3初等函数的连续性一指数函数的连续性设α>0,α,β为任意实数，则有定理4.10a°.aβ =aα+β,(α)β =ααβ证不妨设α>1,则α"由第一章3(6）式所定义，即α= sup(a"|r为有理数}.任给>0,设r,s为两个r<x有理数,且r<α,<β,使得αα-<α,αβ-<α由α"的严格增性得ar+s<αα+β.又有α"α"=α"+s,故得(α~-)(αβ-)<αα+β,由ε的任意性推出a°·aβ≤αα+β
3 初等函数的连续性 一 指数函数的连续性 定理 4.10 0, , , ( ) . 1, 3 sup{ | }. 0, , , , , . . , ( )( ) . . x x r r x s x r s r s r s a a a a a a a a a a r r s r s a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + + = = = − − = − − 设 为任意实数，则有 证 不妨设 则 由第一章（6）式所定义， 即 为有理数 任给 设 为两个 有理数，且 使得 由 的严格增性得 又有 故得 由 的任意性推出
为证相反的不等式，设p为有理数，且p0)在R上是连续的证 先设aα>1.由第三章2节例4知limα*=1=αx→0这表明α^在x =0连续.现任取x。ER由定理4.10得α* = α0+(x-0) = α*0 .a*-xo 令t=x-Xo,则当x→x,时有t→0,从而有lim a" = lim a"°a*-xo = a lima' = a°t→0x→xox→>xo
, . a a a + + + + + = p p r+s r s 为证相反的不等式，设p为有理数，且p< 使得a - <a .再取有理数r,s使r< ,s< 以及 p<r+s,则有a <a =a a <a a ,故得到 a - . 由 的任意性推出a a a .所以有a a 定理 4.11 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( 0) 1. lim 1 , 0 . . 4.10 . x x x x x x x x x x x a a R a a a a x x R a a a a → + − − = = = = = 指数函数 在 上是连续的。 证 先设 由第三章2节例4知 这表明 在 连续现任取 由定理 得 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim . x t x x x x x x x x x t a a a a a a − → → → → → = = = 令 0 0 t=x-x ,则当x x 时有t 0,从而有
这就证明了α在任一点x.连续当01,而a'=(=han可看作函数b"与u=x的复合，所以此时α"亦在R上连续例1 设 lim u(x)= α > 0, lim v(x) = b.证明x→xoX→Xlim u(x) (x) = ab.X→Xo证 补充定义u(x)=a,v(x)=b,则u(x),v(x)在点x连续。从而v(x) ln u(x)在x,连续,所以u(x)(x) =e'(x)Inu(x)在x,连续由此得lim u(x)(x) = lim e(x)nu(x) = ebina = abX-→XoX→Xo
0 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 . 1 1 0 1 , , 1, ( ) . 1 lim ( ) 0, lim ( ) . lim ( ) . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( )ln ( ) , ( ) x x x x u x x x x x v x b x x v x a x a b b a b a b b u x a R u x a v x b u x a u x a v x b u x v x x v x u x x u x e − → → → = = = = − = = = = = = 这就证明了 在任一点 连续 当 时 令 则有 而 可看作函数 与 的复合，所以此时 亦在 上连续 例 设 证明 证 补充定义 则 在点 连续。从而 在 连续 所以 0 0 ( )ln ( ) 0 ( ) ( )ln ( ) ln . lim ( ) lim . v x u x v x v x u x b a b x x x x x u x e e a → → = = = 在 连续由此得
1初等函数的连续性定理4.12一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到，所以有定理4.13任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。In(1 + x)求lim例 2x-→0x解?由对数函数的连续性有1原式 = lim ln(1+ x)* = ln[lim(1 + x)*]x-0x-0= lne = 1
二 初等函数的连续性 定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上 的连续函数。 由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限 次四则运算与复合运算所得到，所以有 定理 4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连 续函数。 例 2 0 1 1 0 0 ln(1 ) lim . limln(1 ) ln[lim(1 ) ] ln 1. x x x x x x x x x e → → → + = + = + = = 求 解 由对数函数的连续性有 原式
In(1 + x2例3求limx→0cos xIn(1 + x解 由于x=0属于初等函数f(x)-cos x的定义域之内，故由f的连续性得In(1 + x2)lim= f(0) = 0x-→0cosx
例 3 2 0 2 2 0 ln(1 ) lim . cos ln(1 ) 0 ( ) cos ln(1 ) lim (0) 0. cos x x x x x x f x x f x f x → → + + = = + = = 求 解 由于 属于初等函数 的定义域之内，故由 的连续性得