《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十七章 多元函数微分学 §4 泰勒公式与极值问题

第十七章量多元函数微分学817.4#泰勒公式与极值问题一、高阶偏导数1、引入（以二元函数为例）例如: 设 z = x y2 - 3xy3 - xy+1e-3y-3y-y.%-2y-9m-max他们仍然是一个二元函数，且两个偏导数都存在，所以有：

第十七章 多元函数微分学 §17.4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 * 1、引入（以二元函数为例） 例如:设 2 2 3 3 2 3 3 , 2 9 ; z z x y y y x y xy x x y   = − − = − −   3 2 3 z x y xy xy = − − + 3 1 他们仍然是一个二元函数，且两个偏导数都存在，所以有：

aaQ中16x2y- 9y2-1,oxCOxOxOy ax它们还是二元函数，还可以对它们求偏导数，于是有0.0..zQz2.0.0()1 = 6)]= 12xy-Ox Ox OxOy Ox Ox把一个函数的一阶偏导数的偏导数称为它的二阶偏导数：把二阶偏导数的偏导数称为它的三阶偏导数等等，依次类推可得函数的四、五、六······各阶偏导数

它们还是二元函数，还可以对它们求偏导数，于是有 [ ( )] z x x x       6 , 2 = y [ ( )] x z y x       =12xy, 把一个函数的一阶偏导数的偏导数称为它的二阶偏导数； 把二阶偏导数的偏导数称为它的三阶偏导数 等等，依次 类推可得函数的四、五、六   各阶偏导数. 2 2 2 ( ) 6 , ( ) 6 9 1, z z xy x y y x x y x     = = − −    

二元函数的各阶偏导数的记号及最多个数为azOz一阶2个axy二阶22个a?z0°za?za?zax?axdyayox三阶23 个///z3zax3axay

二元函数的各阶偏导数的记号及最多个数为： 一阶2个 x z   y z   二阶 个 2 2 2 2 x z   x y z    2 y x z    2 2 2 y z   三阶 3 2 个 3 3 x z   x y z    2 3 

由此可见：二元函数的n阶偏导数最多有 2n个除此之外各阶偏导数还有一些不同的记号（见课本）类似的有三元函数 u= f(x,,x）的各阶偏导数,0如: a?uanaa'uax?axOxax'aya?a'ua'uaaOuan2axdyax?oyayoxozzdzax dy

由此可见： 二元函数的n阶偏导数最多有 n 2 个 除此之外各阶偏导数还有一些不同的记号（见课本）. 类似的有三元函数 u = f (x, y, x) 的各阶偏导数， 如： ( ) 2 2 x u x x u     =   ( ) 2 2 2 3 x u x y y u     =    ( ) 2 2 2 3 y u y x x u     =    [ ( )] 3 y u y x z z x u       =    

2、高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数函数z=f(x,J)的二阶偏导数为a'za(αz)0-1.0)a(αz)frr(x,y),一ax?ax(ax)ay(ay)纯偏导a"za ( oz0(%)a'zr,y)= fx(x,y)y(ax)axdyax(ay)ayax混合偏导

( , ), 2 2 f x y x z x z x = xx    =          ( , ) 2 2 f x y y z y z y = yy    =          ( , ), 2 f x y x y z x z y = xy     =          ( , ) 2 f x y y x z y z x = yx     =          函数z = f (x, y)的二阶偏导数为 纯偏导 混合偏导 定义： 二阶及二阶以上的偏导数统称为高 阶偏导数. 2、高阶偏导数

例 1 设z=xy2-3xy3 -xy+1,a"za"z0"z、0"z、0"z求及arsayax xaydy?ax?Oaz解 zz =3x y2-3y - y,= 2x y-9xy2 - x;axayaza’za'z = 2x-18xy,= 6xy,=6y",-2ar?ar3a’z=6x'y-9y~-1, 0'z= 6x'y-9y2 -1.axdyayax

例 1 设 3 1 3 2 3 z = x y − xy − xy + ， 求 2 2 x z   、 y x z    2 、 x y z    2 、 2 2 y z   及 3 3 x z   . 解 x z   − y, y z   2 9 ; 3 2 = x y − xy − x 2 2 x z   6 , 2 = xy 2 2 y z   −18xy; 3 3 x z   6 , 2 = y y x z    2 6 9 1. 2 2 = x y − y − x y z    2 −1, 3 −3y 2 2 = 3x y 3 = 2x 2 x y − 9y 2 = 6

观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：偏导函数图形原函数图形偏导函数图形导函数图形二阶混合偏

原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形 二 阶 混 合 偏 导 函 数 图 形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：

例2 设u=eaxcosby，求二阶偏导数udu解=eax (-sin by) b= cos by ea adyax= -beax sin by,= aeax cos by,a"ua'u a'ea* cos by,=-b’eax cos by,ay?ax?a'u"u-abeax sin by,: -abeax sin byaxydyax

例 2 设u e by ax = cos ，求二阶偏导数. 解 a be sin by; ax = − cos , 2 a e by ax = cos , 2 b e by ax = − abe sin by, ax = − abe sin by. ax = − =   x u ae cosby, ax = ax cosby e =   y u (−sin by) b ax e 2 2 x u   2 2 y u   y x u    2 x y u    2

问题1所有的混合偏导数都相等吗？x?-y2,x +y?+0xy例3f(x,y) =1+ X[0,x2 + y2 = 0它的一阶偏导数为当x*+y +0 f.(x,y)=J(x*+4x*y2-y)(x? + y2)

例 3      + = +  + − = 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y f x y 它的一阶偏导数为 问题1 所有的混合偏导数都相等吗？ 0 2 2 当 x + y  2 2 2 4 2 2 4 ( ) ( 4 ) ( , ) x y y x x y y f x y x + + − = *

f(△x,0) - f(0,0)当x2 + y2 =0 f,(0,0)= limAxAr→00-0= lim=0△xAr-→0即(x*+4xy-y,x +y*0(x? + y2)?f.(x, y) =[0,x?+y2 =0 *

0 0 0 lim ( ,0 ) ( 0,0 ) ( 0,0 ) lim 0 0= − =   − =  →  → x x f x f f x x x 0 2 2 当 x + y = + = +  + + − = 0, 0 , 0 ( ) ( 4 ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 x y x y x y y x x y y f x y x 即 *