$2F闭区间上连续函数性质的证明有界性:.命题1f(x)蜻C[a,b],运 在[a,b]上f(x)=O(1)证法（用区间套定理）．反证法I证法 二（用列紧性）．反证法证法 三（用有限复盖定理）撑．最值性：命题 2f(x)蜻C[a,b]，运 f(x)在[a,b]上取得最大值和最小值.（只证取得最大值）证（用确界原理）参阅[1]P226［证法二］后半段．介值性：证明与其等价的零点定理”·
§2 闭区间上连续函数性质的证明 一. 有界性: 命题 1 f (x)蝳C[ a , b ], 迃 在[ a ,b ]上 f (x) = O(1) . 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 擇. 最值性: 命题 2 f (x)蝳C[ a , b ], 迃 f (x)在[ a ,b ]上取得最大值和最小 值.( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法 二 ] 后半段. 嶰. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”
命题3（零点定理证法 一（用区间套定理）：证法 二(用确界原理 ).不妨设 f(a)>0，f(b)0，x[a,b]}，则E非空有界，→ E有上确界．设= supE有ε[a,b]．现证 f()=O，（为此证明f() ≥0且f()≤0 ).．1取x,>= 且xn→三,(n→). 由f(x)在点=连续和f(x,)≤0，→f() = lim f(xn)≤ 0,→ E. 于是3tn EE, tn →(n→∞). 由f(x)在点=连续和f(t,)>0
命题 3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 f (a) 0, f (b) 0 . 令 E = { x | f (x) 0, x [ a , b ] }, 则 E 非空有界, E 有上确 界. 设 = sup E 有 [ a ,b ]. 现证 f ( ) = 0 , ( 为此证明 f ( ) 0且 f ( ) 0 ). 取 n x > 且 n x → , ( n → ) . 由 f (x) 在点 连续和 f (xn ) 0 , ( ) = lim ( ) 0 → n n f f x , E . 于是t E, t → ( n → ) n n . 由 f (x)在点 连续 和 f (t n ) 0
→ f()= lim f(tn)≥0. 因此只能有 f()=0.→o证法 三（用有限复盖定理）.二． 一致连续性:命题4（Cantor 定理）证法 一（用区间套定理），证法 二二（用列紧性）.习题课（4时)实数基本定理互证举例：1用“区间套定理”证明“单调有界原理
( ) = lim ( ) 0 → n n f f t . 因此只能有 f ( ) = 0 . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 二. 一致连续性: 命题 4 ( Cantor 定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用列紧性 ). 习 题 课 （ 4 时 ） 一． 实数基本定理互证举例： 用“区间套定理”证明“单调有界原理
证设数列（x,}递增有上界．取闭区间「α,b ]，使α,不是(xn}的上界，b,是(x,}的上界．易见在闭区间［α,,b,]内含有数列(xn}的无穷多项，而在[α,,b, 外仅含有(x,}的有限项.对分[ai,b, ]，取[α2,b,]使有[a ,b, ]的性质.…………于是得区间套([αn,b,]},有公共点．易见在点=的任何邻域内有数列（x}的无穷多项而在其外仅含有（x,}的有限项，→lim x，=.n-例1用“确界原理”证明“区间套定理”·证{[an,b,1}为区间套．先证每个αm为数列(b,}的下界，而每个bm为数列的上界．由确(α,}界原理，数列(α,}有上确界
证 设数列{ xn }递增有上界. 取闭区间 [ , ] a1 b1 , 使a1不是 { xn }的上界, b1 是{ xn }的上界. 易见在闭区间 [ , ] a1 b1 内含有数 列{ xn }的无穷多项, 而在[ , ] a1 b1 外仅含有{ xn }的有限项. 对分 [ , ] a1 b1 , 取[ , ] a2 b2 使有[ , ] a1 b1 的性质.于是得区间套 {[ , ] an bn } ,有公共点 . 易见在点 的任何邻域内有数列{ } n x 的 无穷多项而在其外仅含有{ xn }的有限项, = → n n lim x . 例1 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 {[ , ] an bn }为区间套. 先证每个am 为数列{ } bn 的下界, 而每 个bm 为数列的上界. 由确{ an }界原理 , 数列{ an }有上确界
数列(b,}有下确界。设 α= inf （bn)，β=sup （an}.易见有an≤α≤b,和an≤β≤bn由bn-an→0,(n→), =→ α=β例1用“有限复盖定理”证明“聚点原理”证（用反证法）设S为有界无限点集，Sc[α,b].反设[α,b]的每一点都不是 S的聚点，则对VxE[α,b]，存在开区间(α,β)，使在(α,β)内仅有 S的有限个点.例2用“确界原理”证明“聚点原理”证设S为有界无限点集．构造数集 E=1xlE中大于x的点有无穷多个！
数列{bn }有下确界 . 设 = inf {bn }, = sup { an }.易见有 an bn 和an bn . 由b − a → 0 , ( n → ) n n ， = . 例1 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”. 证 ( 用反证法 ) 设 S 为有界无限点集, S [ a , b ]. 反设 [ a , b ]的每一点都不是 S 的聚点, 则对 x [ a ,b ], 存在开区间 ( , ) x x , 使在( , ) x x 内仅有 S 的有限个点. . . 例2 用“确界原理”证明“聚点原理”. 证 设 S 为有界无限点集. 构造数集 E ={ x | E 中大于 x 的点 有无穷多个}
易见数集E非空有上界，由确界原理，E有上确界．设 β=sup E则对ε>O,由β-ε不是E的上界,=E中大于β-ε的点有无穷多个；由β+ε是E的上界，E中大于β+ε的点仅有有限个．于是，在(β-ε,β+ε)内有E的无穷多个点,即β是E的一个聚点一． 确界存在定理：回顾确界概念.Th 1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界.二．单调有界原理：回顾单调和有界概念Th 2单调有界数列必收敛：
易见数集 E 非空有上界, 由确界原理, E 有上确界. 设 = sup E . 则对 0 ,由 − 不是 E 的上界, E 中大于 − 的点有无穷 多个; 由 + 是 E 的上界, E 中大于 + 的点仅有有限个. 于 是, 在( − , + ) 内有 E 的无穷多个点,即 是 E 的一个聚点 . 一． 确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确 界 . 二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛
福实数基本定理应用举例：例1 设f(x)是闭区间[αa,b]上的递增函数， 但不必连续 .(山如果f(a)≥a,f(b)≤b，则3x。E[a,b],使f(x)=x.东大学研究生入学试题）证法一（用确界技术)设集合 F=(xl f(x)≥x，α≤x≤b)则αeF，F不空 ;F C［a,b]，F有界·由确界原理 ，F有上确界设 x。=sup F, 则 x。ε[a,b]下证 f(xo)=xo
二. 实数基本定理应用举例： 例1 设 f (x)是闭区间[ a ,b ]上的递增函数, 但不必连续 . 如果 f (a) a , f (b) b , 则 x0 [ a ,b ], 使 0 0 f (x ) = x . ( 山 东大学研究生入学试题 ) 证法 一 ( 用确界技术 ) 设集合 F = { x | f (x) x , a x b}. 则a F , F 不空 ; F [ a ,b ] , F 有界 . 由确界原理 , F 有上确界. 设 x0 = sup F , 则 x0 [ a ,b ]. 下证 0 0 f (x ) = x
f(x)递增和f(x)≥xo， 有f(f(x)≥(x),可见f(x)eF. 由X=sup F,→ f(xo)≤xo.于是，只能有f(xo)=x.ii）若x。史 F，则存在F 内的数列（x,}，使x,/xo，(n →)；也存在数列(tn}，x<t,≤b,t,xo,(n→).由f递增,x,EF以及t, F, 就有式xn≤f(xn)≤f(xo)≤f(tn)<t，对任何n 成立.令n→ ，得X。≤ f(xo)≤ xo
f (x)递增和 0 0 f (x ) x , 有 f (f (x0 )) ( ) 0 f x , 可见 ( ) 0 f x F . 由 x0 = sup F , ( ) 0 f x 0 x . 于是 , 只能有 0 0 f (x ) = x . ⅱ） 若 x0 F , 则存在 F 内的数列{ } n x , 使 n x ↗ 0 x , ( n → ) ; 也存在数列 { } n t , , 0 x t b n n t ↘ 0 x , ( n → ) . 由 f 递增, xn F 以及 n t F , 就有式 n n n n x f (x ) f (x ) f (t ) t 0 对任何n 成立 . 令n → , 得 ( ) , 0 0 0 x f x x