第六章微分中值定理及其应用目的：掌握理解儿个中值定理的内容实质熟练掌握罗比塔法则求各种不定式极限的方法会利用导数求极值，证明不等式会判别函数的单调性、凹凸性难点：中值定理及其证明方法
第六章 微分中值定理及其应用 目的: 掌握理解几个中值定理的内容实质, 熟练掌握罗比塔法则求各种不定式极限的方法, 会利用导数求极值, 证明不等式, 会判别函数的单调性、凹凸性。 难点： 中值定理及其证明方法
这一章我们主要讨论如何利用导函数的性质来推断函数的性质，包括函数的单调性、极值、凹凸性以及求不定式的极限等为此我们先要解决以下几个问题：
这一章我们主要讨论如何利用导函数的性 质来推断函数的性质,包括函数的单调性、 极值、凹凸性以及求不定式的极限等. 为此我们先要解决以下几个问题：
问题1. 如果函数y= f(x)在 xo处可微，则有函数改变量、自变量改变量以及函数导数之间的关系f(x) -f(xo) ~ f'(xo)(x-xo)此时，要求X和X之间距离很小，是否可以将上述公式中的近似等式变成严格等式，而且取掉自变量改变量很小的限制？即将这单的局部性质变成整体性质，如果要能这样作，对函数需要件么要求？导数应是何处的值？问题2.常量函数的导数处处为零，导数处处为零的函数一定是常数吗?
问题1. 如果函数 在 处可微, 则有函数 改变量、自变量改变量以及函数导数之间的关系 此时, 要求 和 之间距离很小, 是否可以将 上述公式中的近似等式变成严格等式, 而且取掉自变 量改变量很小的限制？即将这里的局部性质变成整体 性质，如果要能这样作，对函数需要什么要求？导数 应是何处的值？ y = f (x) x0 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x − f x f x x − x x x0 问题2. 常量函数的导数处处为零, 导数处处为 零的函数一定是常数吗?
问题3.函数f(x)在点 x。可导，则有f(x)= f(xo)+ f'(xo)(x -xo)+o(x - xo)即在 x。附近,用一次多项式f(xo)+ f'(xo)(x -xo)逼近函数 f(x) 时,其逼近误差为(x-xo)的高阶无穷小量.那么,当 f(x)在 x。满足什么条件时，可以用一个 n 次多项式逼近它，而且误差为(x-x)的高阶无穷小量?
问题3. 函数 在点 可导, 则有 即在 附近,用一次多项式 f (x) 0 x ( ) ( ) '( )( ) ( ) 0 0 0 0 f x = f x + f x x − x + o x − x x0 ( ) '( )( ) 0 0 0 f x + f x x − x 逼近函数 时,其逼近误差为 的高阶无穷小量. 那么,当 在 满 足什么条件时, 可以用一个 次多项式 逼近它, 而且误差为 的高阶无穷小量? f (x) ( ) 0 x − x f (x) 0 x n n (x x ) − 0
问题4.对于函数求极限,如果其分子、分母的极限均为零或均为无穷大时，不能再利用除法公式进行计算。但我们知道导数存在时，导数定义中的求导正是处理分子分母极限均为零时的一种特殊商函数的极限，对于一般情形，求极限可否借助于导数来计算?微分中值定理是我们解决这些问题的有效工具.为此我们首先讨论第一节拉格朗日定理函数的单调性
问题4. 对于函数求极限,如果其分子、分母的 极限均为零或均为无穷大时，不能再利用除法公式 进行计算。但我们知道导数存在时, 导数定义中的 求导正是处理分子分母极限均为零时的一种特殊商 函数的极限, 对于一般情形, 求极限可否借助于导数 来计算? 微分中值定理是我们解决这些问题的有 效工具.为此我们首先讨论第一节拉格朗日 定理函数的单调性
第一节拉格朗日定理和函数的单调性
第一节 拉格朗日定理和函数的单调性
一、罗尔(Rolle)定理罗尔 (Rolle）定理 如果函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续,2在开区间(α,b)内可导,且在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b), 那末在(a,b)内至少有一点(a<<b),使得函数f(x)在该点的导数等于零,即f ()= 0例如, f(x)=x2 -2x-3 =(x-3)(x+1)在[-1,3]上连续，在(-1,3)上可导,且 f(-1)= f(3)= 0.: f'(x) = 2(x -1), 取 = 1, (1 e(-1,3)) f'()= 0
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0
y几何解释：Cy=f(x)在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的.0S152 b xa物理解释：变速直线运动在折返点处，瞬时速度等于零
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零. 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
证 ：f(x)在[a,b]连续,必有最大值M 和最小值 m(1) 若 M = m.则 f(x)= M.由此得 f'(x)=0. Ve (a,b),都有 f'()=0.(2) 若 M ± m.: f(a)= f(b)最值不可能同时在端点取得设 M ± f(a),则在(a,b)内至少存在一点使 f()= M: f(E+△x)≤ f(E), : f(E+Ax) - f(E)≤0
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
f(+△r)- f()若 △x >0，则有≤0;Arf( +△x)- f(E)≥ 0:若 Ax<0,则有Arf(+Ar)- f(E).:. f'() = lim≥ 0;AxrAr-→-0f(+△r) - f(E)f*()= lim≤0;：f'(E)存在,AxAr-→+0:. f'()= f*(E). 只有 f'()= 0
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0