$2正项级数教学目的：让学生掌握判别正项级数敛散性的各种判别法教学重点：比式判别法和根式判别法教学难点：判别法的推导和应用。教学方法：讲授法教学步骤：正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数一一称为正项级数.如果级数的各项都是负数，则它乘以一1后就得到一个正项级数它们具有相同的敛散性
§2 正项级数 教学目的：让学生掌握判别正项级数敛散性的各种判别法． 教学重点：比式判别法和根式判别法． 教学难点：判别法的推导和应用． 教学方法：讲授法． 教学步骤： 正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号 都相同，则称它为同号级数．对于同号级数，只须研究 各项都是由正数组成的级数——称为正项级数．如果级 数的各项都是负数，则它乘以－1后就得到一个正项级数， 它们具有相同的敛散性．
正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它是同号级数一一称为对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数正项级数数u，收敛的充要条件是：部分和数列定理12.5正项级数(Sn})有界，即存在某正数 M，对一切正整数n有 SnO（il,2，)，所以Sn是递增数列而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理）设u，和Zu，是两个正项级数，定理12.6（比较原则）如果存在某正数N，对一切n>N都有Un<Un:(1)
一 正项级数收敛性的一般判别原则 若数项级数各项的符号都相同，则称它是同号级数. 对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为 正项级数. 定理12.5 正项级数 收敛的充要条件是：部分和数列 { }有界，即存在某正数 M ，对一切正整数n 有 un sn s M. n 证 由于 ui 0 （i=1 ,2 , . ), 所以{ } s 是递增数列. n 而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理）. 定理12.6 （比较原则） 设 和 是两个正项级数， 如果存在某正数 N ，对一切 n>N 都有 un n un n . (1)
川收效，则级数Zun也收敛；(i)若级数ZUnZun(ii )若级数Zu.也发散发散，则级数证明因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此不放设不等式（1）对一切正整数都成立Zu,与 Zu,的部分和.由（1)现分别以 Sn 和 Sn 记级数(2)推得，对一切正整数n，都有 Sn≤ Sn若乙U,收敛，即 lim S，存在，则由（2）式对一切有n>aS,≤limSn，即正项级数Zu，的部分和数列（n2)有界,福n→00
则 （i ） 若级数 收敛，则级数 也收敛； （ii ） 若级数 发散，则级数 也发散. n un un n 证明 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此 不放设不等式（１）对一切正整数都成立. 现分别以 和 记级数 与 的部分和.由（１） 推得，对一切正整数n，都有 sn ' sn '' un n sn sn ' '' (2) 若 收敛，即 存在，则由（２）式对一切有 ，即正项级数 的部分和数列｛ ｝有界， n sn n '' lim → s sn n n '' lim ' → un n s
Zun收敛这就证明了）；（ii）为（i)由定理12.5级数的逆否命题，自然成立12例1 考察的收敛性2n -n+1解 由于当 n≥2 时，有1111<22n(n-1)(n-1) -n+1n -nn1N收敛，故由定理12.6和12.3，2 L由于正项级数(n-1)n=21N级数2也收敛n+1n
由定理12.5级数 收敛. 这就证明了（i ）；（ ii ）为（i） 的逆否命题，自然成立. un 例1 考察 − +1 1 2 n n 的收敛性. 解 由于当 n 2 时， 有 ( 1) 2 2 2 1 ( 1) 1 1 1 1 − − = − n − + n n n n n n 由于正项级数 ( 1) 2 2 1 − n= n 收敛，故由定理12.6和12.3 ， 级数 也收敛. − +1 1 2 n n
(3)设Ui+U +...+un+...推论(4)U +U, +... +Un +....lim un =l (5)是两个正项级数，若12.n>o则(i)当0NUn-l<8时，恒有Un
推论 设 . ., 1 2 u + u + + u + n . ., 1 2 + + + + n 是两个正项级数，若 l n n n u = → lim 则 （i ) 当 时，级数（3），（4）同时收敛或同时发散； （ ii ） 当 且（4）收敛时，级数（3）也收敛； （iii ） 当 且级数（4）发散时，级数（3）也发散. 0 l + l = 0 l = + (3) (4) (5) 证 由（5）式，对任意正数 ，存在某正数N ，当 n N 时，恒有 | −l | n un
或(l-8)UnunMUnN,当n>N时，都有Ur于是由比较原则知道，若级数（4）发散，则级数（3）也发散
或 ( ) ( ) . n n n l − u l + （6） 由定理12.6及（6）式推得，当 0 l + （这里设 l ） 时，级数（3）与（4）同时收敛或同时发散. 这就证得（i ）. 对于（ii），当 l = 0 时，由（6）式右半部分及比较原则可得： 若级数（4）收敛，则级数（3）也收敛. 对于（iii ），若 l = +, 即对任给的正数 M ，存在相应的正数 N, 当 n>N时，都有 M n un 或 . un M n 于是由比较原则知道，若级数（4）发散，则级数（3）也发散
1Z例2级数是收敛的，因为Y2-n112"2"-n_ = lim = limlim= 1nA12"-nn>00n-→8n->02n2"11M收敛，所以根据推论，级数以及等比级数nn2"-n2也收敛111Zsin- sin =+... + sin-= sin11+s1-+...例32nn1sin是发散的.因为n根据推论以及调和级数二1不lim1n→81nZnsin也发散发散，所以级数一L-n
例2 级数 − n n 2 1 是收敛的，因为 1 1 1 2 1 1 lim 2 2 lim 2 2 lim = = − = − → → → − n n n n n n n n n n n 以及等比级数 收敛，所以根据推论，级数 2 1 n − n n 2 1 也收敛. 例3 . 1 . sin 2 1 sin 1 sin 1 sin = + + + + n n 是发散的.因为 1. 1 1 sin lim = → n n n 根据推论以及调和级数 n 1 发散，所以级数 n 1 sin 也发散
比式判别法和根式判别法设乙un为正项级数，且存在某正定理12.7（比式判别法）整数 N。及常数 q(0N。，成立不等式UnZun收敛则级数Un+l ≥1.(8)N。，成立不等式(ii)若对一切 n>UnZun发散则级数证（i）不妨设不等式（7）对一切 n≥1成立，于是有Un <q,..Uz ≤q, Ua ≤q..iUn-1U2把前n-1个不等式按项相乘后，得到
二 比式判别法和根式判别法 定理12.7 （比式判别法） 设 为正项级数，且存在某正 整数 及常数 q(0 ，成立不等式 , 1 q u u n n + 则级数 u 收敛. n N0 (ii)若对一切 n> ，成立不等式 1. 1 + u u n n 则级数 u 发散. n N0 （7） （8） 证 （i ）不妨设不等式（7）对一切 n 1 成立，于是有 , ,., ,. 2 1 3 1 2 q q q u u u u u u n n − 把前n-1 个不等式按项相乘后，得到
n-1U3U2.un≤qUrU2Un-1n-1或者n ≤Ui8n-1Zq由于当0°时成立不等式（8），即有I="°于是当n →>0时,Un 的级数不可能为零,由定理12.1推论知级数Zun 是发散的Zu，为正项级数，且若推论1（比式判别法的极限形式）Un+1(9)lim=qUnn-
q u u u u u u n n n 1 2 1 3 1 2 . − − 或者 . 1 u u1 q n n − 由于当0 q 1 时，等比级数 q 收敛，根据比较原则 n n 1 1 − = 及上述不等式可推得级数 un 收敛. （） 由于 时成立不等式（8），即有 于是当 时， 的级数不可能为零.由定理12.1推论知级数 un 是发散的. n N0 n→ un . 0 un 1 un uN + i 推论1（比式判别法的极限形式） 若 un 为正项级数，且 , 1 lim q u u n n n = + → （9）
则当q1 或 q=十oo 时，级数证由（9）式，对任意取定的正数（1，则取使q-ε>1，由上述不等式的左半部分及Zu，是发散的,定理12.7的（ii），推得级数Un+1 > 1 ,若q =＋，则存在N ，当 n>N 时有UnZun是发散的。所以这是级数
则 （i） 当 时，级数 收敛； （ii） 当 或 时，级数 发散. q 1 un q 1 q = + un 证 由（9）式，对任意取定的正数 （ |1− q | ），存在正数 N 时，都有 . 1 − + + q q u u n n 当 时，取 使 ，由上述不等式的右半部分及定 理12.7的（i），推得级数 是收敛的. 若 ，则取 使 ，由上述不等式的左半部分及 定理12.7的（ii），推得级数 是发散的. 若 ，则存在 N ，当 时有 所以这是级数 是发散的。 q 1 q + 1 un q 1 q − 1 un q = + n N un 1 +1 u u n n