第四章函数的连续性81连续性的概念内容：1函数在点x的连续性2间断点及其的分类3区间上的连续函数的性质重点：函数在点x。的连续性难点：连续、一致连续的证明要求：理解连续的定义，间断点的分类会用定义证明函数的连续性
第四章 函数的连续性 §1 连续性的概念 内容： 1 函数在点 的连续性 2 间断点及其的分类 3 区间上的连续函数的性质 重点：函数在点 的连续性 难点：连续、一致连续的证明 要求：理解连续的定义，间断点的分类， 会用定义证明函数的连续性。 0 x 0 x
81连续性概念问题的提出：【（1）自然界中有许多现象，如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续地变化着的这种现象在函数关系上的反应，就是函数的连续性【（2）直观上来说，连续函数的图象是一条连绵不断的曲线。（如图1）
§ 1 连续性概念 问题的提出： （1）自然界中有许多现象,如气温的变 化，河水的流动，植物的生长等等，都 是连续地变化着的.这种现象在函数关系 上的反应,就是函数的连续性. （2）直观上来说，连续函数的图象是一 条连绵不断的曲线。（如图1）
yy=f(g)fXAxo0X图1一。函数在一点的连续性1.定义的引入先回顾一下函数在 xo点的极限 lim f(x)= A,定义中要求 f(x)在x。的某个空心邻域内有定义，即f(x)在x有没有定义、定义为多少均与极限有没有、极限为多少无关。这里f（x。）可以有三种情况：
O x y y f(x) 0 x 图1 一. 函数在一点的连续性 1．定义的引入 先回顾一下函数在 0 x 点的极限 f x A， x x lim ( ) 0 定义中要求 f ( x ) 在 0 x 的某个空心邻域内有定义，即 f (x) 在 0 x 有没有定义、定义为多少 均与极限有没有、极限为多少无关。这里 ( ) 0 f x 可以有三种情况： A ( ) 0 f x
sin(x -x)1（图2）(1)(x）无定义，比如上章讲过的特殊极限一limX-→>Xox - Xoxx + Xo(2) f(x。) ± A， 比如 f(x)=, lim f(x)= xo ± f(x) (图3)x+1=XoX-→X(3) f(x。)= A,(图1)f(x)yyty=f(x)y=f(x)A0OXXxox o图3图2第3种情况与前两种情况不同，要求f(x)在x。有定义且极限等于f(x），我们称这种情况为f（x）在x。处连续
(1) ( ) 0 f x 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1 sin( ) lim 0 0 0 x x x x x x （图2） (2) f (x0 ) A， 比如 ， 0 0 1 ( ) x x x x x x f x lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x x （图3） (3) f (x0 ) A， (图1） 0 x y f(x) O x y 图2 O x y 0 x ( ) 0 f x y f(x) 图3 A 第3种情况与前两种情况不同，要求 f ( x ) 在 0 x 有定义且极限等于f (x0 )， 我们称这种情况为 f ( x )在 0 x 处连续
2.f(x）在x。处连续的定义定义1：设函数f(x)在x。的某邻域 U(x。)内有定义，若(1)lim f(x)= f(x)X-→xe则称函数f（x）在x。点连续例如函数 f(x)= 2x +1在点 x = 2连续，因为lim f(x) = lim(2x + 1) = 5 = f(2)x→21x+0xsin.在x = 0处连续。因为又如函数f(x)=x10x=0lim f(x)=limx·sin==0=f(O）（无穷小乘以有界量仍为无穷小）x0x-→0x3.等价定义先引入增量的定义：记 △x= x-xo,称为自变量 x（在点x）的增量
2. f ( x ) 在 0 x 处连续的定义 定义1：设函数 f ( x ) 在 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内有定义，若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x （1） 则称函数 f ( x ) 在 0 x 点连续。 lim ( ) lim (2 1) 5 (2) ( ) 2 1 2 2 2 f x x f f x x x x x 例如函数 在点 连续，因为 无穷小乘以有界量仍为无穷小） 又如函数 在 处连续。因为 0 (0) ( 1 lim ( ) lim sin 0 0 0 0 1 sin ( ) 0 0 f x f x x x x x x x f x x x 3．等价定义 先引入增量的定义：记 x x x0 ,称为自变量 x ( ) 0 在点x 的增量
或改变量; Ay= f(x)-f(xo)=f(x+△x)-f(xo)=y-yo称为函数y（在点x）的增量或改变量。要说明的是增量 △x、△y可以是正的，也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示yt)y=f(x)f(xo + Ax)AyAxf(xo)0Xxoxo +Ax图4利用增量定义得设函数f(x)在x,的某邻域内有定义,若 lim Ay=0，则称等价定义1：x>函数f（x）在x。点连续
或改变量； 0 0 0 0 y f (x) f (x ) f (x x) f (x ) y y 称为函数 ) 0 y（在点x 的增量或改变量。要说明的是增量 x、y 可以是正的，也可以是负的或0。它们关系的几何意义如图4所示 0 x x x 0 ( ) 0 f x x y y f(x) O x y ( ) 0 f x x 图4 利用增量定义得 等价定义1：设函数 f (x)在x0的某邻域内有定义，若 lim 0，则称 0 y x 函数 f ( x )在 0 x 点连续
也可以改用8一定义：设函数f(x)在x的某邻域内有定义,若对Vε>0,3S>0等价定义2：使得当|x-xol<S时，有f(x)-f(xo)<,则称函数 f(x)在x。点连续。注意问题：(1)f(x)在x有极限是f(x)在x.连续的必要条件；(2）函数f(x)在x,连续，要求f(x)在x点有定义，而等价定义2中不等式f(x)-f(xo)<ε对x=x。总成立，因此极限的“一S”语言叙述中把"0<x-xo<8"换成“x-x。<8";(3）(1) 式又可表示为lim f(x)= f(lim x)= f(xo)可见“f在x=0连续”意味着极限运算lim与对应法则f的可交换性。例1:证明函数f(x)= xD(x)在点x = 0连续，其中D(x)为狄利克雷函数
也可以改用 －定义： 等价定义2：设函数 f (x)在x0的某邻域内有定义，若对 0 , 0 使得当 x x0 时，有 f (x) f (x0 ) ,则称 函数 f ( x ) 在 0 x 点连续。 注意问题： 可见“ 在 连续”意味着极限运算 与对应法则 的可交换性。 （ ）（）式又可表示为 “ ”换成“ ” ； 对 总成立，因此极限的“ － ”语言叙述中把 （ ）函数 在 连续，要求 在 点有定义，而等价定义 中不等式 （） 在 有极限是 在 连续的必要条件； f x f f x f x f x x x x x f x f x x x f x x f x x f x x f x x x x x x x x 0 0 0 0 lim 3 1 lim ( ) (lim ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 例1：证明函数 f (x) xD(x)在点x 0连续，其中D(x)为狄利克雷函数
证明：由f(O)=0及D(x)≤1，对于Vs>0，为使[f(x)- f(0)=xD(x)|≤|x|<8只要取S=ε，即可按 ε-S定义推得f(x)在x=0连续。4．左、右连续的定义当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义1不能讨论f（x）的连续性，为此我们在定义1的基础上，由f（x)在xo左、右极限的定义得定义2：设f(x)在x,的某右邻域 U(x。)(或左邻域 U_(x。))内有定义，若lim f(x) = f(xo)(或 lim f(x)= f(x。))X→Xo则称函数f（x）在x。点右连续（或左连续）。根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系定理4.1：fx)在x。点连续的充要条件为：f(x)在x。点既右连续又左连续。由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论
只要取 ＝ ，即可按 定义推得 在 连续。 证明：由 及 ，对于 ，为使 ( ) 0 ( ) (0) ( ) (0) 0 ( ) 1 0 f x x f x f xD x x f D x 4．左、右连续的定义 当遇到分段函数的分段点或区间的端点时，依定义1不能讨论 f ( x ) 的连续性，为此我们在定义1的基础上，由 f ( x )在 0 x 左、右极限的定义得 定义2：设 lim ( ) ( ) ( lim ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( )) 0 0 0 0 0 0 0 f x f x f x f x f x x U x U x x x x x 或 在 的某右邻域 或左邻域 内有定义，若 则称函数 f ( x )在 0 x 点右连续（或左连续）。 根据左、右极限与极限的关系我们容易得左、右连续和连续的关系 定理4．1： f ( x )在 0 x 点连续的充要条件为：f ( x )在 0 x 点既右连续又左连续。 由定理我们知道，要判别分段函数在分段点的连续性可通过左、右连续来讨论
yx+2x≥0例2：讨论函数f(x）=在x=0的连续性X+2x-2x00Xlim f(x) = lim(x - 2) = -2 + f(0)2--2所以f(x)在x=0右连续，但不左连续X-2图5从而f(x)在x=0不连续。(如图5)二.间断点及其分类1.间断点的定义定义3：设函数f在某Ux)内有定义，若f在点x无定义，或在点x有定义但不连续，则称点x为f的间断点或不连续点。从定义我们可以得到，若x为函数f的间断点，则是下列情形之一：1)f在点x.无定义（如图2）
例2：讨论函数 在 0的连续性。 2 0 2 0 ( ) x x x x x f x lim ( ) lim( 2) 2 (0) 0 0 f x x f x x 解：因为 lim ( ) lim( 2) 2 (0) 0 0 f x x f x x 从而 在 不连续。如图 ） 所以 在 右连续，但不左连续， ( ) 0 ( 5 ( ) 0 f x x f x x 2 －2 x y O x+2 x-2 图5 二.间断点及其分类 1．间断点的定义 定义3： 但不连续，则称点 为 的 设函数 在某 内有定义，若 在点 无定义，或在点 有定义 x f f U x f x x 0 0 0 0 0 ( ) 间断点或不连续点 。 从定义我们可以得到，若x0为函数 f 的间断点，则是下列情形之一： 1) f 在点x0无定义（如图2）
2) lim f(x)不存在;3) f 在点x.有定义且 lim f(x)= A存在，但A≠ f(x)(如图3)X>x根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类2.间断点的分类1）可去间断点：若lim f(x)= A，而f在点x无定义，或有定义但x-→xA≠ f(x。)，则称x.为函数f的可去间断点。例3: f(x)=sgn x,lim f(x)=1,f(O)= 0,f(O)± 1故x=0是f(x)的可去间断点。sin×, lim (x)=1, 但f(x)在x=0无定义例4: f(x) =x故x=0是f(x)的可去间断点
） 在点 有定义且 存在，但 如图 ） 不存在； 3 lim ( ) ( )( 3 2) lim ( ) 0 0 0 0 f x f x A A f x f x x x x x 根据这几种情形，联系左、右极限，我们对函数的间断点进行分类 2．间断点的分类 1）可去间断点： ，则称 为函数 的 若 ，而 在点 无定义，或有定义但 A f x x f f x A f x x x 0 0 0 ( ) lim ( ) 0 可去间断点。 例3： 故 是 的可去间断点。 ， ， ， 0 ( ) ( ) sgn lim ( ) 1 (0) 0 (0) 1 0 x f x f x x f x f f x 例4： 故 是 的可去间断点。 ， ，但 在 无定义 0 ( ) lim ( ) 1 ( ) 0 sin ( ) 0 x f x f x f x x x x f x x