85微积分学基本定理.定积分计算（续本节第一部分的内容主要是利用定积分证明来证明前面多次提到的问题一连续函数必存在原函数：第二部分的内容主要介绍定积分的换元积分法及积分分部积分法一、变限积分与原函数存在定理1、变限积分设 f 在[a,b]上可积，根据积分区间的可加性，对Vx e[a,b]，f在[a,x]上也可积, 于是, 由 Φ(x)=[ f(t)dt , x e[a,b]定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地可定义变下限的定积分：
1 §5 微积分学基本定理. 定积分计算（续） 本节第一部分的内容主要是利用定积分证明来证明前面多次 提到的问题—连续函数必存在原函数；第二部分的内容主要介绍 定积分的换元积分法及积分分部积分法。 一、变限积分与原函数存在定理 1、变限积分 [ , ] [ , ], [ , ] ( ) ( ) , [ , ] x a f a b x a b f a x x f t dt x a b x = 设 在 上可积，根据积分区间的可加性，对 在 上也可积，于是，由 定义了一个以积分上限 为自变量的函数，称为变上限的定积分。 类似地可定义变下限的定积分：
Y(x) = [ f(t)dt, x e[a,b]Φ(x)、(x)统称为变限积分（或积分上、下限函数）。现在的问题是：变限积分(函数）有什么性质？由于对Vx e [a,b], 有: j r()dt=-[ r(1)dl, 因此下面只讨论变上限积分的性质定理9.9 若 f 在[a,b]上可积，则变上限积分Φ(x)=「 f(t)d?必在[a,b]上连续。（证2
2 ( ) ( ) , [ , ] ( ) ( ) ( [ , ], ( ) ( ) , . 9.9 [ , ] ( ) ( ) [ , ] b x b x x b x a x f t dt x a b x x x a b f t dt f t dt f a b x f t dt a b = = − = 、 统称为变限积分（或积分上、下限函数）。 现在的问题是：变限积分 函数）有什么性质？ 由于对 有： 因此下面只讨论变 上限积分的性质 定理 若 在 上可积，则变上限积分 必在 上连续。（证）
定理说明，变限积分(函数）必在积分区间上连续定理9.10（原函数存在定理）若f在[a,b]上连续，则变上限积分d(x)=[ f(t)dt 在[a,b)上可导, 且: Φ(x)=J f(t)dt= f(x). (证)定理说明：D、只要f 在[a,b]上连续，则其在[a,b]上必存在原函数，且变限积分d(x)=[ f(t)dt 就是 于 的一个原函数。a2）、本定理沟通了导数（函数平均变化率的极限）与定积分（黎曼积分和的极限）这两个从表面上看去似不相干的概念之间的桥梁3
3 ( . 9.10 [ , ] ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) ( ). ( 1 [ , ] [ , ] ( ) ( ) 2 x x a a x a f a b x f t dt a b x f t dt f x f a b a b x f t dt f = = = = 定理说明，变限积分 函数）必在积分区间上连续 定理 （原函数存在定理）若 在 上连续，则变上限积分 在 上可导，且： 证） 定理说明： ）、只要 在 上连续，则其在 上必存在原函数，且变限积分 就是 的一个原函数。 ）、本定理沟通了导数（函数平均变化率的极 , 限）与定积分（黎曼 积分和的极限）这两个从表面上看去似不相干的概念之间的桥梁
也就是沟通了微分学与积分学的桥梁。因此把本定理称为“微积分基本定理”思考题:1、可积的函数是否一定存在原函数？存在原函数的函数是否一定可积？前一个问题可考虑：sgn(x)在[-1,1]上的可积性与原函数的存在性。.1xsin-,x±0，在[-1, 1]上是否为:后一个问题可考虑：f(x)=x0, x=0１212x sin2，x±0COs，的原函数？g(x)在[-1,1]上是否可x?xg(x) =x0, ,x=0积?1
4 2 2 2 1 sgn( ) [ 1 1] 1 sin , 0 ( ) , [ 1, 1] 0, 0 1 2 1 2 sin cos , 0 ( ) , ( 0, , 0 x x x f x x x x x g x g x x x x − = − = − = = 也就是沟通了微分学与积分学的桥梁。因此把本定理称为“微积分 基本定理”。 思考题： 、可积的函数是否一定存在原函数？存在原函数的函数是否一定可积？ 前一个问题可考虑： 在 ， 上的可积性与原函数的存在性。 后一个问题可考虑： 在 上是否为： 的原函数？ x) [ 1, 1] 在 上是否可 − 积？
2)、间:符号[(x)dx[(x)dx[f()dt 有何区别? 有何联系?aa二、定积分换元积分法与分部积分法原函数的存在性定理及牛顿一莱不尼茨公式，揭示了定积分与不定积分之间的关系，因此可以把不定积分的换元积分法与分部积分法相应地移植到定积分计算上来1、定积分的换元积分法定理9.12 若f在[a,b]上连续，β 在[α，β]上有连续的导函数，且满足: (α) = a, p(β)=b, α≤β(t)≤b , t E[α, β]则有定积分换元公式：D
5 2 ( ) ( ) ( ) 1 9.12 [ , ] [ ] , , b x a a f x dx f x dx f t dt f a b a b a t = = ）、问：符号 有何区别？有何联系？ 二、定积分换元积分法与分部积分法 原函数的存在性定理及牛顿—莱不尼茨公式，揭示了定积分 与不定积分之间的关系，因此可以把不定积分的换元积分法与分 部积分法相应地移植到定积分计算上来。 、定积分的换元积分法 定理 若 在 上连续， 在 ， 上有连续的导函数，且满 足：（ ） （ ） （ ） b t , [ ], ， 则有定积分换元公式：
( f(x)dx = T f (p()p'(t)dta证公式使用时应注意：1） 、换元必换限：用 x =β(t)把原来变量x 换成新变量时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限：2）、求出f(g(t))β'(t)的一个原函数F(t)后，不必象不定积分那样再要把F(t)还原成原来变量x的函数，而只要把新变量的上下限代入F(t)中求其差值即可。3）、使用公式时要注意条件，要求所作的变换 x=β(t)满足两条件：（1）、β'(t）在[α，β)上连续；（2）、当t从α变到β时，β(t)恰好从a变到b6
6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 1 b a f x dx f t t dt x t x t t f t t F t F t x F t x t = = = 证 公式使用时应注意： ）、换元必换限：用 把原来变量 换成新变量 时，积分限 也要换成相应于新变量 的积分限； ）、求出 的一个原函数 后，不必象不定积分那样再 要把 还原成原来变量 的函数，而只要把新变量的上下限代入 中求其差值即可。 ）、使用公式时要注意条件，要求所作的变换 满足两条 件：（） ( [ ] 2 ( ) . t t t a b 、 ）在 ， 上连续；（ ）、当 从 变到 时， 恰 好从 变到
4)、如果定理的条件只假设f 在[α,b]上可积，但还要要求β(t)是单调的，则定积分的换元积分公式仍成立。思考题：应用换元法计算定积分时，一旦得到了新变量表示的原函数后不必作变量还原，而只要用新的积分限代入并求差值就可以了。为什么？利用定积分的换元积分法容易证明重要的结论：若f在[-α,a]上连续，且是奇函数，则:{f(x)dx=0；若是偶函数，则C4J f(x)dx = 2j f(x)dx0-a1
7 4 [ , ] ( ) ）、如果定理的条件只假设 在 上可积，但还要要求 f a b t 是单调的，则定积分的换元积分公式仍成立。 思考题： 应用换元法计算定积分时，一旦得到了新变量表示的原函数后， 不必作变量还原，而只要用新的积分限代入并求差值就可以了。 为什么？ ( ) 2 ( ) . [ , ] ( ) 0 ; 0 = − = − − a a a a a f x dx f x dx 若f在 a a 上连续，且是奇函数，则： f x dx 若是偶函数，则 利用定积分的换元积分法容易证明重要的结论：
In(1 + x)1为技巧积分题例1求[/1-xdx例2 求 J =ax1+ x2002dx为技巧积分题例3 求2ox+a2-x2[xf(x2 +1)dx例4 已知：「J(x)dx=-4，求8
8 例1 求 例2 求 为技巧积分题 例3 求 为技巧积分题 例4 已知： ，求
2、定积分分部积分法定理9.13 若 u(x)v(x)为[a,bl上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式:b[u(x) v'(x)dx = u(x)v(x)b(证)[u'(x) v(x)dx1a例1 求 [ x? In xdx元元例2 求sin" xdx 与 cos" xdx, n =1,2,...0解：n-1 x(cos x)'dxsin
9 2 sin cos , 1,2, 1 ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9.13 ( ) ( ) [ , ] 2 20 20 1 2 = = − xdx xdx n x xdx u x v x dx u x v x u x v x dx u x v x a b n n e ba ba ba 例 求 与 例 求 （证） 公式： 定理 若 、 为 上的连续可微函数，则有定积分分部积分 、定积分分部积分法 解：
2-1xcosx +[ecosx(sn "-1 x)'dx-sin sin n-2 x(1-sin x)dx = (n -1)Jx-2 -(n -1)Jx.n-1-解得：J，=直接求得=[。2sinxdx=12nT21x于是，当n 为偶数时，有:20n-3n-12-H2nn-2n-33(n - 1)!!n-1(n-1)(n-3)...5.3.1元元1224n!!n-22n(n-2)...4.2n10
10 = ， ， 解得： 直接求得 于是, 当 n 为偶数时, 有：