第一章实数集与函数s1实数教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质重点：绝对值与其不等式性质要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义能用互质分数 (p,q为整数，q±0)表示的数;有理数:q有限十进小数或无限十进循环小数表示的数若规定：ao.a,a2 ...an = ao.ajaz ...(an -1)99...9...-
1 第一章 实数集与函数 §1 实数 教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质 重点：绝对值与其不等式性质 要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式。 第一章 实数集与函数 § 1 实 数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概 念 一． 实数及其性质： 回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数： ( , 0) p q q p 能用互质分数 为整数， 表示的数； q 有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 若规定： 0 1 2 0 1 2 a a a a a a a a . . ( 1)99 9 n n = − 则有限十进小数都能表示成无限循环小数
则有限十进小数都能表成无限循环小数例如：2.001 记为 2.000999.．；0 记为 0.000…．；－8 记为 －7.999实数大小的比较定义1给定两个非负实数X= ao.a,a, ..a,..., y= b.b,b,...b,...其中 α,b为非负整数，0≤α,b≤9。若由1）αk=bk，k=0,1,2,…则称 x 与 相等，记为 x=y2）若存在非负整数 l，使得αk=b，（k=0,1,2,,I)，而αi+>b1则称 x大于（或 小于x），分别记为 x>y（或y<x）。2
2 则有限十进小数都能表成无限循环小数。 例如：2.001 记为 2.000999 ；0 记为 0.000 ；− 8 记为 − 7.999 实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数 x = a0 .a1 a2 an , y = b0 .b1 b2bn 其中 k k a , b 为非负整数，0 , 9 k k a b 。若由 1） ak = bk , k = 0 , 1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x = y 2） 若存在非负整数 l，使得 a b , (k 0 , 1 , 2 , ,l) k = k = ，而 l+1 l +1 a b ， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或 y x ）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 x , y ，若按定义 1 有 − x − y ，则称 y x 实数的有理数近似表示 定义 2 设 x = a0 .a1 a2 an 为非负实数，称有理数 n n x a a a a 0 1 2 = . 实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数 x = a0 .a1 a2 an , y = b0 .b1 b2bn 其中 k k a , b 为非负整数，0 , 9 k k a b 。若由 1） ak = bk , k = 0 , 1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x = y 2） 若存在非负整数 l，使得 a b , (k 0 , 1 , 2 , ,l) k = k = ，而 l+1 l +1 a b ， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或 y x ）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 x , y ，若按定义 1 有 − x − y ，则称 y x 实数的有理数近似表示 定义 2 设 x = a0 .a1 a2 an 为非负实数，称有理数 n n x a a a a 0 1 2 =
规定任何非负实数大于任何负实数：对于负实数x，V，若按定义1有-x>-y，则称y>x实数的有理数近似表示定义 2 设 x=α-αα …·a,为非负实数，称有理数x,=αa,αzan 为实数x的n位不足近似值，而有理数1x, = xn +10n称为x的n位过剩近似值。对于负实数 x =-α.α,α ..an .1x的 n位不足近似值规定为： xn=-α.a,az ·10"3
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x的n位过剩近似值规定为：xn=-a.a,a,..an比如 V2 =1.4142. ，则1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,.。 称为 V2 的不足近似值;1.5, 1.42, 1.415, 1.4143,… 称为 ~2 的过剩近似值 。命题设 x= ao-aj,，= b,b,b, 为 2 个实数，则x>y存在非负整数 n,使得 x,>jn例1设x,y为实数，x>y，证明：存在有理数 r满足x>r >y4
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证：由x>y存在非负整数n，使得x,>yn，取 r=+y2则r显然为有理数，且x≥xn>r>yn≥y实数的一些主要性质1四则运算封闭性：即任何两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数2三岐性（即有序性）任何两个实数a,b必满足下述三个关系之一ab5
5 证：由 存在非负整数 ，使得 ，取 则 r 显然为有理数，且 实数的一些主要性质 1 四则运算封闭性：即任何两个实数的和、差、积、商 （除数不为0）仍然是实数。 2 三岐性（即有序性）任何两个实数 必满足下述三个 关系之一 x y n n n x y 2 n n x y r + = x x r y y n n a,b a b,a = b,a b
3 实数的大小有传递性，即若 α>b,b>c,则有 α>c4 Achimedes性质：即对任何 a,be R，若b>a>0则存在正整数n，使得nα>b。5稠密性：即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且暨有有理数也有无理数6
6 3 实数的大小有传递性，即若 则有 4 Achimedes性质：即对任何 ，若 则存 在正整数 ，使得 。 5 稠密性：即任何两个不相等的实数之间必有另一个 实数，且暨有有理数也有无理数。 a b,b c, a c a,b R b a 0 n na b
6实数集的几何表示：数轴：a=b, >0,a-b0,a<b+ α<b二、绝对值与不等式a, a≥0绝对值定义：1α=-a,a<0从数轴上看的绝对值就是到原点的距离0-aa
7 例 1 设 x , y 为实数， x y ，证明：存在有理数 r 满 足 x r y 证 明 由 x y 存在非负整数 n ，使得 n n x y ， 取 2 n n x y r + = 则 r 显然为有理数，且 x x r y y n n 实数的一些主要性质 1 四则? 算封闭性: 2 三? 性( 即有序性 ): 任何两个实数 a , b ，必满足下述三个关系之一： a b , a = b , a b 3 实数大小由传 递性 ，即 a b b c , 则有 a c. 4 Achimedes 性: a, b R, b a 0, n N, n a b. 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 6 实数集的几何表示： 数轴: 例 , 0, . 0, a < b + a b a b a b = − 二. 绝对值与不等式 绝对值定义： , 0 | | , 0 a a a a a = − 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离： -a 0 a
绝对值的一些主要性质1.lα=-α|≥0 当且仅当 α=0 时|α=02. -la|-h04. α-b≤a±b≤a+b5. |abH allbla|al6.b±0b[b]8
8 绝对值的一些主要性质 | | | | 0 0 | | 0 - < < ; | | , 0 4. 5. | | | || | | | 6. , 0 | | a a a a a a a a h h a h a h h a h h a b a b a b ab a b a a b b b = − = = − − + = = 1. 当且仅当 时 2. -| | | | 3. | |
性质4（三角不等式）的证明：由性质2-|a|<a≤al,-|b|<b<[b两式相加-(a +b )<a+b≤a|+ b[a+b|<|a|+|b由性质 3上式等价于把上式的 b 换成 -b 得 la-b|<|a|+|b由此可推出If(x)-A< A-<f(x)<A+[A-<|f(x)|<|A/-8
9 性质 4（三角不等式）的证明： 由性质2 -|a| a |a|, -|b| b |b| 两式相加 -(|a|+|b|) a+b |a|+|b| 由性质 3 上式等价于 |a+b| |a|+|b| 把上式的 b 换成 -b 得 |a-b| |a|+|b| 由此可推出 − − − − + | | | ( ) | | | | ( ) | ( ) A f x A f x A A f x A
三.几个重要不等式：(1) a2 +b2 ≥2|abl,[sin x|≤1. [sin x ≤|x|(2) 对 Var,α2,...,a, ERt, 记M(a,) - ai +az +...+ a,N(算术平均值)anni=l(几何平均值)G(a,) = "ja,az .an1nnH(a)(调和平均值)1+a,αzanTO有均值不等式：H(a)≤G(a)≤M(a),等号当且仅当a =α,=:=a,时成立10
10 三. 几个重要不等式: （1） 2 , 2 2 a + b a b sin x 1. sin x x . （2）对 , , , , 1 2 + a a an R 记 , 1 ( ) 1 1 2 = = + + + = n i i n i a n n a a a M a (算术平 均值) ( ) , 1 1 1 2 n n i i n i n G a a a a a = = = (几何平均值) . 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 1 = = = = + + + = n i i n n i i i a n a a a n a n H a (调和平均值) 有 均值不等式: ( ) ( ) ( ), i i i H a G a M a 等号当且仅当 n a = a = = a 1 2 时成 立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归 纳法证明过) 对 x 0, 由 二项展开式 2 3 ( 1) ( 1)( 2) (1 ) 1 , 2! 3! n n n n n n n x nx x x x − − − + = + + + + + 有: (1 ) n + h 上式右端任何一项