曲面积分第二十二章第二节第二型曲面积分一、曲面的侧设M为连通曲面S上任一点，L为S上任一经过点M，且不超出S边界的闭曲线。又设M为动点，它在M.处与M.与有相同的法线方向，且有如下特性:当M从M.出发沿L连续移动，这时作为曲面上的点M，它的法线方向也连续地变动。最后当M沿L回到M.时，若这时M的法线方向任与M.的法线方向相一致，则说这曲面S是双侧曲面
第二十二章 曲面积分 第二节 第二型曲面积分 一、曲面的侧 0 0 0 0 M S L S M S M M M 设 为连通曲面 上任一点， 为 上任一经过点 ，且不超出 边界的闭曲线。又设 为动点，它在 处与 与有相同的法线方向，且有如下特性： 0 0 0 M M L M M L M M M S 当 从 出发沿 连续移动，这时作为曲面上的点 ，它的法线方向也连续地变动。最后当 沿 回到 时，若这时 的法线方向任与 的法线方向相一致，则 说这曲面 是 双侧曲面
若与M.的法线方向相反，则说S是单侧曲面通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与轴正向的夹角成锐角的一侧为正侧，则另一侧为负侧当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧，二、第二型曲面积分概念定义1 设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数，在S所指定的一侧作分割T，它把S分为n个小曲面S,S2,S,,S,,分割T的细度T=max[S,的直径}，△S,,AS,_,△S,分别表示S,在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由S的方向来确定
若与M S 0 的法线方向相反，则说 是 ( ) 当 为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。 正方向与 轴正向的夹角成锐角的一侧为正侧，则另一侧为负侧。 通常由 所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线 S z z = z x, y 单侧曲面。 二、第二型曲面积分概念 1 2 3 1 , , , , , , max , , yz zx xy n i i i i i i n i P Q R S S T S n S S S S T T S S S S S S = 设 为定义在双侧曲面 上的函数，在 所指定的 一侧作分割 ，它把 分为 个小曲面 分割 的细度 的直径 ， 分别表示 在三个坐标面上 的投影区域的面积，它们的符号由 的方向来确定。 定义1
如S,的法线正向与z轴正向成锐角时，S,在xy平面的投影区域的面积△S，为正。反之，若S法线正向与z轴正向成钝角时，它在xy平面的投影区域的面积△S，为负。在各个小区面S,上任取一点(si,ni,S)。若m.2 P(s, n.5)as. + Jm.n.Zo(s,ni,5,μs,T不i-1=1Z R(s,ni,5,)AS,存在且与曲面S的分割T+ limITI->0i-1和(ci,ni,5)在S,上的取法无关，则称此极限为函数P,Q,R在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分
xy xy i i i i i S z S xy S S z xy S 如 的法线正向与 轴正向成锐角时， 在 平面的投影 区域的面积 为正。反之，若 法线正向与 轴正向成钝角 时，它在 平面的投影区域的面积 为负。 在各个小区面Si i i i 上任取一点( , , )。若 ( ) ( ) yz z x i n i i i i T n i i i i i T P S + Q S = = → 1 0 1 0 lim , , lim , , ( ) 0 1 lim , , xy n i i i i T i R S S T → = + 存在且与曲面 的分割 ( , , ) , , i i i i S P Q R S 和 在 上的取法无关，则称此极限为函数 在曲面 所指定的一侧上的 第 二型曲面积分
记作[[ P(x, y,z)dxdz +Q(x, y,z)dzdx + R(x, y,z)dxdy (1)S或[[ P(x, y,z)dydz + J[ o(x, y,z)dzdx + [[ R(x, y,z)dxdyS1三、第二型曲面积分的计算定理22.2设R是定义在光滑曲面S : z = z(x,y)(x,y)e D)
( , , , , , , 1 ) ( ) ( ) ( ) S P x y z dxdz Q x y z dzdx R x y z dxdy + + 或 ( , , ) ( , , ) ( , , ) . + + S s S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy 三、第二型曲面积分的计算 定理22.2 设R是定义在光滑曲面 ( ) ( ) x y x y Dxy S : z = z , , , 记作
上的连续函数，以S的上侧为正侧（这时S的法线方向与z轴正向成锐角），则有[[ R(x, y,z)dxdy= [[ R(x, y,z(x, y))dxdy (2)sDxy证由第二型区面积分定义Z R(s), ni,E,)AS,J R(x, y,z)dxdy= lim。T->0 i=1SZR(g,n),z(e,n.)AS,= lim d→0il这里d = max S, 的直径)
以S S z 的上侧为正侧（这时 的法线方向与 轴 正向成锐角），则有 上的连续函数， ( , , ) ( , , ( , )) (2) = S Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy 证 由第二型区面积分定义 ( ) ( ) = → = n i i i i i T S xy R x y z dxdy R S 1 0 , , lim , , ( ( )) 0 1 lim , , , , xy n i i i i i d i R z S → = = 这里 max 的直径. xy d = Si
显然由|T= max[S,的直径}→0立刻可推得d →0由于R在S上连续，z在D上连续（曲面光滑！），据复合函数的连续性，R(x,y,z(x,J)也是D,上的连续函数.由二重积分的定义ZR(s,ni,z(s,n.))AS,[J R(x, y,z(x,y))dxdy = lim)d>oi=1Dxy所以[ R(x, y,z)dxdy= J R(x, y, z(x, y))dxdySDx
( , , , . ( )) xy xy R S z D R x y z x y D 由于 在 上连续， 在 上连续（曲面光滑！），据复合函数的 连续性， 也是 上的连续函数 由二重积分的定义 ( ( )) ( ( )) 0 1 , , , lim , , , . xy xy n i i i i i d D i R x y z x y dxdy R z S → = = 所以 ( , , ) ( , , ( , )) . = S Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy 显然由 T S d = → → max 0 0. i 的直径 立刻可推得
类似地，当P在光滑曲面S : x =x(y,z),(y,2) eDy上连续时，有(3)JJ P(x, y,z)dydz = P(x(y,z)dydz,SDy-这里S是以S的法线方向与x轴的正向成锐角的那一侧为正侧。当Q在光滑曲面S: y=y(z, x),(z,x) eD.上连续时，有
类似地，当P在光滑曲面 S x x y z y z D : , , , = ( ) ( ) yz 上连续时，有 ( , , , , 3 ) ( ( )) ( ) S Dyz P x y z dydz P x y z dydz = 这里S S x 是以 的法线方向与 轴的正向成锐角的那一侧为 正侧。 ( ), , ( ) zx z x D 当Q在光滑曲面 S:y=y z,x 上连续时，有
(4)J o(x,y,z) dzdx = J o(x,y(z,x) dzdx,sDax这里S是以S的法线方向与v轴的正向成锐角的那一侧为正侧。7例1计算J] xyzdxdy,SS其中S是球面x2+y2 +z2=1O在x≥0,y≥0部分并取球面V外侧（图1）。图1
( , , , , , 4 ) ( ( )) ( ) zx S D Q x y z dzdx Q x y z x dzdx = 这里S S y 是以 的法线方向与 轴的正向成锐角的 那 一 侧 为 正 侧。 例 1 , S xyzdxdy 计 算 2 2 2 1 0, 0 1 S x y z x y + + = 其 中 是 球 面 在 部 分 并 取 球 面 外 侧 （ 图 ） 。 x y zo 1 S2 S 图 1
解曲面S在第一、五卦限部分的方程分别为S+ :z, = /1-x - y2,S, : z, =-/1-x?-y2,它们在xy平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分。依题意，积分是沿S,的上侧和S,的下侧进行，所以J] xyzdxdy = J] xyzdxdy + JJ xyzdxdySS1S2
解 曲面S在第一 、五卦限部分的方程分别为 2 2 1 1 S z x y : 1 , = − − 2 2 2 2 S z x y : 1 , = − − − 它们在xy平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分。 依题意，积分是沿 1 2 S的上侧和S 的下侧进行，所以 S S S 1 2 xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy = +
- [[ xy1-x? -y~ dxdy-[] -xy 1-x? -y' dxdyDxyDx=2[[ xy /1-x? - y~ dxdy- 2fe dof'r coso sino/1-re dr215
2 2 2 2 1 1 D D xy xy = − − − − − − xy x y dxdy xy x y dxdy 2 2 2 1 Dxy = − − xy x y dxdy 1 2 3 2 0 0 2 cos sin 1 d r r dr = − 2 . 15 =