S3函数概念函数的概念，在中学数学中我们已有了初步的了解.本节将作进一步的讨论一、函数的定义二、函数的四则运算三、复合函数四、反函数五、初等函数前页返回后页
前页 后页 返回 §3 函 数 概 念 一、函数的定义 二、函数的四则运算 三、复合函数 四、反函数 五、初等函数 函数的概念, 在中学数学中我们已有 了初步的了解. 本节将作进一步的讨论. 返回
一、函数的定义定义1D与M是R中非空数集,若有对应法则f，使D内每一个数x，都有惟一的一个数vEM与它相对应，则称f是定义在D上的函数，记作f :D→M,xHy.D称为f的定义域；f(D)=(y y=f(x),xeD) 称为f 的值域;后页返回前页
前页 后页 返回 一、函数的定义 f D M : , → x y. f (D)={ y y = f (x), x D} 称为 f 的值域; D 称为 f 的定义域; 定义1 D与M是R中非空数集,若有对应法则 f , 使 D内每一个数 x , 都有惟一的一个数 yM 与它相 对应,则称 f 是定义在 D上的函数,记作
G=[(x,y) y=f(x),xeD) 称为f 的图象注1函数由定义域D和对应法则f 二要素完全决定，因此若给出函数的定义域和对应法则，也就确定了函数.它与自变量与应变量的符号无关注2表示函数有多种方法，常见的有解析法、列表法和图象法.解析法表示函数时，若没有特别指明其定义域，则一般约定其定义域为使该解析式有意义的自变量的全体（即存在域）返回前页后页
前页 后页 返回 G = {(x, y) y = f (x) , x D} 称为 f 的图象. 注1 函数由定义域 D 和对应法则 f 二要素完全 决定，因此若给出函数的定义域和对应法则, 也 就确定了函数. 它与自变量与应变量的符号无关. 注2 表示函数有多种方法，常见的有解析法、列 表法和图象法.解析法表示函数时,若没有特别指 明其定义域,则一般约定其定义域为使该解析式 有意义的自变量的全体(即存在域)
例1符号函数V1,x>00,x=0sgnx =3七0-1,x<0例2狄利克雷函数y1[1,xeQ0D(x) =x0,x史Q返回前页后页
前页 后页 返回 = x Q x Q D x 0 , 1 , ( ) 例2 狄利克雷函数 = − = 0 0 0 1 , 0 , 1 , sgn x x x x 例1 符号函数 O 1 − 1 x y 1 y O x
狄利克雷（Dirichlet,P.G.L1805一1859.德国）黎曼（Riemann,B.1826一1866.德国）返回前页后页
前页 后页 返回 狄利克雷( Dirichlet,P.G.L. 1805－1859, 德国) 黎曼( Riemann,B. 1826－1866,德国 )
例3黎曼函数P，当x=号(P,JeN,既约真分数);1福qR(x) = 30x=0,1或xE(0,1)IQy0.60.40.2Ccm0.200.40.60.81x返回前页后页
前页 后页 返回 + 1 , ( , N , ); ( ) 0 , 0, 1 (0, 1) \ . p p x p q q q q R x x x Q 当 既约真分数 或 = = = 例3 黎曼函数 O 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 x y
二、函数的四则运算设函数f的定义域为D,,函数g的定义域为D1.f ±g的定义域为Dft=D,nD，且 Vxe D,nD,, (f ±g)(x)=f(x)±g(x).2.f·g的定义域为 Df.=D,nD且 V xe D, nD,,(f : g)(x)= f(x)·g(x).-o3.的定义域为D,=D,nD,其中D"=(xxeDg(oe0-e且g(x)+0), Vxe D,g(x)前页后页返回
前页 后页 返回 二、函数的四则运算 , . Df g Dg 设函数 f 的定义域为 函数 的定义域为 1. , f g f g f g D D D = 的定义域为 , ( )( ) ( ) ( ). f g 且 = x D D f g x f x g x 2. , f g f g f g D D D = 的定义域为 ,( )( ) ( ) ( ). f g 且 = x D D f g x f x g x * 3. , f g f f g 的定义域为 D D D = * { , 其中D x x D = g 且g x( ) 0}, . ( ) ( ) , ( ) g x f x x D x g f g f =
三、复合函数设函数f的定义域为D,,函数g的定义域为D，复合函数f。g的定义域为Dfog =(xxe Dg,且g(x)e D,小, 则Vxe Dfog, f og(x)= f(g(x).例4 函数 f(u)= Vu,ue[0,+o0) 与函数 g(x)=1-x2,xeR的复合函数为y=f(g(x)=V1-x2其中D fog =[-1, 1].后页返回前页
前页 后页 返回 三、复合函数 , , f g 设函数 f D g D 的定义域为 函数 的定义域为 复合函数 f g的定义域为 { , ( ) }, D x x D g x D f g g f = 且 则 , ( ) ( ( )). f g = x D f g x f g x 2 = − 1 , R x x 的复合函数为 ( ( )) 1 , 2 y = f g x = − x 例4 函数 f u u u g x ( ) , 0, ( ) = + ) 与函数 = [−1, 1]. 其中Df g
例5 设 f(x) = x’;g(x)= arcsin x;h(x) = Inx. 则(f g h)(x) = arcsin'(lnx), D, =[e-l,el(f o ho g)(x) = In(arcsinx), D, =(0,1);(g f h)(x)= arcsin(ln x),D, =[e-l,el;(g o h。 f)(x) = arcsin(lnx°), D, =[e-1/2, el/2];(ho f g)(x)= In(arcsin’ x),D, =[-1, 0) U(0, 1];(hg f)(x) = In(arcsin(x-), D, =[-1, 0) U(0, 1)其中D,k=1,…,6是相应复合函数的定义域前页后页返回
前页 后页 返回 2 1 1 ( )( ) arcsin (ln ), [e , e]; f g h x x D − = = 2 2 ( )( ) ln (arcsin ), (0,1]; f h g x x D = = 2 1/ 2 1/ 2 4 ( )( ) arcsin(ln ), [e , e ]; g h f x x D − = = 2 6 ( )( ) ln(arcsin( )), [ 1, 0) (0, 1]. h g f x x D = = − 2 1 3 ( )( ) arcsin(ln ), [e , e]; g f h x x D − = = 2 5 ( )( ) ln(arcsin ), [ 1, 0) (0, 1]; h f g x x D = = − , 1, ,6 . 其中 D k k = 是相应复合函数的定义域 2 例5 设 f x x g x x h x x ( ) ; ( ) arcsin ; ( ) ln . = = = 则
四、反函数若函数f的定义域为D满足：VyE f(D),3惟一xe D, 使f(x)= y,则存在函数f-l,D,_-I=f(D) 且 Vyef(D),f-(y)=x,其中x是使f(x)=y的惟一的xD.注反函数表示式f-(y)=x中,y是自变量,x是因变量．由于函数与自变量、因变量记号无关因此一般反函数f-l记为y=f-(x)后页返回前页
前页 后页 返回 四、反函数 y f D x D ( ), , 惟一 使 f (x) = y, 1 1 f y f x( ). − − 因此一般反函数 记为 = , : f 若函数 的定义域为 满足 f D , 且 y f D( ), −1 则存在函数 f D 1 f (D) f − = 1 注 反函数表示式 f y x y x − ( ) , , = 中 是自变量 是 因变量. 由于函数与自变量、因变量记号无关， ( ) ,其中 是使 的惟一的 x f x y x D ( ) . = 1 f y = x −