数sintdy(a(1-cost)解由公式（1）得cotdx21-cost(a(t -sint)再由公式（2）得Csc?(cot ))d'y2CSOdr?(a(t-sint) a(1l-cost)4a2
例6 试求由摆线参量方程 所确定的函数 的二阶导数。 = − = − ( cos ) ( sin ), y a t t x a t t y = y(x) 解 由公式（1）得 再由公式（2）得 . 2 cot 1 cos sin ( ( sin )) ( (1 cos )) t t t a t t a t dx dy = − = − − = . 2 csc 4 1 (1 cos ) 2 csc 2 1 ( ( sin )) ) 2 (cot 4 2 2 2 t a t a t a t t t dx d y = − − − = − =