第二节收敛数列的性质0杨建雅
第二节 收敛数列的性质 杨建雅
数列极限的性质1 唯一性定理2.2钅每个收敛的数列只有一个极限证 设 lim xn =a,又 lim xn =b, a0n>00b-a对于ε =,3N1,N2.使得2当n>N,时恒有xn-αN,时恒有x,-bN时有xnL22a+ba+b矛盾！:α=b即极限唯一即xn <xn22
定理2.2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 x a xn b a b n n n = = → → 设 lim ,又 lim , 由定义, 对 于 , , .使 得 2 N1 N2 b a − = ; 1 n N x − a 当 时恒有 n ; 2 n N x − b 当 时恒有 n max , , 取N = N1 N2 即 矛盾！ 2 , 2 a b x a b xn n + + a = b即极限唯一 则当n N时有 2 b a xn a − − 2 b a xn b − − 一、数列极限的性质 1 唯一性
2.有界性定理2.3收敛的数列必定有界证设 lim x,=,由定义，取ε=1,n-8则3N,使得当n>N时恒有x，-a<1,即有 a-1<x,<a+1.记 M = max[x;, ..,x~],|a - 1],a + 1,则对一切自然数n,皆有x, ≤ M,故(x,)有界注意：有界性是数列推论无界数列必定发散收敛的必要条件
定理2.3 收敛的数列必定有界. 证 lim x a, n n = → 设 由定义, 取 = 1, N, n N x − a 1, 则 使得当 时恒有 n a − 1 x a + 1. 即有 n max{ , , , 1, 1}, 记 M = x1 xN a − a + n, x M, 则对一切自然数 皆有 n 故 有界. xn 注意：有界性是数列 收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.有界性
3.保号性定理2.4若lima,=a>0(或a00(或 r(0,a)），N,n>N时有a,>r(或aN时an≤b,定理2.5若n->00n→>0则：lim a, ≤ lim b,n-8n-00
定理2.4若 ，则对任意 .（或 ） ， lim = 0( 0) → an a a n 或 r (0,a) r (0,a) N, n N a r( a r) 时有 n 或 n 定理2.5若 均存在，并且 则： n n n n a b → → lim ,lim N n N an bn , 时 n n n n a b → → lim lim 3.保号性 4.保不等性
例1设x, >0,且 limx, =a> 0,n→8求证 lim /x, = Va.n-00, : limxn =a,证 任给>0,n-→8:.3N使得当n>N时恒有x,-α<ε,xn-ax.a81从而有/x,-/a=Ya故limx,=an-?
例 1 lim . 0, lim 0, x a x x a n n n n n = = → → 求证设 且 证 任给 0 , lim x a. n n = → 故 lim x a, n n = → N n N x a , n 使得当 时恒有 − x a x a x a nn n +− 从而有 − = a x a n − a
5.迫敛性（夹逼准则）定理2.6如果数列x，，y,及z，满足下列条件：(1) yn ≤xn ≤zn(n = 1,2,3...)(2) lim yn =a, limzn = a,n>8>0那末数列x，的极限存在，且limx，=a.n-8本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法证 :yn→a, zn→a,V ε>0, N, >0, N, >0, 使得
定 理 2.6 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列 xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得 本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一 个计算数列极限的方法。 5.迫敛性（夹逼准则）
当 n>N,时恒有yn-aN,时恒有zn-αN时, 恒有 a-<≤x,≤z<a+8,即x,-α<ε成立,.. lim xn = a.n-
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = →
注意：利用夹逼准则求极限关键是构造出yn与zn并且y,与z,的极限是容易求的。例2求数列(/n）的极限。解：记an="n=1+hn，这里 h,>0(n>1)，则有:21Sa,-1+h, 1+Vn-1左右两边的极限均为1，故由夹逼准则数列(/n的极限为1
. , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 例2 求数列 的极限。 解： 记 ， 这里 ，则有： 左右两边的极限均为1， 故由夹逼准则数列 的极限为1。 { } n n n n an = n = 1+ h h 0(n 1) n 1 2 1 1 1 − = + + n an hn { } n n 注意:
111例3 求 lim().?+·+21n→n' +1Vn' +2Vn'+n11nn解22-n2+1+n+1n-W+n-1n又 limlim= 1,21n-→80n-→0n+n1+-n1nlimlim1.由夹逼定理得211-8n-→an'+1311 +n111lim(+?22In'+nn-→on2+1n2+2
例3 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n
6、极限运算法则设 lim an = A, lim b, = B,则n-→>00n-→(I) lim(an ±bn)= A± B;n→8(2)lim an ·bn = A- B;n→Aan(3)lim其中B≠0bBn-→>8n
(3) lim , 0. (2) lim ; (1) lim ( ) ; lim ,lim , = = = = = → → → → → B B A b a a b A B a b A B a A b B n n n n n n n n n n n n n 其中 设 则 6、极限运算法则