重积分第二十一章第六节重积分的应用一、曲面的面积设D为可求面积的平面区域,函数f(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数,讨论由方程z = f(x,y),(x,y)e D所确定的曲面S的面积当T→0时,就得到曲面S的面积为Z /1+ f?(s,n.)+ f,3 (s,n.)Ao,△S= limITI->0
第二十一章 重积分 第六节 重积分的应用 一、曲面的面积 ( ) ( ) ( ) D , f x,y , , , , . D z f x y x y D S = 设 为可求面积的平面区域 函数 在 上具有连续 的一阶偏导数 讨论由方程 所确定的曲面 的面积 当 T 0 , S → 时就得到曲面 的面积为 ( ) ( ) 2 2 0 1 S= lim 1 , , n x i i y i i i T i f f → = + +
(1)=J /1+ f' (x, y)+ f,'(x,y)dxdyD或odxdy(2)AS = limcos(n,z)[7/->0COSAi-1其中cos(n,z)为曲面的法向量与z轴正向夹角的余弦例1求圆锥z=/x2 +y2在圆柱体x2+y2≤x内那一部分的面积解据曲面面积公式（1），AS = JJ /1+z? +2, dxdy
例1 解 据曲面面积公式（1）， ( ) ( ) ( ) 2 2 1 , , 1 x y D = + + f x y f x y dxdy 或 ( ) ( ) 0 1 lim , 2 cos cos , i n T i i D dxdy S n z → = = = 其中cos , . (n z z )为曲面的法向量与 轴正向夹角的余弦 2 + y . 求圆锥 2 2 2 z= x 在圆柱体x +y x内那一部分的面积 2 2 1 , x y D = + + S z z dxdy
其中D是x2+y2≤x.所求面积方程为z = /x? + y?,故x因此y?/2x?+ y所以AS = J 2dxdy = V2AD = ,元口4D
2 2 其中D x y x 是 + . 所求面积方程为 2 2 z x y = + , 故 2 2 , x x z x y = + 2 2 . y y z x y = + 因此 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2, x y x y z z x y x y + + = + + = + + 所以 2 2 2 . 4 D = = = S dxdy D
二、重心重心坐标为JJ xp(x, y,z)dVJJ yp(x, y,z)dvX=VJJ p(x, y,2)dVJJ p(x, y,z)dvJJ =p(x,y,=) dvZEJJ p(x, y,=)dv求密度均习的上半椭球体的重心。例3解设椭球体由不等式
二、重心 重心坐标为 ( ) ( ) , , , , , V V x x y z dV x x y z dV = ( ) ( ) , , , , , V V y x y z dV y x y z dV = ( ) ( ) , , . , , V V z x y z dV z x y z dV = 例3 求密度均匀的上半椭球体的重心。 解 设椭球体由不等式
X表示≤1?62由对称性知x =0,= 0.又由p为常数,所以JJ zdvJJ zdxdydzV2JJ dv元abc3由上节例5得3c口78三、转动惯量质点A对于轴的转动惯量J是质点A的质量m和A与转动轴
2 2 2 2 2 2 1 . x y z a b c + + 表示 由对称性知x = = 0, 0. y 又由为常数,所以 . 2 3 V V V zdV zdxdydz z dV abc = = 由上节例5得 3 . 8 c z = 三、转动惯量 质点A l J A m A 对于轴 的转动惯量 是质点 的质量 和 与转动轴
1的距离r的平方的乘积,即J-mr2。当T→O时,物体V对于各个坐标轴的转动惯量为J, = JJ(y2 +22)p(x, y,z)dV.J, = J[(2 +x)p(x, y,z)dvJ, = J(x2 + y2)p(x, y,z)dV同理，物体V对于坐标平面的转动惯量分别为Jy = J 2 p(x, y, 2)dV
, . 2 l的距离r的平方的乘积 即 J=mr 当 T V →0 , 时 物体 对于各个坐标轴的转动惯量为 ( ) ( ) 2 2 , , . x V J y z x y z dV = + ( ) ( ) 2 2 , , . y V J z x x y z dV = + ( ) ( ) 2 2 , , . z V J x y x y z dV = + 同理，物体V对于坐标平面的转动惯量分别为 ( ) 2 , , . xy V J z x y z dV =
J y, = J] x p(x, y,z)dv.J, = [l] y°p(x, y,z)dV椰求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量（图21-38）Z解设圆环D为R? ≤x2 + y2≤ R密度为p,则X图21-38
( ) 2 , , . zx V J y x y z dV = ( ) 2 , , . yz V J x x y z dV = 例4 求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面中心轴的转动惯 量（图21-38）. 解 x y z 图21-38 设圆环D为 2 2 2 2 1 2 R x y R + , 密度为,则
D中任一点(x,y)与转轴的距离平方为x+y于是转动惯量J-I p( +y)do =pf dof% rdrID-(R'-R")-(R°+R"),y其中m为圆环的质量例5求均匀圆盘D对于其直径D的转动惯量（图21-39）OX图21-39
( ) 2 D . + y 中任一点 2 x,y 与转轴的距离平方为x 于是转动惯量 ( ) 2 1 2 2 2 3 0 R R D J x y d d r dr = + = ( ) ( ) 4 4 2 2 2 1 2 1 , 2 2 m R R R R = − = + 其中m为圆环的质量. 例5 求均匀圆盘D对于其直径 的转动惯量（图21-39）. x y o D 图21-39
解讠设圆盘D为x2+y2≤ R2,密度为p,求对于y轴的转动惯量由于D内任一点(x,y)与y轴的距离为x,故J = JJ px’do = pf" do f' (rcos0) rdrD= pJ, cos’ odo.fr'drp元R4￥1=mR244其中m为圆盘的质量
解 2 2 2 设圆盘D x y R y 为 + , , . 密度为 求对于 轴的转动惯量 由于D内任一点(x,y)与y轴的距离为x ,故 ( ) 2 2 2 0 0 cos R D J x d d r rdr = = 2 2 3 0 0 cos R d r dr = 4 1 2 , 4 4 R mR = = 其中m为圆盘的质量
例6设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量解讠设球体由不等式x2+y2+z2≤R2表示，密度函数为k/x2+y2+z2,这里k为比例常数.切平面方程为x=R则球体对于平面x=R的转动惯量为J = kJJ /x? + y2 + z (R-x)~ dxdydz=k," do] do]’(R-rsin pcoso)°-r' sin pdr22= kR? f" dof"r'dr]。 sin pdp -2kRf。cosAdo
例6 设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面 的转动惯量. 解 2 2 2 2 2 2 2 , x y z R k x y z k x R x R + + + + = = 设球体由不等式 表示，密度函数为 这里 为比例常数.切平面方程为 ， 则球体对于平面 的转动惯量为 ( ) 2 2 2 2 V J k x y z R x dxdydz = + + − ( ) 2 2 3 0 0 0 sin cos sin R k d d R r r dr = − 2 2 2 3 0 0 0 0 sin 2 cos R kR d r dr d kR d = −