第二十一章 重积分一重积分的概念一、平面图形的面积由确界定理可以推得，对于平面上所有直线网，数集 S，有上确界，数集 S，有下确界X0记 I,= sup S,, I = inf S,显然有0≤I≤Ipp通常称I为p的内面积，I,为p的外面积P的外面积
第二十一章 重积分 一 重积分的概念 一、平面图形的面积 o x y 由确界定理可以推得，对于平面上所有直线 网，数集 p s 有上确界，数集 p S 有下确界 记 _ sup , inf p p p p I S I S − = = 显然有 通常称 p I p − 为 的外面积 的外面积。 p I p − 为 的内面积， 0 p p I I − −
定义1若平面图形p的内面积_」等于它的外面积I,则称p为可求面积，并称其共同值p=I =Ip为p的面积.定理21.1平面有界图形T可求面积的充要条件是：对任意的ε>0 使得S,-S,1,-号,5,(T.)<1,+2
由定义1，有 定理21.1 平面有界图形 定义1 若平面图形 p 的内面积 等于它的外面积 可求面积的充要条件是： 对任意的 0 总存在直线网 T 使得 . p p S s − 证 ：[必要性]设平面有界图形 p 的面积为 p I 。 1 2 p p p , 0 p p I I I I I T T − − − − = = 对任意的 ，由 及 的定义可知，分别存在 与 ，使得 1 2 ( ) , ( ) 2 2 p p p p s T I S T I − + ， p I − p . p p p I I I p − − = = 则称 为可求面积，并称其共同值 为 的面积 , p I −
记为由与这两个直线网合并所成的直线网可证得：S,(T)≤s,(T),S,(T)≥ S,(T)于是由（3）可得 IAPD2[充分性] 设对任给的s>0，，存在某直线网 T，使得(2) 式成立。但s,(T)≤I ≤Ip ≤ S,(T)-p所以Ip-I ≤S,(T)-Sp(T)<8
1 2 ( ) ( ), ( ) ( ) p p p p s T s T S T S T 记为由与这两个直线网合并所成的直线网 − + . − ( ) 2 , 2 s p (T) I p Sp I p 从而得到对T有S（P T） s p T 可证得： 于是由（3）可得 [充分性] 设对任给的 0， ，存在某直线网 T， （2）式成立。 使得 ( ) ( ). ( ) ( ) . p p p p p p p p s T I I S T I I S T s T − − − − − − 但 所以
无法显示无法显示该图片，由ε的任意性,I=Ip,因此平面图形P可求面种。1由不等式(I)及定理21.1立即可得：推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积Ip=o即对任给的ε>O,存在直线网T，使得S,(T)0平面图形P能被有限个其面积总和小十小矩形所覆盖的总和
, (1) 21 1 p P I I P − − 由 的任意性， = 因此平面图形 可求面积。 由不等式 及定理 、立即可得： 推论 平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积 = 0 − I p 即对任给的 存在直线网T，使得 ( ) p S T ， 或对任给的 0 ，平面图形P能被有限个其面积总和小 0， 于小矩形所覆盖的总和
定理21、2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零证：由定理21.1，P可求面积的充要条件是对Vε>0存在直线网T,使得 S,(T)-s,(T)0,总存在>0. 当把区间[a,b]分成n个小区间
定理21、2 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的 边界K的面积为零 证 ：由定理21.1，P可求面积的充要条件是对 0， S (T) − s (T) . p p ( ) ( ) ( ) 存在直线网T，使得 由于S T S T s T k p p = − ， 所以也有 ( ) S T k 。 。由上述推论，Ｐ的边界Ｋ的面积为零。 定理２１.３ 若曲线Ｋ为由定义在［a,b]上的连续函数f(x)的 图象，则曲线Ｋ的面积为零. 证: 由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以它在[a,b]上一连 续。因而对 0，总存在 0. 当把区间[a,b]分成n个小区间
[x,-1,x,](i= 1,2,...,n,x = a,xn = b) 并且满足max(△x, =x; -xi-I li=1,2,...n)< 时,可使f(x)在每个小区间[x-,对] 上的振幅都成立,<一。 现把曲线按自变量0b-ax = Xo,Xi...xn 分成个小段，这时每个小段都能被以 △x为宽，の为高的小矩形所 覆盖，由于这n个小矩形面积的总C≥o,Ax, 和为△x, =ε ,所以由定理 2 1. 1 的b-α i=li=1推论即得曲线K的面积为零
[ , ]( 1,2, , , , ) xi−1 xi i = n x0 = a xn = b 并且满足 max{ | 1,2, } i i i 1 x x x i n = − = − 时，可使f(x)在每个小 [ , ] i 1 i x x − 上的振幅都成立 b a i − 现把曲线按自变量 分成个小段，这时每个小段都能被以 为宽，i 为高的小矩形所 覆盖，由于这n个小矩形面积的总 区间 0 1 , , n x x x x = i x 和为 = − = = i n i i n i i x b a x 1 1 ,所以由定理２１.１的 推论即得曲线Ｋ的面积为零
二，重积分的定义及其存在性定义2、设f(xy)是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数。J是一个确定的数，若对任给的正数ε,总存在某个正数 ,使对于 D 的任何分割 T，当它的细度IⅡTI<S,属于 T 的所有积 分和都有If(si,n)△,-Jε,则称i=1f(x,y)在D上可积．数J称为函数f(x,y)在D上的二重积记作 I = [[ F(x, y)doD其中f(xy)成为二重积分的被积函数，x,y成为积分变量。D成为积分区域
二 重积分的定义及其存在性 定义２、设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域Ｄ上的 函数。Ｊ是一个确定的数，若对任给的正数 个正数 ,使对于Ｄ的任何分割Ｔ，当它的细度 || || , T 属于Ｔ的所有积 分和都有 1 | ( , ) | , n i i i i f J = − 则称 f(x,y)在D上可积. 数Ｊ称为函数f(x,y)在D上的二重积 ( , ) D I f x y d = 记作 其中f(x,y)成为二重积分的被积函数，x,y成为积分变量。 Ｄ成为积分区域。 ,总存在某
定理21.4f(xy）在D上可积的充要条件lim S(T) = lim s(T)IT->0[T|>0定理 2 1.5 f(xy)在D 上可积的充要条件是：对任给的正数 ，存在D 的某个分割T，使得S(T)-s(T)< 8定理2 1.6有界闭区域D上的连续函数必可积定理 2 1 、7 设f(xy)是定义在有界闭区域D上的有界函数。若f(xy)的不连续点都落在有限条光滑曲线上则f(x,y)在D上可积
lim ( ) lim ( ) | | 0 | | 0 S T s T T → T → = 定理２１.４ f(x,y)在D上可积的充要条件: 定理２１.５ f(x,y)在Ｄ上可积的充要条件是： 对任给的正数 ，存在Ｄ的某个分割Ｔ，使得 S(T) − s(T) 定理２１.６ 有界闭区域Ｄ上的连续函数必可积 定理２１、７ 设f(x,y)是定义在有界闭区域Ｄ上的有 界函数。若f(x,y)的不连续点都落在有限条光滑曲线上， 则f(x,y)在Ｄ上可积
证：不失一般性，可设f(x,y)的不连续点全落在某一条光滑曲线L上。记L的长度为l，于是对任给的 ε>0把 L等分成 n=[-]+1段：L，L2….L,，在每段L,上取一点P,8使P与其一短点的弧长为二,以p为中心作边长为的正方2n形△,,则L, C △,,从而有L CU△,。记=U>,=则△为一多边形，设^的 面积为W，则W ≤nc°=(")+1)e<(+1)e’=(1+e)。 现在把区域 D分成两部分。第一部分 D, =D△， 第二部分 D= D-Di
证：不失一般性，可设f(x,y)的不连续点全落在某一 条光滑曲线Ｌ上。记Ｌ的长度为l，于是对任给的 0 把Ｌ等分成 1 2 [ ] 1 n l n L L L = + 段： ， ， ， 为中心作边长为 的正方 , . 形 i i i i 则L L 从而有 。 在每段L P i i 上取一点 ， . 2 i i l P P n 使 与其一短点的弧长为 以 则 为一多边形，设 的 面积为Ｗ，则 ([ ] 1) ( 1) ( ) 2 2 2 = + + = l + l l W n 现在把区域Ｄ分成 1 , n i i= 记 = 两部分。第一部分 , D1 = D 第二部分 2 1 D D D = −
由于f(x,y)在D,上连续。 根据定理 2 1.6 、2 1、5又记M= sup f(x,y),m = inf- f(x,y)(x,y)EA(x,y)eA存在D,的分割T，使得S（T,-s(T)<以T表示由T与多边形么的边界所组成的D的分割，则有S(T)- s(T) =[S(T2)- s(T,)]+[M W -m W]<+oW≤+(l +)0 =(1+l +εの)8其中の是f(x,y)在D上的振幅。由于f(x,y)在D上有界故 の 是有限值。于是由定理 5 就证明了f(xy)在D 上可积
根据定理２１.６ 、２１、５ 存在D2 的分割T2 ，使得S（T2 ）−s(T2 ) sup ( , ), inf ( , ) ( , ) ( , ) M f x y m f x y x y x y 又记 = = ( ) (1 ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ] 2 2 + + = + + − = − + − + l l S T s T S T s T M W m W W 其中是f (x, y)在D上的振幅。由于f (x, y)在D上有界 2 由于f x y D ( , )在 上连续。 以T T D 表示由 2与多边形的边界所组成的 的分割，则有 故 是有限值。于是由定理５就证明了f(x,y)在Ｄ上可积