《数学分析》教素第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数：20学时s1可微性一：可微性与全微分：1.可微性：由一元函数引入．o((Ar)2+（）"）亦可写为△+By，(x,4)→(0,0)时 (α,P)→(0,0).2．全微分：例1考查函数f(x，）)=V在点（，）处的可微性：P107例1二． 偏导数：1．偏导数的定义、记法：2.偏导数的几何意义：P109图案17—1..1
《数学分析》教案 - 1 - 第十七章 多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续 及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性 及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是 复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：20 学时 § 1 可微性 一． 可微性与全微分： 1．可微性： 由一元函数引入. 亦可写为 , 时 . 2． 全微分: 例 1 考查函数 在点 处的可微性 . P107 例 1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: P109 图案 17—1
《数学分析》教素3.求偏导数：例2，3，4：P109—110例2，3，4.例5J(x,)=(x2+2x+3)sin(2y+1)：求偏导数例6 J(x,y)=xn(x+1)+2+1.求偏导数.x+y例 7 (x,J)=求偏导数,并求J.(2,-1)Jx+y?3x+y2+2例 8(x,J)= xy2 +(x-2)n求(2,)和J,(2,1)2y2 +x+1解 J,(2,y)= f(2,y)=(2)=4yJ,(2,1)= J(2,J)=4.x3 +y2×2+2#0Vx2+y例 9J(x,y)=0,x3+y2=0证明函数(x,)在点（0,0)连续，并求,(0,0)和,0,0）p*(pcos* ++sin *e)证limf(x,)0→0(x.,g)→(0,0)P=lim,p(pcos3@+sin*0)=0=f(00).(x,)在点（00)连续x3(x,0) -f(0,0)J(0,0)=limlim=0,-→0xx-0 x|x|-2 -
《数学分析》教案 - 2 - 3. 求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109—110 例 2 , 3 , 4 . 例 5 . 求偏导数. 例 6 . 求偏导数. 例 7 . 求偏导数, 并求 . 例 8 . 求 和 . 解 = , = . 例 9 证明函数 在点 连续 , 并求 和 . 证 . 在点 连续 .
《数学分析》教紫y2f(0,y) -f (0,0)f,(0,0) = lim不存在。limV-fJ-oyy三.可微条件：1.必要条件：Th1设(,yo)为函数(x,)定义域的内点.f(x,y)在点(x,y)可微= J(,y)和f,(xo,y)存在，且(证)afl(am%) =df(xo, 0) -f(xo,y0)Ax+ f,(xo,y0)Ay.由于△x=dx，Ay=dy，微分记为df(xo,yo)=Jr(xo,yo)dx+f,(xo,yo)dy.定理1给出了计算可微函数全微分的方法两个偏导数存在是可微的必要条件，但不充分，例 10 考查函数xy0/x3+)f(x,y) =x2+y3=00,[1]P110例5.在原点的可微性：2.充分条件：- 3 -
《数学分析》教案 - 3 - 不存在 . 三. 可微条件: 1. 必要条件: Th 1 设 为函数 定义域的内点. 在点 可微 , 和 存在 , 且 . ( 证 ) 由于 , 微分记为 . 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例 10 考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例 5 . 2. 充分条件:
《数学分析》教素Th 2若函数z=f(x,)的偏导数在的某邻域内存在，且J,和,在（证）P111点（o，%)处连续：则函数f在点（，yo)可微.Th3若f（x)在点（，)处连续，f(x,)点（，)存在则函数于在点（，）可微：证(x +Ax,yo +4y) -f (xo,yo)==[f(x + Ax, o + y) - f(xo + x, 0)]+[f(xo + △x, J0) - f(xg ,J0)]==f,(x+xy+y)y +(xyo)Ax+ox =00(x,y)→(0, 0).R+y2p-4 -
《数学分析》教案 - 4 - Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在 点 处连续 . 则函数 在点 可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若 在点 处连续, 点 存在 , 则函数 在点 可微 . 证 . 即 在点 可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例 11 验证函数 在点 可微 , 但 和 在点 处不连续 . (简 证,留为作业) 证
《数学分析》教素因此(x,)=op)，即f(x,)-J(0,0)=0△x+0△+o(p),但(x,J)(0,0)时，有f在点(0,0)可微，J(0,0)=0，J,(0,0)=0.11XJ,(x,y)=2xsin2OVx3 +y2Vx3 +y2/x2 +y2T4不存在，沿方向=kx,极限沿方向=kx,limlir4x|~/1+#21xlim不存在；又(x,)→(0,0)时,x-→0x2Vx?+y+y12x sin→0,因此，lim.0)(x,）不存在，于在点（0,0)处不连Vx? +y2续.由关于x和对称，也在点（0,0）处不连续：四.中值定理：Th4设函数f在点（r，y）的某邻域内存在偏导数：若（x,J)属于该邻域，则存在=+(x)和=%+(-)0< <1, 0<,<1,使得（证）f(x,y)-f(xg,yo)=J,(,y)(x -xo)+ J,(o,)-yo).例12设在区域D内J=,=0.证明在D内(x)=c.五．连续、偏导数存在及可微之间的关系：六可微性的几何意义与应用：-5-
《数学分析》教案 - 5 - 因此 , 即 , 在点 可微 , . 但 时, 有 , 沿方向 不存在, 沿方向 极限 不存在 ; 又 时, ,因此, 不存在 , 在点 处不连 续. 由 关于 和 对称, 也在点 处不连续 . 四. 中值定理: Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 . 若 属于 该邻域 , 则存在 和 , , 使得 . ( 证 ) 例 12 设在区域 D 内 . 证明在 D 内 . 五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六. 可微性的几何意义与应用：
《数学分析》教素1．可微性的几何意义：切平面的定义．P113.Th 55曲面z=f(x,J)在点P(,,f(xo,）)存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数f(x,y)在点P(xo,)可微：（证略）2.切平面的求法：设函数(x,y)在点P(xo,)可微，则曲面z=f(x,)在点P(,。(x，。）处的切平面方程为（其中0Zo = f(xo,Jo)z-zo = ,(xo,yo)(x-x0) + J,(xo,y0)0-y0) ,法线方向数为±(Jt(o,yo) ,J,(o,), -1),X-Xoy-yoZ-Zo法线方程为fr(xo,yo)J,(xo.yo)-1例13试求抛物面z=ax2+by2在点M(xo,,z)处的切平面方程和法线方程，P115例63.与一元函数对照，原理，作近似计算和误差估计：例14求1.0839%的近似值P115例71例155应用公式S=absinC计算某三角形面积．现测得2a=12.50,b=8.30,C=30″.若测量a,b的误差为±0.01，C的误差为P116.0.1°．求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.$2复合函数微分法-6
《数学分析》教案 - 6 - 1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. P113. Th 5 曲面 在点 存在不平行于 轴的 切平面的充要条件是函数 在点 可微 . ( 证略 ) 2. 切平面的求法: 设函数 在点 可微 ，则曲面 在点 处的切平面方程为 （ 其中 ） ， 法线方向数为 ， 法线方程为 . 例 13 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法 线方程 . P115 例 6 3. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照 , 原理 . 例 14 求 的近似值. P115 例 7 例 15 应用公式 计算某三角形面积 . 现测得 , . 若测量 的误差为 的误差为 . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116. § 2 复合函数微分法
《数学分析》教案简介二元复合函数：z=(x,)，x=(s,t)，=(s,t)以下列三种情况介绍复合线路图z=f(x,J), x=g(s,t), =μ(s,t) ;u=f(x,y,z),x=d(s,t), =w(s,t), z=n(s,t) ;u =f(x,y,z),x =@(s,t,z), y=w(s,t,z).链导法则：以“外二内二”型复合函数为例.4Th设函数x=(s,t)，y=(s,t)在点(s,t)ED可微，函数z=(x,)在点(x,y)=((s,)(s,t))可微，则复合函数z=((s,t),(s,))在点(s,t)可微，且axdydz I=dzdz+9odsls.tyo)dydydzax+=dz1（证）P118ai/sa)ar/sa).dt/s.t)ax/r)k称这一公式为链导公式．该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括：对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式，-7-
《数学分析》教案 - 7 - 简介二元复合函数 : . 以下列三种情况介绍复合线路图 ; , ; . 一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例. Th 设函数 在点 D 可微 , 函数 在点 可微 , 则复合函数 在点 可微, 且 , . ( 证 ) P118 称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线 加 ，沿线乘”或“并联加 ，串联乘” ）来概括 . 对所谓“外三内二”、 “外二内三”、 “外一内二”等复合情况，用 “并联加 ，串 联乘”的原则可写出相应的链导公式
《数学分析》教素链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数：但对外函数的可微性假设不能减弱.对外m元(ui,u2,um），内n元u=(xi,x2,",x)(k=1,2,,m),有ffauei-1,2,..,n.ax台u ax外元内一元的复合函数为一元函数：特称该复合函数的导数为全导数8z和例1z=In(u2 +v)，u=e*yV=x+y.求P120例ayax1dzaz和例2z=u-u求u=xcosy,v=xsiny.axa%和例3 2 -(2x2 +yy3x+),求，axay例4设函数(u,v,w)可微.F(x,J,z)=f(x,xy,xyz).求F、F和F..例5用链导公式计算下列一元函数的导数：(1+ x2)in xi>i> y=x";P121例4sin x+cosx-8-
《数学分析》教案 - 8 - 链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设 不能减弱. 对外 元 , 内 元 , 有 ， . 外 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例 1 . 求 和 . P120 例 1 例 2 , . 求 和 . 例 3 , 求 和 . 例 4 设函数 可微 . .求 、 和 . 例 5 用链导公式计算下列一元函数的导数 : ⅰ> ; ⅱ> . P121 例 4
《数学分析》教紫例6设函数u=u(x,y)可微。在极坐标变换x=rcos，y=rsin下，证明()+(%) {) ()P120例2例 7 设函数f(u)可微，z=f(x2-).求证azy2dz+xyXZdxdy二，复合函数的全微分：全微分和全微分形式不变性dz例8z=esin(x+y)．利用全微分形式不变性求dz，并由此导出和axaz.P122 例 5ay$3方向导数和梯度方向导数：1.方向导数的定义：定义设三元函数f在点P(xoyo,z)的某邻域U(P)R3内有定义：1为从点P出发的射线，P(x,y,z)为1上且含于U(P)内的任一点，以表示P与P两点间的距离：若极限J(P)-J(P) - im.Alim0→0+p0→0+P-9 -
《数学分析》教案 - 9 - 例 6 设函数 可微. 在极坐标变换 下 , 证明 . P120 例 2 例 7 设函数 可微 , . 求证 . 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 . 例 8 . 利用全微分形式不变性求 , 并由此导出 和 .P122 例 5 § 3 方向导数和梯度 一． 方向导数： 1．方向导数的定义： 定义 设三元函数 在点 的某邻域 内有定义 . 为从点 出发的射线 . 为 上且含于 内的任一点 , 以 表示 与 两点间的距离 . 若极限
《数学分析》教素af存在，则称此极限为函数在点P沿方向1的方向导数，记为或ailai(P)、J,(xo,yo,zo).对二元函数z=f(x,)在点P(xo,)，可仿此定义方向导数af.和是是三元函数子在点P分别沿X轴正向、Y轴易见，axayaz正向和Z轴正向的方向导数：J(x,J,2)=x+y+23。求在点P(1,1,1)处沿1方向的方例 1 向导数，其中i）1为方向（2,-2,1)；i〉1为从点(1,1,1)到点（2,-2,1)的方向.x-1,-1.2-1.--1(>0)。 解i>1为方向的射线为即2-21x=2 +1, y=-2 +1, z =t+1, (t20). f(P)= (1,1,1) -3,f(P) = f(2t +1 , -2t +1, t +1) =(2t +1)+(-21 +1)3 +(t+1)3 = f3 +7t2 +t+3p= (x -1)* +(y -12 +(z -1)3 -(2)2 +(-2t)* +f3 = 3t 3 +7t2+t1afJ(P) - (P) - lm= lirm因此，ail30401t→0+3tpi>从点（1,1,1)到点（2，-2,1)的方向的方向数为（1,-3,0）1方向的射线为x=t+1，y=-3t+1，z=1,（t≥0）J(P) = f(t +1, - 3t +1,1) = 9t2 - 5t +3,J(P) = f(1,1,1) =3;-10 -
《数学分析》教案 - 10 - 存在 , 则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数 , 记为 或 、 . 对二元函数 在点 , 可仿此定义方向导数 . 易见 , 、 和 是三元函数 在点 分别沿 轴正向、 轴 正向和 轴正向的方向导数 . 例 1 = . 求 在点 处沿 方向的方 向导数,其中 ⅰ> 为方向 ; ⅱ> 为从点 到点 的方向. 解 ⅰ> 为方向的射线为 . 即 . , . 因此 , ⅱ> 从点 到点 的方向 的方向数为 方向的射线为 . , ;