S3 可积条件判别一个函数f(x)在[a,bl上是否可积，就是判别极限肥含()4,是否存在,在实际应用中,直接按定义来判定是困难的·我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别函数的可积性.为此，先给出可积准则，并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件，连续性是可积的充分条件而非必要条件。前页后页返回
前页 后页 返回 判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别 §3 可积条件 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别 → = 0 1 lim ( ) n i i T i 极限 f x 是否存在. 在实际应用中， 直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身 函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明 有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是 可积的充分条件而非必要条件. 返回
定理9.1（可积必有界）若函数f在[a,bl上可积，则f在la,bl上必有界证设6f(x)dx = J.由定义,对ε=1>0,38>0,只要T<8,无论T与 5; =[xi-1, x,I (i=1,2,…,n) 如何选取,都有nEf(5,)Ax, -J <1,i=1于是后页返回前页
前页 后页 返回 定理9.1 (可积必有界） 若函数 f 在 [a,b] 上可积，则 f 在 [a,b] 上必有界. 证 设 f (x)dx J. b a = 由定义, 对 = 1 0 0 , , T , T 只要 无论 1 Δ 1 n i i i f ( ) x J , = − 于是 1 [ , ] ( 1,2, , ) , i i i 与 如何选取 都有 = x x i n −
Z(5,)4x, ≤0/+1- M.i=1倘若 f(x)在[a,bl上无界，则必有k,使得 f(x)在[x-1,x,]上无界.令Ef(5,)Ax;G=i+k故必存在E[x-1,x,],满足M+G[()>AXk后页返回前页
前页 后页 返回 −1 [ , ] . k k x x 上无界 令 ( )Δ , i i i k G f x = 故必存在 满足 k k k x x −1 , , 1 Δ 1 n i i i f ( ) x J M . = + = ( ) . k k M G f x + 倘若 在 上无界， f x a b ( ) [ , ] 则必有 k ,使得 在 f x( )
nZ(5,)Ax)于是i=1≥/ f(5h)Ax/-Ef(5.)Ax;i*kM+GAXk - G = M,Axk矛盾.以下例子告诉我们，有界性并不是可积的充分条件返回前页后页
前页 后页 返回 于是 1 ( )Δ n i i i f x = 矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件. ( ) k k i i Δ ( )Δ i k f x f x − Δ , k k M G x G M x + − =
例1试用反证法证明：狄利克雷函数D(x）在任何区间[a,b]上不可积证若D(x)在[a,bl上可积,则日JR,日S>0当 T|<8 时, 对任何5, =[xi-1, x;l, 有2D(5,4,-小i=1现任取 5, eQn[x,-1,x,l, i=1,2,,n, 则ZD(5,)Ax,-ZAx,=1.i-1i-1前页后页返回
前页 后页 返回 i i i Q [ , ], 1,2, , , 1 现任取 = x x i n − 则 1 1 ( )Δ Δ 1. n n i i i i i D x x = = = = 证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则 J R, 0, 1 1 ( )Δ . 2 n i i i D x J = − 例1 试用反证法证明:狄利克雷函数 D x( )在任何 区间 上不可积 [ , ] a b . 当 时 T , −1 [ , ], i i i 对任何 有 x x
又任取 n, E[xi-,x,]1Q, i=1,2,..,n, 则≥ D(n,)Ax, = 0.i-1≥ D(5,)Ax,-≥ D(n;)Ax, -1, 而这与于是i=1i=1Z D(5,)Ax, -ZD(n;)Ar;i-1i=1D(5)4x-+D(n)4,-+-<i-1i=1相矛盾，所以D(x)在[a,b]上不可积后页返回前页
前页 后页 返回 于是 1 1 ( )Δ ( )Δ 1 , n n i i i i i i D x D x = = − = 而这与 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i D x D x = = − 1 1 1 1 ( )Δ ( )Δ 1 2 2 n n i i i i i i D x J D x J = = − + − + = 1 [ , ]\ Q, 1,2, , , i i i 又任取 = x x i n − 则 1 ( )Δ 0. n i i i D x = = 相矛盾, 所以 D x( ) . 在 上不可积 [ , ] a b
定义2 设 f 在[a,bl上有界,对任意分割T:a=x,<x,<...<x, =b,称 S(T)=亡M,Ax,为关于分割 T的上和,其中i=1M, = sup( f(x) /xe[x,-1 , x,]), i =1, 2, ... n;称 s(T)-Zm,Ax,为f关于分割 T 的下和,其中i-1m, = inf (f(x)xe[x-,x,]), i=1, 2, .. n;称 の, =M-m, (i=1, 2,... n)为 f 在[x-},x;l上的振幅.后页返回前页
前页 后页 返回 : . , 0 1 T a x x x b = n = 称 为 f 关于分割 T 的上和,其中 1 ( ) Δ n i i i S T M x = = M f x x x x i n i i i = = sup ( ) | [ , ] , 1, 2, ; −1 称 为 f 关于分割 T 的下和,其中 1 ( ) Δ n i i i s T m x = = m f x x x x i n i i i = = inf ( ) | [ , ] , 1, 2, ; −1 定义2 设 在 上有界 f a b [ , ] , 对任意分割 1 ( 1, 2, ) [ , ] i i i i i M m i n f x x 称 = − = 为 在 − 上的 振幅
振幅反映了函数在区间内的变化范围，是一个与连续性相关联的概念定理9.3（可积准则）函数f在[a,bl上可积的充要条件是：Vε>0,日分割T,使S(T) -s(T)-(M, -m,)Ax, - Zo,Ax, <8.i1i-1此定理将在本章第六节定理9.15中证明.在用它2证明可积性问题时，有多种方法可使w,Ar,<8.i-1后页返回前页
前页 后页 返回 定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要 条件是： 0, , 分割T 使 1 1 ( ) ( ) ( )Δ Δ . n n i i i i i i i S T s T M m x x = = − = − = 此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明. 在用它 振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连 续性相关联的概念. . 1 = n i i xi 证明可积性问题时,有多种方法可使
常见的有三种方法，下面分别作出介绍一，从而第一种方法:每个 0<b-a20,Ax2A,=6.b-aili1例如,在[a,bl上一致连续的f,便属于这种情形定理9.4（连续必可积）若f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上可积.证f在[a,b]上连续,从而在[a,b]上一致连续.于前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 Δ Δ . n n i i i i i x x b a = = = − 常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 每个 b a i − 第一种方法: ，从而 例如 在 上一致连续的 ,便属于这种情形 , [ , ] . a b f 定理9.4（连续必可积） 若 f a b 在 上 [ , ] 连续，则 f a b 在 上 [ , ] 可积. 证 f a b 在 上 [ , ] 连续,从而 在 上 [ , ] a b 一致连续.于
是Vε>0, 38>0, Vx',x"[a,b], 若|x'-x"|<8,则0)--因此当[a,b] 上的分割 T满足|T|<时,O; = M, - m;=supif(x')- f(x"), x',x"e[xi-1,x,l)8b-a"2CZAx,=8.从而w,Ax,<bi-1i后页返回前页
前页 后页 返回 f x f x ( ) ( ) . b a − − i = Mi − mi 1 sup{ ( ) ( ) , [ , ] } i i f x f x x x x x ， − = − , b − a 从而 1 1 Δ Δ . n n i i i i i x x b a = = = − 因此当 [ , ] a b T T 上的分割 满足 时, 是 0, 0, , [ , ], x x a b 若 则 x x −