《数学分析》教案第五章导数与微分（12学时）·引言导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下：1以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义；2．给出求导法则、公式，继而引进微分的概念：3讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。4.可导与连续，可导与微分的关系。导数与微分有广泛的应用，特别对研究初等函数变化的性态是极为有效的工具，因此学好本章内容意义非凡。总起来讲：1)什么是导数？2)导数有何用？3）怎么算导数？4）什么是微分？为什么引进？怎么算？S1导数的概念教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义：明确其实际背景并给出物理、几何解释：能够从定义出发求某些函数的导数：知道导数与导函数的相互联系和区别：明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。教学重点：导数的概念。教学难点：导数的概念。学时安排：2学时教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。教学程序：一导数的定义1.引言（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。具体来讲，导数的思想最初是有法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的。后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz）等数学家的努力，提炼出了导数的思想，给出了导数的精确定义。在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。问题1.已知曲线求它的切线：曲线方程y=f(x)，p=(xoyo）是其上一点，求y=f(x)通过点p的切线方程。问题2.已知运算规律，求物体运动速度，运动规律：S=s(t)，1o为某一确定时刻，求质点在t时刻的速度。上述两问题中，第一个是几何学的问题，后一个是物理学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如f(x)-f(xo)limT→X(X-Xo
《数学分析》教案 第五章 导数与微分 （12 学时） ⚫ 引 言 导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在 于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。 求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念； 3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。 导数与微分有广泛的应用，特别对研究初等函数变化的性态是极为有效的工具，因此学好本章内容意义非 凡。 总起来讲： 1） 什么是导数？ 2） 导数有何用？ 3） 怎么算导数？ 4） 什么是微分？为什么引进？怎么算？ §1 导数的概念 教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微 分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。 教学要求： 深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义 出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线 方程。 教学重点： 导数的概念。 教学难点： 导数的概念。 学时安排： 2 学时 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。 教学程序： 一 导数的定义 1． 引言（背景） 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。具体来讲，导数的思想最初是有法国数学家费马 （Fermat）为研究极值问题而引入的。后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz）等数学家的努力，提炼出了导数的思 想，给出了导数的精确定义。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题 1. 已知曲线求它的切线：曲线方程 y = f (x)， ( , ) 0 0 p = x y 是其上一点，求 y = f (x) 通过点 p 的 切线方程。 问题 2. 已知运算规律，求物体运动速度，运动规律： s = s(t) ， 0 t 为某一确定时刻，求质点在 0 t 时刻 的速度。 上述两问题中，第一个是几何学的问题，后一个是物理学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形 如 0 0 ( ) ( lim 0 x x f x f x x x − − → ）
《数学分析》教案的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（1）的极限问题。为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念，即称之为“f在点x。处的导数”，记作f（x）。2．导数的定义定义1（导数）设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义，若极限lim (a)- ()1→X0X-Xo存在，则称函数在点x。处可导，并称该极限为f在点x。处的导数，记作F（x）。即F(x0)= lim (x)-f(x)x-Xo→若上述极限不存在，则称f在点x。处不可导。3.利用导数定义求导数的几个例子例1.求f(x)=x在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。例2.证明函数f(x)=x|在x=0处不可导。例3．f(x)=C(C 是常数)，则f(x)=0。4.可导与连续的连续定理5.1.若函数于在点x。可导，则f在点x。连续。注f若在点x。不连续，则f在x。必不可导。5.单侧导数的概念定义2（右导数）设函数y=f(x)在点x的某右邻域(xo,x。+8)上有定义，若右极限= lim ( +Ar)-(x)lim(0<Ax<8)Ax-0 Ax00*存在，则称该极限为f在点x。的右导数，记作f（xo）。Ay女f.'(xo)= lim.左导数x00- △x左、右导数统称为单侧导数。二 导函数1.可导函数若函数f在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称f为I上的可导函数。2.导函数3．函数在x。点的导数与导函数的区别与联系
《数学分析》教案 的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其 背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（1）的极限问题。为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念， 即称之为“ f 在点 0 x 处的导数”，记作 '( ) 0 f x 。 2． 导数的定义 定义 1（导数） 设函数 y = f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义，若极限 0 0 ( ) ( lim 0 x x f x f x x x − − → ） 存在，则称函数 f 在点 0 x 处可导，并称该极限为 f 在点 0 x 处的导数，记作 '( ) 0 f x 。即 0 0 0 ( ) ( '( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → ） 若上述极限不存在，则称 f 在点 0 x 处不可导。 3． 利用导数定义求导数的几个例子 例1． 求 2 f (x) = x 在点 x =1 处的导数，并求曲线在点 (1,1) 处的切线方程。 例2． 证明函数 f (x) =| x | 在 x = 0 处不可导。 例3． f (x) = C （C 是常数），则 f '(x) = 0 。 4． 可导与连续的连续 定理 5.1. 若函数 f 在点 0 x 可导，则 f 在点 0 x 连续。 注 f 若在点 0 x 不连续，则 f 在 0 x 必不可导。 5． 单侧导数的概念 定义 2 （右导数） 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某右邻域 ( , ) x0 x0 + 上有定义，若右极限 x f x x f x x y x x + − = → + → + 0 0） 0 0 ( ) ( lim lim 0 0 （ 0 x ） 存在，则称该极限为 f 在点 0 x 的右导数，记作 '( ) 0 f x + 。 左导数 x y f x x = − → − 0 0 0 '( ) lim 。 左、右导数统称为单侧导数。 二 导函数 1． 可导函数 若函数 f 在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称 f 为 I 上的可导函数。 2． 导函数 3． 函数在 0 x 点的导数与导函数的区别与联系
《数学分析》教案区别：导数是就一点而言的，是一个确定的数，一般与所给函数以及x。的值均有关，与△x无关：导函数是就一个区间而言的，是一个确定的函数，与所给函数有关，与x、△x均无关。dy联系：函数在某点的导数就是导函数在该点的值，因此，了在。的导数也记为：以。，会，f'(xo)= fx=x。 。△导数与左、右导数的关系：定理5.2若函数y=f(x)在点x。的某邻域内有定义，则f(x）存在f（x），f(x）都存在，且 f.'(xo)=f.'(xo)。1-cosx,x≥0例4.设f(x)=讨论f(x）在x=0处的左、右导数与导数。x,x0,a+l,x>0)x特别地：(nx)=x三、导数的几何意义f(x)-f(x) = f(x0)k=lim r-→XX-Xo曲线y=f(x)在点(xo,y)的切线方程：yy=f(xo)(x-xo)；法线方程：y-y=(x-xo)f'(x)例6.求曲线y=x在点P(xo,y）处的切线方程与法线方程。S2求导法则教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则：会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法：教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。学时安排：2学时教学方法：以问题教学法为主，结合课堂练习。教学程序：·引言上一节我们讲述了导数的相关知识，要求大家：深刻理解导数概念，能准确表达其定义：明确其物理
《数学分析》教案 区别：导数是就一点而言的，是一个确定的数，一般与所给函数以及 0 x 的值均有关，与 x 无关；导函数 是就一个区间而言的，是一个确定的函数，与所给函数有关，与 x 、 x 均无关。 联系：函数在某点的导数就是导函数在该点的值，因此， f 在 0 x 的导数也记为： 0 ' x x y = ， 0 x x dx dy = ， 0 '( ) ' 0 x x f x f = = 。 导数与左、右导数的关系： 定理 5.2 若函数 y = f (x) 在点 0 x 的某邻域内有定义，则 '( ) 0 f x 存在 '( ) 0 f x + ， '( ) 0 f x − 都存在， 且 '( ) 0 f x + = '( ) 0 f x − 。 例 4． 设 , 0 1 cos , 0 ( ) { − = x x x x f x 讨论 f (x) 在 x = 0 处的左、右导数与导数。 注 函数在一点处的导数，不仅与函数在该点的函数值有关，而且还与函数在该点左、右两边的表达式 有关。讨论分段函数在分段点处的导数，应用导数的定义。 例 5． 证明 （ⅰ） 1 ( )' − = n n x nx ，（ n 为正整数）；（ⅱ） (sin x)'= cos x ，(cos x)'= sin x ；（ⅲ） e x x a a log 1 (log )'= ， (a 0,a 1, x 0). 特别地： x x 1 (ln )'= 。 三、导数的几何意义 '( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x x x f x f x k x x = − − = → 曲线 y = f (x) 在点 ( , ) 0 0 x y 的切线方程： '( )( ) 0 0 0 y − y = f x x − x ; 法线方程： ( ) '( ) 1 0 0 0 x x f x y − y = − − . 例 6． 求曲线 3 y = x 在点 ( , ) 0 0 P x y 处的切线方程与法线方程。 §2 求导法则 教学目的: 熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运 算。 教学要求: 熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函 数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。 教学重点: 导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法； 教学难点: 复合函数求导法则及复合函数导数的计算。 学时安排: 2 学时 教学方法: 以问题教学法为主，结合课堂练习。 教学程序: ⚫ 引言 上一节我们讲述了导数的相关知识，要求大家：深刻理解导数概念，能准确表达其定义；明确其物理
《数学分析》教案几何意义，会求曲线上一点的切线方程：能够从定义出发求某些函数的导数：知道导数与导函数的区别和联系；明确导数与单侧导数，可导与连续的关系。特别要注意，要学会从导数定义出发求某些导数的导数。例如，我们上节课已计算出左边所列的导函数，并且我们知道，计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算。因此，从理论上来讲，给了一个函数（不管它是简单函数，还是复杂函数），总可用定义求其导数（只要极限存在）。但从我们计算左边几个函数的经验知道，用定义计算函数的导数是比较繁琐的。试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐，对一般的初等函数更是不可想象。因此，我们不能满足于只用导数定义求导数，而应去寻找一些求导数的一般方法，以便能较方便地求出初等函数的导数。在给出较一般的方法之前，先看以下函数如何求导数：g (x)= sin 2xf(x) = sin x + cos xf,(x) = sin xcosxg2 (x) = sin(ax)s(a)= cosxgs(x)= arcsin xlogaxf (x) =csin xg4(x) = arccos x导数的四则运算问题1设f(x)=sinx±cosx，求f(x)。分析利用导数的定义及极限的四则运算知，f(x)=cosx干sinx=(sinx)±(cosx)。即(sin x±cosx)=(sin x)+(cosx)一般地，有如下和的导法则：定理1（和的导数）若u(x）、v(x）在点x。可导，则函数f(x)=u(x)土v(x)在点x。可导，且f"(xo)=u(xo)±v(x), 即(u(x)干v(x)(xo)=u(xo)干v(xo)。间题2设f(x)=sin x·a*，则f(αx)=(sinx)(a)=cosx·a*.lna对吗?分析一般地，有如下乘积的导法则：定理2（积的导数）若u(x)、v(x)在点x。可导，则函数f(x)=u(x)v(x)在点x。可导，且f(xo)=u(xo)v(xo)+u(xo)v'(xo),即(u(x)v(x)(xo)=u(xo)v(xo)+u(xo)v'(xo)。推论1 (u(x)(x)w(x)(x)=u(x)(x)(x)+u(x)(x)w(x0)+u(x)v(x0)w(x)。推论2：若函数v(x)在x。知可导，C为常数，则(cos(x)x=%=C.v(xo)。ar问题3：设f(x)=，求f'(x)。log.x分析：一般地，存如下商的运算法则：u(在点x。也可导，定理3(商的导数）若函数u(t)，v(x)在点x都可导，且v(x)≠0，则f(x)=v(x)
《数学分析》教案 几何意义，会求曲线上一点的切线方程；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的区别和联 系；明确导数与单侧导数，可导与连续的关系。特别要注意，要学会从导数定义出发求某些导数的导数。例 如,我们上节课已计算出左边所列的导函数，并且我们知道，计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结 为极限的计算。因此，从理论上来讲，给了一个函数（不管它是简单函数，还是复杂函数），总可用定义求其 导数（只要极限存在）。但从我们计算左边几个函数的经验知道，用定义计算函数的导数是比较繁琐的。试想 对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐，对一般的初等函数更是不可想象。 因此，我们不能满足于只用导数定义求导数，而应去寻找一些求导数的一般方法，以便能较方便地求出 初等函数的导数。在给出较一般的方法之前，先看以下函数如何求导数： f (x) sin x cos x 1 = + g (x) sin 2x 1 = f (x) sin x cos x 2 = ( ) sin( ) g2 x = ax x x f x a log cos ( ) 3 = g (x) arcsin x 3 = f (x) csin x 4 = g (x) arccos x 4 = 一、 导数的四则运算 问题 1 设 f (x) = sin x cos x ，求 f '(x) 。 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知， f '(x) = cos x sin x = (sin x)'(cos x)' 。即 (sin x cos x)'= (sin x)'(cos x)' 一般地，有如下和的导法则： 定理 1（和的导数） 若 u(x) 、v(x) 在点 0 x 可导，则函数 f (x) = u(x) v(x) 在点 0 x 可导， 且 '( ) '( ) '( ) 0 0 0 f x = u x v x ，即 ( ( ) ( ))'( ) '( ) '( ) 0 0 0 u x v x x = u x v x 。 问题 2 设 x f (x) = sin x a ，则 f x x a x a a x x '( ) = (sin )'( )'= cos ln 对吗？ 分析 一般地，有如下乘积的导法则： 定理 2（积的导数） 若 u(x) 、v(x) 在点 0 x 可导，则函数 f (x) = u(x)v(x) 在点 0 x 可导， 且 '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 0 0 f x = u x v x + u x v x ，即 ( ( ) ( ))'( ) '( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 0 0 u x v x x = u x v x + u x v x 。 推论 1 ( ( ) ( ) ( ))'( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u x v x w x x = u x v x w x + u x v x w x + u x v x w x 。 推论 2：若函数 v(x) 在 0 x 知可导，C 为常数，则 (cos( ))' '( ) 0 0 x C v x x x = = 。 问题 3：设 x a f x a x log ( ) = ，求 f '(x) 。 分析： 一般地，存如下商的运算法则： 定理 3（商的导数）若函数 u(x) ，v(x) 在点 0 x 都可导，且 v(x0 ) 0 ，则 ( ) ( ) ( ) v x u x f x = 在点 0 x 也可导
《数学分析》教案且F(x0)=(“()(x0)=“()0)-()() v(x)(v(x)△利用导数的四则运算法则举例。例1.f(x)=x+5x2-9x+元，求f(x)，f(0)。例2．y=cosxlnx，求y例3.证明：(x-")=-nx-n-l，neN+。例4.证明：(tanx)=sec2x，(cotx)=cscx。例5.证明：(secx)=secxtanx，(cscx)=-cscxcotx。A利用导数的四则运算法则求导数举例：1. f(x)=x2+sin x: 2. f(x)=x3-sinx+cosx:3. f(x)=2x2; 4. f(x)=xcosx;5. f(x)=xsin x+7x; 6. f(x)=x+x +x cosx : 7. (x)=x sin x-hn x+gx8. (x)-5sin +31gx, 9. e'sinx+x? nx;17.x1+tgx反函数的导数问题1.设f(x)=arcsin x，求f"(x)。分析：一般地，存如下结果：定理4.设y=f(x)为x=p(y)的反函数，若p(y)在点y的某邻域内连续，严格单调且p(y)±0，则f(x)在点xo，（x。=p(y））可导，且f(xo）p'(y)△.反函数求导的例子。例6.(a)=ana(a>0,a±0)1例7.(arccosx)V1-x21例8.(arctgx)=(arccotx)1+x1+三、复合函数的导数间题1). 设f(x)= sin 2x,求f'(x):2). 设f(x)= sin(a*),求f'(x): 3). 设f(x)= x,求f'(x)。定理5.设u=p(x)在点x。可导，y=f(u)在点uo=p(x）可导，则复合函数y=fp在点x可导，且(f op)(x)= f'(uo)p'(x)= f(p(x)p'(x) 。△：复合函数求导举例：
《数学分析》教案 且 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ( )) '( ) ( ) ( ) '( ) )'( ) ( ) ( ) '( ) ( v x u x v x u x v x x v x u x f x − = = 。 .利用导数的四则运算法则举例。 例 1． f (x) = x + 5x − 9x + 3 2 ，求 f '(x) ， f '(0) 。 例 2． y = cos x ln x ，求 x= y' 。 例 3．证明： 1 ( )' − − − = − n n x nx ， + n N 。 例 4．证明： x x 2 (tan )'= sec ， x x 2 (cot )'= csc 。 例 5．证明： (sec x)'= sec x tan x ，(csc x)'= −csc x cot x 。 .利用导数的四则运算法则求导数举例： 1． f (x) x sin x 2 = + ； 2． f (x) x sin x cos x 3 = − + ；3． 2 f (x) = 2x ；4． f (x) x cos x 2 = ； 5 ． f (x) = x sin x + 7x ； 6 ． f (x) x x x cos x 2 3 = + + ； 7 ． x tgx f (x) = x sin x ln x + 2 ； 8． x x tgx f x 5sin 3 ( ) + = ；9． x x tgx e x y x ln 1 sin 2 + + = ； 二、 反函数的导数 问题 1. 设 f (x) = arcsin x ，求 f '(x) 。 分析：一般地，存如下结果： 定理 4. 设 y = f (x) 为 x = ( y) 的反函数，若 ( y) 在点 0 y 的某邻域内连续，严格单调且 '(y0 ) 0 ， 则 f (x) 在点 0 x ，（ ( ) 0 0 x = y ）可导，且 '( ) 1 '( ) 0 0 y f x = 。 .反函数求导的例子。 例 6． a a a x x ( )'= ln （ a 0,a 0 ）； 例 7． 2 1 1 (arccos )' x x − = − 例 8． 2 1 1 ( )' x arctgx + = ， 2 1 1 ( cot )' x arc x + = − 。 三、 复合函数的导数 问题 1）. 设 f (x) = sin 2x ，求 f '(x) ；2）. 设 ( ) sin( ) x f x = a ，求 f '(x) ；3）. 设 f (x) = x ，求 f '(x) 。 定理 5. 设 u = (x) 在点 0 x 可导， y = f (u) 在点 ( ) 0 0 u = x 可导，则复合函数 y = f 在点 0 x 可导， 且 ( )'( ) '( ) '( ) '( ( )) '( ) 0 0 0 0 0 f x = f u x = f x x 。 . 复合函数求导举例：
《数学分析》教案例 9. y= sin x2例10.设f(x)=Vx+1，求F(0)，F()。(1) f(x)= In(x+/1+x2):(2) f(α)=tan2例11．求下列函数的导函数：x例 12. 设 =(x+5) (x-4)(x>4), 求y。(x +2) (x+ 4)2例13.设y=u(x)(*)，其中u(x)>0且u(x)和v(x)均可导，试求此幂指函数的导数。[小结]、基本求导法则(u±v)=u+v2.1.(u)=uv+u,(cu)=cuuv-u'1dydydu3.反函数导数4.dxdu dxv2.基本初等函数导数公式1. (c)=0;2. (xa)=oxa- (αeR); 3. (sin x)=cosx, (cosx)=-sin x:4. (tan)= sec2 x,(cot)=-csc2x,(secx)=secx.tanx,(cscx)=-cscx·ctgx;11(ln x):5.(a")=a"lna,(e")=e"; 6. (log.x)'=xnax17. (arcsin x):(arccosx):(arctan x)-(arccotx)1 + x2V1-x21+xV1-x参变量函数的导数$3教学目的：熟悉含参量函数的求导法则，并熟练进行此类函数的导数运算。教学要求：会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合应用。教学重点：含参量方程的求导法则。教学难点：含参量函数导数的计算。学时安排：2学时教学方法：以问题教学为主，结合练习。教学程序：?引言在解析几何上，我们遇到过曲线的参数方程。例如，椭圆的参数方程为(x= acost = p(t)(0≤t≤2元)ly=bsin t=y(t)dxdy此时：=bcost-asint,dtdt问题如何求虫，dx
《数学分析》教案 例 9． 2 y = sin x 例 10． 设 ( ) 1 2 f x = x + ，求 f '(0) ， f '(1) 。 例 11． 求下列函数的导函数： （1） ( ) ln( 1 ) 2 f x = x + + x ； （2） x f x 1 ( ) tan 2 = 。 例 12． 设 2 1 5 3 1 2 ( 2) ( 4) ( 5) ( 4) + + + − = x x x x y （ x 4 ），求 y' 。 例 13． 设 ( ) ( ) v x y = u x ，其中 u(x) 0 且 u(x) 和 v(x) 均可导，试求此幂指函数的导数。 ⚫ [小结] 一、基本求导法则 1． (u v)'= u'v' 2． (uv)'= u'v + uv' ， (cu)'= cu' 3． 2 ' ' ( )' v u v uv v u − = ， 2 1 )' 1 ( v v = − 4． 反函数导数 dx du du dy dx dy = 。 二、基本初等函数导数公式 1． (c)'= 0 ； 2． 1 ( )' − = x x ( R) ；3．(sin x)'= cos x ，(cos x)'= −sin x ； 4． x 2 (tan)' = sec ， x 2 (cot)' = −csc ， (sec x)'= sec x tan x ，(csc x)'= −csc x ctgx ； 5． a a a x x ( )'= ln ， x x (e )'= e ；6． x a x a ln 1 (log )'= ， x x 1 (ln )'= ； 7． 2 1 1 (arcsin )' x x − = ， 2 1 1 (arccos )' x x − = − ； 2 1 1 (arctan )' x x + = ， 2 1 1 ( cot )' x arc x + = − 。 §3 参变量函数的导数 教学目的: 熟悉含参量函数的求导法则，并熟练进行此类函数的导数运算。 教学要求: 会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合应用。 教学重点: 含参量方程的求导法则。 教学难点: 含参量函数导数的计算。 学时安排: 2 学时 教学方法: 以问题教学为主，结合练习。 教学程序: ⚫ 引言 在解析几何上，我们遇到过曲线的参数方程。例如，椭圆的参数方程为 = = = = sin ( ) cos ( ) y b t t x a t t (0 t 2 ). 此时： a t dt dx = − sin ， b t dt dy = cos . 问题 如何求 dx dy ？
《数学分析》教案一参数方程所确定的函数的求导[x=(1)确定，其中1是参数，则设函数=(x)由参数方程(y= y(t)y(x)= y'(t)/ x'(t)x=cost≥时的导数。所确定的函数y=(x)在t=例1.求y=sint2&dydx例2. 求下列由参数方程所确定的函数的导数dx'dyt1+t在t>0处。1-tV1+t二、由极坐标方程确定的函数y=y(x)的求导dy问题如果由极坐标方程p=p(O)确定的函数y=(x)。此时如何求dx9已知曲线方程p=e2确定的函数y=(x)，求%，例3.dedx注分清求导的对象，即到底是关于哪个变量求导。84高阶导数教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。能正确理解和运用一阶微分的形式不变性，并与高阶微分清楚地加以区分。教学重点：高阶导数（微分）的计算。教学难点：高阶导数（微分）的计算。学时安排：2学时教学方法：以问题教学为主，结合练习。教学程序：引言.前面已经看到，当x变动时，f(x)的导数f'(x）仍是x的函数，因而可将f(x）再对x求导数，所得出的结果（f(x)）（如果存在）就称为f(x)的二阶导数。例如，已知运动规律s=s(t)，则它的一阶导数为速度，即v=s(t)，对于变速运动，速度也是1的函数：v=v(t)。如果在一段时间△t内，速度v(t)的变化为△v=v(t+△t)-vt)。那么在这段时间内，速度的
《数学分析》教案 一 参数方程所确定的函数的求导 设函数 y = y(x) 由参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 确定，其中 t 是参数，则 y x y t x t '( ) '( ) / '( ) = . 例1． 求 = = y t x t sin cos 所确定的函数 y = y(x) 在 2 t = 时的导数。 例2． 求下列由参数方程所确定的函数的导数 dx dy ， dy dx 。 + − = + = t t y t t x 1 1 1 在 t 0 处。 二、由极坐标方程确定的函数 y y x = ( ) 的求导 问题 如果由极坐标方程 = ( ) 确定的函数 y = y(x) 。此时如何求 dx dy 。 例3． 已知曲线方程 2 = e 确定的函数 y = y(x) ，求 d d ， dx dy 。 注 分清求导的对象，即到底是关于哪个变量求导。 §4 高阶导数 教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。 教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。能正确理解和运用一阶微分的形式 不变性，并与高阶微分清楚地加以区分。 教学重点： 高阶导数（微分）的计算。 教学难点： 高阶导数（微分）的计算。 学时安排： 2 学时 教学方法： 以问题教学为主，结合练习。 教学程序： ⚫ 引言 前面已经看到，当 x 变动时， f x( ) 的导数 f '(x) 仍是 x 的函数，因而可将 f '(x) 再对 x 求导数，所得出 的结果 ( f '(x))' （如果存在）就称为 f (x) 的二阶导数。 例如，已知运动规律 s = s(t) ，则它的一阶导数为速度，即 v = s'(t) ，对于变速运动，速度也是 t 的函 数： v = v(t) 。如果在一段时间 t 内，速度 v(t) 的变化为 v = v(t + t) − v(t) 。那么在这段时间内，速度的
《数学分析》教案平均变化率为_ v(t+) -v(t)Av2，这就是在Nt这段时间内的平均加速度，当△t→0时，极限lim二就AtAtAr-0At是速度在1时刻的变化率，也就是加速度，即AvL=V()。a(t) = limAr-0 t综上知：a(t)=v(t)=(s'(t)。加速度是路程s(t）对时间的导数的导数。说加速度是路程对时间的二阶导数。记为d's或a(t) = y'(t) =(s(t)d?这就是二阶导数的物理意义。1例如自由落体运动规律为：s=v=gt=a=g。一般地，有如下定义：高阶导数定义定义（二阶导数）若函数f的导函数f在点x。可导，则称f在点x。的导数为f在点x。的二阶导数，记作"(x。），即F(x)-f(0) = f"(x0),lim rX-Xo此时称f在点x。二阶可导。如果f在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶可导函数，记作f"（x），xEI，d'y或记作于"，"，dr?函数y=f(x)的二阶导数f"(x）一般仍旧是x的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之为d'y或函数y=f(x)的三阶导数，记为y""，f"(x)，可dx3d"y函数y=f(x)的n-1阶导数的导数称为函数y=f(x)的n阶导数，记为y(")，(")，或adxndhx=xf(n)(x),相应地，y=f(x)在x。的n阶导数记为：yndxn△二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。高阶导数的计算的例子二、从高阶导数的定义可知，求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法
《数学分析》教案 平均变化率为 t v t t v t t v + − = ( ) ( ) ，这就是在 t 这段时间内的平均加速度，当 t →0 时，极限 t v t →0 lim 就 是速度在 t 时刻的变化率，也就是加速度，即 ( ) lim '( ) 0 v t t v a t t = = → 。 综上知： a(t) = v'(t) = (s'(t))' 。 加速度是路程 s(t) 对时间的导数 的导数。说加速度是路程对时间的二阶导数。记为 a(t) = v'(t) = (s'(t))' 或 2 2 dt d s 。 这就是二阶导数的物理意义。 例如自由落体运动规律为： s = gt v = gt a = g 2 2 1 。 一般地，有如下定义： 一、 高阶导数定义 定义（二阶导数） 若函数 f 的导函数 f ' 在点 0 x 可导，则称 f ' 在点 0 x 的导数为 f 在点 0 x 的二阶导数， 记作 ''( ) 0 f x ，即 ''( ) '( ) '( ) lim 0 0 0 0 f x x x f x f x x x = − − → ， 此时称 f 在点 0 x 二阶可导。 如果 f 在区间 I 上每一点都二阶可导，则得到一个定义在 I 上的二阶可导函数，记作 f ''(x) ，xI ， 或记作 f ' '， y'' ， 2 2 dx d y 。 函数 y = f (x) 的二阶导数 f ''(x) 一般仍旧是 x 的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之为 函数 y = f (x) 的三阶导数，记为 y''' ， f '''(x) ，或 3 3 dx d y 。 函数 y = f (x) 的 n −1 阶导数的导数称为函数 y = f (x) 的 n 阶导数，记为 (n) y ， (n) f ，或 n n dx d y 。 相应地， y = f (x) 在 0 x 的 n 阶导数记为： 0 ( ) x x n y = ， ( ) 0 ( ) f x n ， 0 n x x n dx d y = 。 二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。 二、 高阶导数的计算的例子 从高阶导数的定义可知，求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法
《数学分析》教案例1.求幂函数y=x（n为正整数0的各阶导数。一般地，任何首项系数为1的多项式：x"+a,x"-+azx"-2+.+a,的n阶导数为n!，（n+I)阶导数为零。例2. y=e",y=e-"。注竞赛题：已知y=f(x)，f(x)+f"(x)±0，证明方程f(x)=0至多只有1个根。);=(cosx)=co(+)。例 3. = sinx,，2=cosx.,则y(")=(sin x)(")=sin(x+2三、高阶导数的计算法则1.[u±](n)=u(")±v(n)。2. (um)(m) = u("),(0) +C,u(n-1),() +C2u(n-2),(2) +.. +Chu(n-k),(k) +...+Cn-lu(),(n-1) +u(o),(n)11Zc,u(n-k),(k) ,（Leibniz公式）K=0其中u(0)=，(0)=。注将Leibniz公式与二项式展开作一比较可见：(u+v)"=u"v°+C,u"-l"+..Cu"-v+..+u"。（这里u°=°=1)，在形式上二者有相似之处。练习：x= cos t，确定，试求学及其在1=0,处的值。1.函数y=y(x)由方程[y= sin *tdx2x=a(cost+tsint)确定，试求虫2.函数y=(x)由方程=tgt。dx(y= a(sin t-tcost)drdy3.设函数y=(x)由r=a(1+cosの)确定，试求de'dx4.设y=ecosx，求y(5)。5.设y=xsinx，求(80)x2,x≥0的高阶导数。6.研究函数f(x)=-x2,x<0四、复合函数的高阶导数、参数方程的高阶导数从定义出发，重复应用一阶导数法则，容易建立“复合函数”的高阶导数，“参数方程”的高阶导数公式。但这些公式非常繁，对于求高阶导数没有多大帮助，因此不作深入讨论
《数学分析》教案 例1． 求幂函数 n y = x （n 为正整数 0 的各阶导数。 一般地，任何首项系数为 1 的多项式： n n n n x + a x + a x + + a 1 −1 2 −2 的 n 阶导数为 n!，(n +1) 阶导数 为零。 例 2． x y = e ， x y e − = 。 注 竞赛题：已知 y = f (x)， f (x) + f '(x) 0 ，证明方程 f (x) = 0 至多只有 1 个根。 例 3． 1 y x = sin , ， 2 y x = cos . ，则 ( ) ( ) 1 (sin ) sin( ) 2 n n n y x x = = + ； ( ) ( ) 2 (cos ) cos( ) 2 n n n y x x = = + 。 三、 高阶导数的计算法则 1． ( ) ( ) ( ) [ ] n n n u v = u v 。 2． (uv) (n) = u (n) v (0) + Cn 1 u (n−1) v (1) + Cn 2 u (n−2) v (2) + ( ) ( ) n 1 (1) (n 1) (o) (n) n k n k k n + C u v + + C u v + u v − − − = − = N K k n k k n C u v 0 ( ) ( ) ， （Leibniz 公式） 其中 u = u (0) ， v = v (0) 。 注 将 Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见： k n k k o n n n n n n u + v = u v + C u v + C u v + + u v ( ) 0 1 −1 1 − 。（这里 1 0 0 u = v = ），在形式上二者有相似 之处。 练习： 1．函数 y = y(x) 由方程 = = y t x t 4 4 sin cos 确定，试求 dx dy 及其在 2 0, t = 处的值。 2．函数 y = y(x) 由方程 = − = + (sin cos ) (cos sin ) y a t t t x a t t t 确定，试求 tgt dx dy = 。 3．设函数 y = y(x) 由 r = a(1+ cos ) 确定，试求 d dr ， dx dy 。 4．设 y e x x = cos ，求 (5) y 。 5．设 y x sin x 2 = ，求 (80) y 。 6．研究函数 − = , 0 , 0 ( ) 2 2 x x x x f x 的高阶导数。 四、 复合函数的高阶导数、参数方程的高阶导数 从定义出发，重复应用一阶导数法则，容易建立“复合函数”的高阶导数，“参数方程”的高阶导数公 式。但这些公式非常繁，对于求高阶导数没有多大帮助，因此不作深入讨论
《数学分析》教案作为例子，我们指出参数方程求二阶导数的方法。[x=p(t)所确定的函数的一阶导数崇=岁只。则设β，在[α,β]上都是二阶可导，则由参数方程dxp'(t)ly=y(t)d(dyd%-()=yr"(t)q'(t)-y(t)p"(t)dx2dx dxdtdxdxdx[p'(t)]3dt[x=a(t-sin1)所确定的函数y= (x)的二阶导数。例4.试求由摆线参量方程(y=a(1-cost)S5微分教学目的：（1）准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。（2）弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。（3）能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。教学要求：（1）清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释：能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。（2）明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系教学难点：运用微分的意义解决实际问题学时安排：2学时教学方法：以问题教学为主，结合练习。教学程序；一、微分的概念1.引言先考察一个具体的问题，推得一般情形。2．微分的定义定义1函数y=f(x)定义在点的某邻域u(x)内。当给x一个增量△x，x。+AreU(x)时，相应地得到函数的增量为Ay=f(x+△x)-(x）。如果存在常数A，使得△y能有(1)Ay= AAx +o(Ar)则称函数f在点可微，并称（1）中右端第一项A△x为f在点x的微分，记作：dy x= =AAx ordf(x)|x=, =AAx定义2若y=f(x)在区间I上每一点都可微，则称f为I上的可微函数。函数y=f(x)在I上任一点x处的微分记作xeldy = A(x)Ax注（1）dy依赖于x和△x，但x与△x无关；（2）可微与可导的关系见下面的定理
《数学分析》教案 作为例子，我们指出参数方程求二阶导数的方法。 设 ， 在[ , ]上都是二阶可导，则由参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 所确定的函数的一阶导数 '( ) '( ) t t dx dy = 。则 2 3 2 [ '( )] ''( ) '( ) '( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t dt dx dx dy dt d dx dt dx dy dt d dx dy dx d dx d y − = = = = 。 例 4．试求由摆线参量方程 = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t 所确定的函数 y = y(x) 的二阶导数。 §5 微 分 教学目的：（1）准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。 （2）弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微 分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。 （3）能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。 教学要求：（1）清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的 微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。 （2）明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数。会应用微分 的实际意义解决某些计算问题。 教学重点： 微分的定义、计算、可导与可微的关系 教学难点： 运用微分的意义解决实际问题 学时安排： 2 学时 教学方法： 以问题教学为主，结合练习。 教学程序： 一、微分的概念 1．引言 先考察一个具体的问题，推得一般情形。 2．微分的定义 定义 1 函数 y=f(x)定义在点 0 x 的某邻域 0 u x( ) 内。当给 0 x 一个增量 x ， 0 0 x x U x + ( ) 时，相应地 得到函数的增量为 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( ) 。如果存在常数 A，使得 y 能有 = + y A x o x ( ) （1） 则称函数 f 在点 0 x 可微，并称（1）中右端第一项 A x 为 f 在点 0 x 的微分，记作： 0 x x dy A x = = or 0 ( ) x x df x A x = = 定义 2 若 y=f(x)在区间 I 上每一点都可微，则称 f 为 I 上的可微函数。函数 y=f(x)在 I 上任一点 x 处的 微分记作 dy A x x = ( ) x I 注 （1） dy 依赖于 x 和 x ，但 x 与 x 无关；（2）可微与可导的关系见下面的定理