《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十七章 多元函数微分学 §2 复合函数微分法

82复合函数微分法复合函数：设函数x=(s,t)与y=(s,t)(l)定义在st平面的区域D上，函数z=f(x,y）（2)定义在xy平面的区域D上，且(x,y)|x=p(s,t), y=y(s,t),(s,t)e D) c D则函数z = F(s,t)= f(p(s,t),(s,t)),(s,t)e D是以(2)为外函数,(1)为内函数的复合函数。其中x,y称为函数F的中间变量，s，t为函数的自变量

§2 复合函数微分法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , 1 , 2 , , , , , , , , , , 2 1 , x s t y s t st D z f x y xy D x y x s t y s t s t D D z F s t f s t s t s t D x y F s t =  =  = =  =    = =    复合函数：设函数 与 定义在 平面的区域 上，函数 定义在 平面的区域 上,且 ， ， 则函数 是以 为外函数， 为内函数的复合函数。 其中 称为函数 的中间变量， ， 为函数的自 变量

一.复合函数的求导法则·定理17.5 若函数x=β(s,t),y=(s,t)在点(s,t)e D可微，z=f(x,y)在点(x,y)=((s,t)(s,t)可微,则复合函数z=f((s,t),(s,t)在点(s,t)可微，且它关于s与的偏导数分别为OzOzOxOzdy×2asoyOxasS I(s,t)I(s,tCex.yS.7X.VOzdzayOzax+Ot l(s,t)Ot (s.t)x(x,) Ot (s,t)oy(4)1rV

一.复合函数的求导法则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , 17.5 , , , , , , , , , , , , . s t x y s t s t x y s t x y s t s t x y x s t y s t s t D z f x y x y s t s t z f s t s t s t s t z z x z y s x s y s z z x z y t x t y t =  =   = =   =        = +           = +      定理 若函数 在点 可微， 在点 ， 可微， 则复合函数 ， 在点 可微，且 它关于 与 的偏导数分别为 (4)

证：由假设x=β(s,t),y=(s,t)在点(s,t)可微，于是axax(5)Ax△t +α,As +β,△tAs+-=asatayoy(6)t + α,As +β,△tVAs+asat其中当△s，△趋于零时，α，β，α2，β,都趋向于零。又由z=f(x,y)在点(x,J)可微，所以OzOz(7)△z = .Ax +-Ay + α△x +βAyaxdy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 , , , , 5 6 , , 7 x s t y s t s t x x x s t s t s t y y y s t s t s t s t z f x y x y z z z x y x y x y  =     =  +  +   +        =  +  +   +           =    =  +  +  +    证：由假设 = 在点 可微，于是 其中当 ， 趋于零时， ， ， ， 都趋向于零。 又由 在点 可微，所以

其中当△x，△y→0时，将（5），（6）代入（7），得(az)( ozax△z=-As+--△t + α,As +β,At+αatdxdsaydy%+β△t + α,As +β,△tAS+asat整理后Oz Ox . Oz OzOz Ox Oz Oz△t + αAs+βAt,(8)△z=As ++.+ax ds dy ds(ax at y at)

1 1 2 2 0 . x y z z x s t s t x s t z y y s t s t y s t   →         +   +  +   +                     + +   +  +   +             其中当 ， 时，将（5），（6）代入（7），得 z= 整理后 ,(8) z x z z z x z z s t s t x s y s x t y t               +   +  +   +  +                  z=

其中OzOzaxayβ+αα +βα2, (9)aX+ayasaxaszaxayOzBB,Gβ +αβ, +β,β2,(10)Xaatatax由于β(s,t),(s,t)在点(s,t)可微,因此它们在点(s,t)都连续,即当△s,△t →0 时,有△x,△y→0。从而也有α→0,β→0,以及α，αz,β，β,→0.于是在(9)(10)式中,当△s,△t→0,有α→0,β→0.故由(8)式推得复合函数(3）可微并求得z关于s和的偏导数(4)这里的公式（4）称为链式法则

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , , , , 0 , 0 0 0 0 , 0 0 0. s t s t s t s t s t x y s t z s t     →   →  →  →     →   →  →  → 由于 在点 可微，因此它们在点 都连续，即当 时，有 。从而也有 ， ，以及 ， ， ， 。于是在（9）、 （10）式中，当 ，有 ， 故由（8）式推得 复合函数（3）可微并求得 关于 和 的偏导数（4）。 这里的公式(4)称为链式法则 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 , 9 , 10 z z x y x y s s z z x y x y t t                    = + + + + +         = + + + + +     其中

+V例1 设z=ln(u2 +v),而u=e*+y+J,v= x? + y,求Oz Ozax'y解：所讨论的复合函数以x,y为自变量，u,v为中间变量。由于1Oz2uz.Ouu* +v ouu+yQuouOvOv2x.-=1KaxdyOxay根据公式(4）得到

2 2 ), , , , . x y z u v u e v x y z z x y + + = = +     例 2 1 设 =ln( 而 求 2 2 2 2 , , 2 1 , , , 2 , 2 , 1, 4 x y x y x y u v z u z u u v u u v u u v v e ye x x y x y + +   = =  +  +     = = = =     解：所讨论的复合函数以 为自变量， 为中间变量。由于 根据公式（ ）得到

OzOz Ou Oz Ov+Ox Ou Oxx Ov Ox22u1++y?2x :+x),+eue222u" +vu" +yu" +vOz Oz OuOz Ovy ou oy ovay112u27x+x+y2 ye4uye +x)+-222u" +yu' +vu'+v

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ), 2 1 1 2 (4 ). x y x y x y x y z z u z v x u x v x u e x ue x u v u v u v z z u z v y u y v y u ye uye x u v u v u v + + + +      = +      = + = + + + +      = +      = + = + + + +

例2设u=u(x,y)可微，在极坐标x=rcos,y=rsinθ下，证明(%)+(%) (%) (%)解u可以看作是r,的复合函数u=u(rsinθ,rcosの),因此OuOu_ Ou Ox Ou Qy_ Qusin,cos e +OrOx OrOy Or Oxdy

( ) 2 2 2 2 2 2 , cos , sin 1 . u u x y x r y r u u u u r r x y    = = =                  + = +              例 设 可微，在极坐标 下，证明 ( ) , sin , cos , cos sin , u r u u r r u u x u y u u r x r y r x y      =        = + = +        解 可以看作是 的复合函数 因此

OuOu OxOu dyOuOu0 =-rcos0sinay aa0ayax a0Ox于是2uou(%) +(%)sin0cosO++1ax2ayouou1rsine+-r·cos0+27ayax(α) (%)

( ) 2 2 2 2 2 2 sin s . 1 cos sin 1 sin s u u x u y u u r r co x y x y u u u u r r x y u u r r co r x y u x                  = + = − +                       + = + +                 + − +          =  于是 2 2 . u y       +       

一例3 设z = uv+sin t,其中u=e',v= cost,求dt解这里把uv,看作中间变量，复合函数仅是自变量的一元函数.于是dzOz duOz dvOz dtdt Ou dt Ov dt t dt= ve' +u(-sint)+cosi= e'(cost - sint)+cost

3 sin , , cos , . t dz z uv t u e v t dt 例 设 = + = = 其中 求 ( ) ( ) sin cos cos sin cos . t t u vt t dz z du z dv z dt dt u dt v dt t dt ve u t t e t t t    = + +    = + − + = − + 解 这里把 ，看作中间变量，复合函数仅是自 变量 的一元函数.于是