第十三章函数列与函数项级数s 1 一致收敛性教学目的：让学生掌握函数列与函数项级数一致收敛的定义及其判别方法教学重点：一致收敛定义和判别方法教学难点：判别法的应用教学步骤：我们已经知道可以用收敛数列（或数项级数）来表示或定义一个数本章将讨论怎样用函数列(或函数项级数)来表示（或定义）一个函数，并研究这个函数所具有的性质.2025/12/31
2025/12/31 1 第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 教学目的：让学生掌握函数列与函数项级数一致收敛的 定义及其判别方法． 教学重点：一致收敛定义和判别方法． 教学难点：判别法的应用． 教学步骤： 我们已经知道可以用收敛数列(或数项级数)来表示或定 义一个数．本章将讨论怎样用函数列(或函数项级数)来 表示(或定义)一个函数，并研究这个函数所具有的性 质．
函数列及其一致收敛性对定义在区间 I上的函数列(f,(x))，xe E，设 xo E，若数列 (f,(x) 收敛，则称函数列(f,(x))在点x。收敛，x。称为函数列(f,(x) 收敛点；若数列(f,(x))发散，则称函数列(f,(x)}在点x发散使函数列(f,(x))收敛的全体收敛点集合称为函数列(f(x))收敛域（注意定义域与收敛域的区别）。若函数列(f,(x))在数集Dc E上每一点都收敛，则称函数列(f,(x))在数集D上收敛，这时D上每一点x，都有函数列的一个极限值lim f,(x)= f(x)2025/12/312
2025/12/31 2 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间 I 上的函数列{ f n (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { ( ) } 0 f x n 收 敛，则称函数列{ f (x) } n 在点 0 x 收敛， 0 x 称为函数列{ f (x) } n 收敛点；若数列 { ( ) } 0 f x n 发散，则称函数列{ f (x) } n 在点 0 x 发散。 使函数列{ f (x) } n 收敛的全体收敛点集合称为函数列{ f (x) } n 收敛域（ 注 意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列{ f (x) } n 在数集D E 上每一点都收敛，则称函数列{ f (x) } n 在数 集 D 上收敛，这时 D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 lim f (x) f (x) n n = →
与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列f（x)的极限函数逐点收敛（或称为“点态收敛”）的“ε-N”定义例 1 对定义在(-,+)内的等比函数列f,(x)= x"，用“ε-N”定义验证其收敛域为(-1,1]，且0,[x/0 ，存在自然数N=N(s)，当 n>N时，对E中一切 x都有32025/12/31
2025/12/31 3 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列{ f (x) } n 的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ − N ”定义. 例 1 对定义在( − , + ) 内的等比函数列 f (x) n = n x , 用“ − N ”定义 验证其收敛域为( −1,1] , 且 n→ lim f (x) n = n→ lim n x = = 1, 1. 0 , | | 1, x x 例 2 f (x) n = n sin nx . 用“ − N ”定义验证在( − , + ) 内n→ lim f (x) n = 0 . 函数列的一致收敛性： 设函数列 { f (x)} n 在 E 上收敛于 f (x) ，若对任意的 0 ，存在自然数 N = N( ) ，当 n N 时，对 E 中一切 x 都有
f,(x)-f(x)N 时，f,(x)的图形全部落入这个ε一带内一致收敛情况图示2025/12/314
2025/12/31 4 f (x) − f (x) n 则称函数列{ f (x)} n 在 E 上一致收敛于 f (x)。 注意 这里的 N 只与 有关，与 x 无关，这一点是一致收敛与逐点收 敛的本质区别。 一致收敛的几何意义 对任给的 -带 { (x, y) ; | y − f (x) | }，总存在一个 N，n N 时， f (x) n 的图 形全部落入这个 -带内。 一致收敛情况图示
f(x)对任意ε>0，n充分大时，f.(x)将全部落入ε一带以内(f,(x)收敛但不一致收敛的几何意义:对任意 eD， lim f,(3)=f(3)，但存在一个ε >0,对任意的 N, 都可找到一个no，尽管 no>N，但 f(x)总有一部分落在ε带以外2025/12/31D
2025/12/31 5 对任意 0，n 充分大时， f (x) n 将全部落入 －带以内。 { f (x)} n 收敛但不一致收敛的几何意义： 对任意 x D， lim f (x) f (x) n n = → ，但存在一个 0 0 ，对任意的 N，都可 找到一个 0 n ，尽管 n0 N ，但 ( ) 0 f x n 总有一部分落在 0 带以外。 f(x) fn(x)
fn(x)nx例 证明函数列在 [0,1] 上收敛但不一致收敛f,(x) =1+n'x?证明1） 函数列在 [0,1] 上收敛。n显然 对任意的 xe[0,1] ,→0f,(x) =I + nx?2）但 f,(x)不一致收敛于 02025/12/316
2025/12/31 6 例 证明函数列 2 2 1 ( ) n x nx f x n + = 在 [0, 1] 上收敛但不一致收敛 证明 1）函数列在 [0, 1] 上收敛。 显然 对任意的x [0,1] ， ( ) 0 1 2 → + = nx n f x n n 2）但 f (x) n 不一致收敛于 0 f(x) fn(x)
先看一看函数列的图象（图中给出的是 n=8，20，50 的情况c1f, x=0:1/100:1;y1=8*x. / (1+64*x.~2) ;y2=20*x. / (1+400*x. ~2) ;y3=50*x. / (1+2500*x. ~2) ;plot(x, yl, x, y2, x, y3,' 1inewidth', 2)hold onplot([-0. 1, 1], [0, 0],'b', [0, 0], [-0. 1, 0. 6],'b')axis ([-0. 1, 1. 2, -0. 1, 0. 6])legend(' yl, n=8', y2, n=20',y3, n=50')2025/12/311
2025/12/31 7 先看一看函数列的图象（图中给出的是 n＝8，20，50 的情况） clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
0.6y1,n=8y2,n=200.5y3,n=500.40.30.20.1o-0.100.20.40.60.812可以看出，对于ε<0.5，无论 n 再大，f,(x)的图象总有一部分落在ε一带以外。事实上存在 xno =一 ，1 fno(o)- f(x)2025/12/318
2025/12/31 8 可以看出，对于 0.5 0 ，无论 n 再大，f (x) n 的图象总有一部分落在 0 －带以外。 事实上存在 n xn 1 0 = ， 0 0 0 2. 1 | f (x ) − f (x) |= n n ， 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 y1,n=8 y2,n=20 y3,n=50
所以该函数列是不一致收敛的例函数列(x" 在[0,1]上不一致收敛，但在 [0,α],α<1 上一致收敛先看看该函数列的图象c1f, x=0:1/100:1;yl=x.4;y2=x.~10;y3=x. ~50;plot(x, yl, X, y2, x, y3,linewidth',2)2025/12/31L
2025/12/31 9 所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 { } n x 在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象 clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
0.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.10.20.30.40.50.70.80.90.6对于! 所以该函数列在[0,1]上不一致收n敛。102025/12/31
2025/12/31 10 对于 1 0 ，不管 n 再大， n x 的图象总有一部分落在 0 －带以外。 事实上，我们容易看出 n n e − n → 1 ) 1 (1 充分大时， 3 1 ) 1 (1− n n 所以该函数列在[0,1]上不一致收 敛。 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1