幂级数第十四章
第十四章 幂级数
S1幂级数厂教学目的：让学生掌握掌握幂级数的概念、运算和性质。厂教学重点：求幂级数的收敛半径，应用逐项积分、逐项微分定理求其和函数厂教学难点：应用逐项积分、逐项微分定理求其和函数教学方法：讲授法
教学目的：让学生掌握掌握幂级数的概 念、运算和性质 ． 教学重点：求幂级数的收敛半径，应用 逐项积分、逐项微分定理求其和函数． 教学难点：应用逐项积分、逐项微分定 理求其和函数． 教学方法：讲授法． §1 幂级数
一、幂级数的收敛区间8Za,(x-x)"的级数称为幂级数1. 定义：形如n=0Ea,x"，其中a,为幂级数系数.当x,= 0时,n=02. 收敛性：8Z.例如级数x" =1+x+x2+...n=0当x<1时,收敛;当x≥1时,发散收敛域(-1,1); 发散域(-80,-1]U[1,+8);
一、幂级数的收敛区间 1.定义: 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n x an x = 当 = 时 其中an为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+);
定理 1 (Abel 定理)8Za,x"在x=x,(x, * 0)处收敛,则如果级数n=0它在满足不等式xx的一切 处发散证明(1)·Za,x收敛,, .. limanx"= 0,n→n=0
定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛; 如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 证明 lim 0, 0 = → n n n (1) , a x 0 0 收敛 n= n an x
日M,使得a,x"≤M(n = 0,1,2,...)2ntxx≤Ma1xsxoxo8·当Xx<1时，等比级数T收敛,Mx[xon=080o数a,x"收敛;:Eanx"收敛，即级数福n=0n=0
( 0,1,2, ) a x0 M n = n 使得 n M, n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M = , 0 收敛 = n n an x ; 0 即级数 收敛 n= n an x
(2) 假设当x = x,时发散而有一点x,适合xi>x使级数收敛由(1)结论则级数当x =x,时应收敛这与所设矛盾几何说明收敛区域XR-R发散区域发散区域0
(2) , 假设当x = x0时发散 而有一点x1适合 x1 x0 使级数收敛, 则级数当x = x0时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o • • • • • • • • • • • − R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域
推论80如果幂级数a,x"不是仅在x=0一点收敛, 也n=0不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：当xR时,幂级数发散;当x =R与x =-R时,幂级数可能收敛也可能发散
如果幂级数 n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论
定义：正数R称为幂级数的收敛半径幕级数的收敛域称为幂级数的收敛区间(-R,R),[-R,R),(-R,R],[-R,R]规定(1）幂级数只在x=0处收敛R=0,收敛区间x =0;(2)幂级数对一切 都收敛R = +o0, 收敛区间(-80,+0)问题如何求幕级数的收敛半径？
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. R = 0, [−R,R), (−R,R], [−R,R]. 规定 R = +, 收敛区间x = 0; 收敛区间(−,+). 问题 如何求幂级数的收敛半径? (−R,R), (1) 幂级数只在x = 0处收敛, (2) 幂级数对一切x 都收敛
80定理2对于幂级数anx",若n=0dn+1设 lim/an =p (或 lim=p)n-→oan-00n1则当p≠0时,R==; (2)当p = 0时,R=+8;(1) 贝p(3) 当p= +oo时,R= 0.8证明对级数a,x"应用达朗贝尔判别法n=0.n+1an+1xan+1limpx= lim=-anr"n-→>n-→o0a
定 理 2 对于幂级数 n=0 n n a x ， 若 设 = → n n n lim a (或 = + → n n n a a 1 lim ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ; 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法 n=0 n an x n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = = x
an+1如果lim=p(p≠0)存在,(1) n->00由比值审敛法，当|x-时,级数la,x"I收敛,pn=08从而级数亡a,x"绝对收敛.n=0当[x>=时，级数la,x"I发散,pn=0并且从某个 n开始 lan+1x"+ >a,x"|,la,x"→>081从而级数a,x"发散．收敛半径R=pn=0
(1) lim ( 0) , 如果 +1 = 存在 → n n n a a 由比值审敛法, , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 收敛 n= n an x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n an x , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 发散 n= n an x 并且从某个 n开始 | | | |, 1 1 n n n an x a x + + | |→ 0 n an x . 0 n= n 从而级数 an x 发散 ; 1 收敛半径 R =