（1）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（2）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。前页后页返回
前页 后页 返回 （１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反 函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示 方法； （２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图 象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数 的复合关系
例1符号函数V1,x>00,x=0sgnx =3七0-1,x<0例2狄利克雷函数y1[1,xeQ0D(x) =x0,x史Q返回前页后页
前页 后页 返回 = x Q x Q D x 0 , 1 , ( ) 例2 狄利克雷函数 = − = 0 0 0 1 , 0 , 1 , sgn x x x x 例1 符号函数 O 1 − 1 x y 1 y O x
狄利克雷（Dirichlet,P.G.L1805一1859.德国）黎曼（Riemann,B.1826一1866.德国）返回前页后页
前页 后页 返回 狄利克雷( Dirichlet,P.G.L. 1805－1859, 德国) 黎曼( Riemann,B. 1826－1866,德国 )
例3黎曼函数P，当x=号(P,JeN,既约真分数);1福qR(x) = 30x=0,1或xE(0,1)IQy0.60.40.2Ccm0.200.40.60.81x返回前页后页
前页 后页 返回 + 1 , ( , N , ); ( ) 0 , 0, 1 (0, 1) \ . p p x p q q q q R x x x Q 当 既约真分数 或 = = = 例3 黎曼函数 O 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 x y
五、初等函数定义1以下六类函数称为基本初等函数(1)常量函数 y=c(c为常数);(2)幂函数=xα(α为实数);(3)指数函数 y=a (a>0,a1);(4) 对数函数 y=log.x (a>0,a±1);(5)三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx, y=cotx;后页返回前页
前页 后页 返回 定义1 以下六类函数称为基本初等函数 (1) 常量函数 y = c (c为常数); (2) ( ); y x 幂函数 为实数 = (3) y = a (a 0,a 1); 指数函数 x (4) log ( 0, 1); a 对数函数 y x a a = (5) sin , cos , 三角函数 y x y x = = y = tan x, y = cot x; 五、初等函数
(6)反三角函数 y=arcsinx，y=arccosx,y = arctanx, y = arccot x.定义2 Va>0,a±1,定义supa'|reQ,r1,atinf(a|reQ,r<x), 0<a<1.定义3由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数，称为初等函数狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数后页返回前页
前页 后页 返回 = sup , , 1, inf , , 0 1. r x r a r Q r x a a a r Q r x a 定义2 a 0, a 1, 定义 (6) 反三角函数 y = arcsin x, y = arccos x, y x y x = = arctan , arccot . 定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算和复 合运算所得到的函数, 称为初等函数. 狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数
S4具有某些特性的函数本节将着重讨论函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性。一、有界函数二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数前页返回后页
前页 后页 返回 §4 具有某些特性的函数 一、有界函数 本节将着重讨论函数的有界性、单 调性、奇偶性与周期性. 四、周期函数 三、奇函数与偶函数 二、单调函数 返回
一、有界函数定义1设f定义在D上若MeR,VxeD,f(x)≤M,则称f在D上有上界，若LeR,VxED,f(x)≥L,则称f在D上有下界；若MER,VxED,f(x)≤M,则称f在D上有界易证f在D上有界一f在D上既有上界又有下界若VMeR,日x,eD,f(x)>M,则称f在D上无上界;后页返回前页
前页 后页 返回 一、有界函数 定义1 设 f 定义在D上. 若 则称 在 上有上界； M x D f x M f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有下界； L x D f x L f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有界 M x D f x M f D R, , ( ) , . 易证 f 在D上有界 f 在D上既有上界又有下界. 若 则称 在 上无上 M x D f x M f D R, , ( ) , 0 0 界；
若VMeR,x,D,f(x)>M,则称f在D上无上界;若VLeR,x,ED,f(x)M,则称f在D上无界例1 证明: f(x)=-为(0, 1)上的无界函数返回前页后页
前页 后页 返回 若 则称 在 上无上 M x D f x M f D R, , ( ) , 0 0 界；若 则称 在 上无界 M x D f x M f D R, , ( ) , . 0 0 1 : ( ) (0, 1] . f x x 例1 证明 = 为 上的无界函数 若 L x D f x L f D R, , ( ) , 0 0 则称 在 上无下界；
例2 设 f(x), g(x)在 D 上有界,证明:infuf(x)+ g(x) ≤ inf(f(x)) + supig(x)xEDXEDxED证 V>0,日x, ED,f(x,)<inf(f(x)+.XED又 g(x,)≤ supig(x)), 故XEDf(x,)+ g(x,)<inf(f(x)) + supig(x)) + 8.xEDXED因此inf(f(x)+ g(x))≤ f(x,)+ g(x)xED≤inf(f (x)) + supig(x))XEDXED前页后页返回
前页 后页 返回 例2 设 f x g x D ( ), ( ) 在 上有界,证明: inf{ ( ) ( )} inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D x D f x g x f x g x + + 证 0 0 0, , ( ) inf{ ( )} . x D x D f x f x + 0 ( ) sup{ ( )}, x D g x g x 又 故 0 0 ( ) ( ) inf{ ( )} sup{ ( )} . x D x D f x g x f x g x + + + 因此 0 0 inf{ ( ) ( )} ( ) ( ) x D f x g x f x g x + + inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D f x g x +