2连续函数的性质
2 连续函数的性质
一连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）若函数f在点x,连续，则在f某U(x)内有界定理4.3（局部保号性）若函数f在点x,连续且f(x)>0(或r(或f(x)<-r)。若函数f和g在点X.连续定理4.4（四则运算）则f±g,f.g,f/g(这里g(x)+O)也都在点x,连续
一 连续函数的局部性质 0 0 ( ) f x U x 若函数 在点 连续， 则在f某 内有界。 定理 4.2 （局部有界性） 定理 4.3 （局部保号性） 0 0 0 0 0 0 ( ) 0( 0) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) f x f x r f x r f x U x x U x f x r f x r − − 若函数 在点 连续， 且 或 ，则对任何正数 或 ，存在某 ，使得对 一切 有 或 。 定理 4.4 （四则运算） 0 0 0 若函数f和g在点x 连续， 则f g,f g,f/g(这里g(x ) 0)也都在点x 连续
以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得定理4.5若函数f在点x,连续，g在点u.连续，uo气f(x),?无法显示该图片则复合函数g°f在点x.连续。证由于g在u连续，对任给的ε>0，存在§,>0,使得当u-uolb，存在S>0，使得当x-x|9,存在S>0,当x-x<时有g(f(x))-g(f(xo)<s这就证明了g°f在点x.连续
以上三个定理的证明，都可从函数极限的 有关定理直接推得。 定理 4.5 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1. 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0, 0, f x g u u f x g f x g u u u g u g u u f x u f x x x x u u f x f x x x g = − − = = − − = − − 若函数 在点 连续， 在点 连续， ， 则复合函数 在点 连续。 由于 在 连续，对任给的 ，存在 ， 使得当 时有 又由 及 在点 连续，故对上述 ，存在 ，使得当 时有 联系（1）得：对任给的 存在 当 时有 0 ( ( )) ( ( )) . f x g f x − 证 0 这就证明了g f x 在点 连续
求 lim sin(1-x),例1x→解 sin(1-x2)可看作函数g(u)=sinu与f(x)=1-x2的复合。由（2）式得lim sin(1 -x°) = sin(lim(1 - x) = sin 0 = 0x-→>1例2求极限：sin xsin x(1) lim /2 1im→0xxsinxsin x解 2-1 =1;() lim2 -lim一x-0x→0xxsin xsin xV2-0 = /2(2) lim2-limx->00?00xx
例1 求 2 1 2 2 2 2 1 1 lim sin(1 ). sin(1 ) ( ) sin ( ) 1 lim sin(1 ) sin(lim(1 )) sin 0 0. x x x x x g u u f x x x x → → → − − = = − − = − = = 可看作函数 与 的复合。由（2）式得 解 例2 求极限： 0 0 0 sin sin (1)lim 2 ; (2)lim 2 . sin sin (1)lim 2 2 lim 2 1 1; sin sin (2)lim 2 2 lim 2 0 2. x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → − − − = − = − = − = − = − = 解
闭区间上连续函数的基本性质设f为闭区间[a,bl上的连续函数，本段中我们讨论fab上的整体性质定义1设伪为定义在数集D上的函数，若存在xED，使得对一切x ED有f(xo)≥ f(x)(f(xo)≤ f(x)则称f在D上有最大（最小）值，并称f(x)为f在D上的最大（最小）值。定理4.6（最大、最小值定理）若函数在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值
二 闭区间上连续函数的基本性质 设f为闭区间[a,b]上的连续函数，本段中我们讨论 f在[a,b]上的整体性质. 定义 1 并称 为 在 上的最大（最小）值。 则称 在 上有最大（最小）值， 若存在 ，使得对一切 有 设 为定义在数集 上的函数， f x f D f D f x f x f x f x x D x D f D ( ) ( ) ( )( ( ) ( )), 0 0 0 0 定理 4.6 （最大、最小值定理） 若函数f在闭区 间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值
例3 证明：若r>0,n为正整数，则存在唯一正数xo使得x=r(x,称为r的n次正根（即算术根），记作x。=r/r)证 先证存在性 由于当x →+oo时有x"→+80，故必存在正数a，使得a" >r因f(x)=x"在[0,a]上连续，并有f(O)<r<f(a),故由介值性定理,至少存在一点x E(O,a),使得f(x)=x”=r.再证唯一性设正数x,使得x"=r，则有Xo" -x" =(xo - x)(xo"- +x"-?x+ +.+ x-l)= 0,由于第二个括号内的数为正，所以只能x。－x, =0即x, = xo
例3 ). ( 0, 00 0 0 n n x r x r x r n r n x == 记作 使得 称为 的 次正根（即算术根）， 证明： 若 为正整数，则存在唯一正数 ， 证 (0, ), ( ) . [0, ] (0) ( ), . ( ) 0 0 0 x a f x x r a f r f a a a r f x x x x n n nn = = = → + → + 至少存在一点 使得 上连续，并有 故由介值性定理， 必存在正数 ，使得 因 在 先证存在性 由于当 时有 ，故 . 0, ( )( ) 0, 1 0 0 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 1 x x x x x x x x x x x x x x r n n n n n n = − = − = − + + + = = − − − 即 由于第二个括号内的数为正，所以只能 再证唯一性 设正数 使得 ，则有
推论（有界性定理）若函数f在闭区间a.bl上连续则在[a,b]上有界定理4.7（介值性定理）设函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠ f(b).若μu为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)μ> f(b),则至少存在一点X E(a,b),使得f(x)= μ推论（根的存在定理）若函数f在闭区间[α,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0),则至少存在一点xo E(a,b), 使得f(xo)=0,即方程f(x)=0在(α,b)内至少有一个根
推论（有界性定理） 若函数f在闭区间[a,b]上连续， 则f在[a,b]上有界. 定理 4.7（介值性定理） ( , ), ( ) . ( ( ) ( ) ( ) ( )), ( ) ( ). ( ) ( ) [ , ] 0 0 = x a b f x f a f b f a f b f a f b f a f b f a b 使得 或 则至少存在一点 且 若 为介于 与 之间的任何实数 设函数 在闭区间 上连续， 推论（根的存在定理） 即方程 在 内至少有一个根。 ，使得 且 与 异号 即 则至少存在一点 若函数 在闭区间 上连续， ( ) 0 ( , ) ( , ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ( ) ( ) 0), [ , ] 0 0 f x a b x a b f x f a f b f a f b f a b = =
例 4 设f在[a,b]上连续，满足f([a,b]) c[a,b]证明：存在xE[a,b],使得f(x)= xo证条件(5）意味着：对任何xE[a,b]有a≤f(x)≤b特别有a≤f(a)以及f(b)≤b若a= f(a)或f(b)=b,则取x。=a或b,从而 (6) 式成立。现设a0,F(b)= f(b)-b<0故由根的存在性定理，存在xE(a,b),使得F(x)=0,即f(xo)= xo
例 4 ( ) 0, ( ) . ( , ), ( ) ( ) , ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0. ( ) ( ) . ( ) ( ) , , 6 ( ) ( ) . 5 [ , ] ( ) , [ , ], ( ) . [ , ] ([ , ]) [ , ]. 0 0 0 0 0 0 0 0 F x f x x x a b F x f x x F a f a a F b f b b a f a f b b a f a f b b x a b a f a f b b x a b a f x b x a b f x x f a b f a b a b = = = − = − = − = = = = 使得 即 故由根的存在性定理，存在 则 成立。现设 与 令 若 或 则取 或 从而（ ）式 特别有 以及 条件（ ）意味着：对任何 有 证明：存在 使得 设 在 上连续，满足 证
三反函数的连续性定理 4.8若函数f在[a,b]上严格单调并连续,则反函数f-I在其定义域[f(a),f(b))或[f(b),f(a)]上连续。证不妨设f在[αa,b]上严格增。此时f的值域即反函数f-的定义域为[f(a),f(b)]任取yo E(f(a), f(b), 设xo = f-(yo),则xo E(a,b)于是对任给的c>0,可在(a,b)内x,的两侧各取异于x的点xi,x2(x <X<x2),使它们与x的距离小于?设与x，x,对应的函数值分别为y，2，由f的严格增性知y<。<.令S = min( y2 - yo, yo - yi)
三 反函数的连续性 min( , ), . , ( ), 0, ( , ) ( ( ), ( )) ( ), ( , ). [ ( ), ( )]. [ , ] [ ( ), ( )] [ ( ), ( )] [ , ] 2 0 0 1 1 0 2 1 2 1 2 0 1 2 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 y y y y y y y x x y y f x x x x x x x a b x y f a f b x f y x a b f f a f b f a b f f b f a f f a f b f a b = − − = − − − 的严格增性知 令 设与 ， 对应的函数值分别为 ， ，由 小于 异于 的点 使它们与 的距离 于是对任给的 可在 内 的两侧各取 ，设 则 即反函数 的定义域为 任取 不妨设 在 上严格增。此时 的值域 上连续。 则反函数 在其定义域 或 定理 4.8 若函数 在 上严格单调并连续， 证
则当yeU(yo;S)时，对应的x=f-l()的值都落在x,与x,之间，故有f-(y)-f-(yo) =x-xo|<8,这就证明了f-在点y.连续，从而f-在(f(a),f(b)内连续。类似地可证f-在其定义区间的端点f(α)与f(b)分别为右连续与左连续。所以f-在[f(a),f(b)]上连续。元元一1上严格单调且连续，由于y= sin x在区间[--例5日2°2故其反函数y = arcsin x在区间[-1,1]上连续,司理可得其它反三角函数也在相应的定义区间上连续
连续。 同理可得其它反三角函数也在相应的定义区间上 故其反函数 在区间 上连续。 由于 在区间 上严格单调且连续， 别为右连续与左连续。所以 在 上连续。 类似地可证 在其定义区间的端点 与 分 内连续。 这就证明了 在点 连续，从而 在 落在 与 之间，故有 则当 时，对应的 的值都 arcsin [ 1,1] ] 2 , 2 sin [ [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) , ( ; ) ( ) 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 2 1 0 = − = − − = − = − − − − − − − y x y x f f a f b f f a f b f y f f a f b f y f y x x x x y U y x f y 例 5