s2二元函数的极限一．二元函数的极限定义1：设f为定义在DCR2上的二元函数，P为D的一个聚点,A是一个确定的实数。若对任给正数，总存在某正数8，使得当PU°(P; )ND时，都有|f(P)-A<8则称f在D上当P→P时,以A为极限,(1)记作lim f(P)= A.P→PPeD
§2 二元函数的极限 一. 二元函数的极限 2 0 f D R P D A 定义１：设 为定义在 上的二元函数， 为 的一个聚点，是一个确定的实数。若 对任给正数 ，总存在某正数 ，使得当 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , lim . 1 P P P D P U P D f P A f D P P A f P A → − → = 0 ； 时，都有 则称 在 上当 时，以 为极限， 记作
x3++y?)= 7例1.依定义验证lim(x,y)→(2,1)证:x? +xy+ y2 -7=(x2 -4)+ xy-2+(y2 -1)=(x-2)(x+2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)≤|x - 2|x + y+ 2| +|y- 1/y+ 3]先限制在点(2,1)的 =1的方邻域(x,y)[x-2|<1,[y-1<1)内讨论，于是有
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 7 4 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 3 . 2 1 1 2 1, 1 1 x xy y x xy y x x x y y y y x x y y y x y + + − = − + − + − = − + + − + − + + − − + + + − + = − − 证： 先限制在点 ，的 的方邻域 x,y 内讨论，于是有 ( ) ( ) ( ) 2 2 , 2,1 1. lim 7. x y x xy y → 例 依定义验证 + + =
[y+3|=y-1 +4|≥[y-1|+4 <5,x+y+2| =(x-2)+(y-1)+5≤x-2+y-1+5<7.:x2 +xy+y2 -7≤7|x- 2|+5|y-1]<7([x-2|+|y-1)αe为任给的正激，取8=mn(最),则当x-2<8,-1<8,(x,)±(2,1)时,就有x2 +xy+y2-7<7.28=148<8
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 7 7 2 5 1 7 2 1 min 1, , 14 2 , 1 , , 2,1 7 7 2 14 . x xy y x y x y x y x y x xy y + + − − + − − + − = − − + + − = 设 为任给的正数，取 则当 时， 就有 ( ) ( ) 3 1 4 1 4 5, 2 2 1 5 2 1 5 7. y y y x y x y x y + = − + − + + + = − + − + − + − +
x-y,(x,y) +(0,0)xy例2.设f(x,y)=x"+y0,(x, y) = (0, 0)证明(limo.0) f (x,y)= 0.(xy)→(0,0)证：对函数的自变量作极坐标变换x =r cosβ, y = rsin p.这时(x,y)-→(0,0)等价于对任何β都有r→0.由于-4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0,0 , , 0,0 2. , 0, , 0,0 lim , 0. x y x y xy x y f x y x y x y f x y → − = + = = ， 例 设 证明 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 cos , sin . , 0,0 0. 1 1 0 sin 4 , 4 4 x r y r x y r x y xy r r x y = = → → − − = = + 证：对函数的自变量作极坐标变换 这时 等价于对任何 都有 由于 f x,y
因此，对任何ε>0,只须取=2/，当0PoPeD子集E，只要P是E的聚点，就有lim f (P) = AP→PoPeE
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0,0 0, 2 0 , 0 lim , 0. x y r x y f x y f x y → = = + − = ， 因此，对任何 只须取 ，当 时，不管 取什么值都有 即 ( ) ( ) 0 0 0 16.5 lim lim P P P D P P P E f P A D E P E f P A → → = = 定理 对于 的任一 子集 ，只要 是 的聚点，就有
推论l：E, CD,P是E,的聚点。若lim f(P)不存在，则 lim f(P)P-→PoP→>PoPeElPeD推论2.设E，E, D，P是它们的聚点，若存在极限 lim f(P)= A,lim f(P)= A，但P-→PoP-→PoPeEPeE2A, ≠ A，则 lim f(P)不存在。P-→PoPeD
( ) ( ) 0 0 1 1 0 1 , lim lim . P P P P P E P D E D P E f P f P → → 推论1： 是 的聚点。若 不存在，则 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 2. lim lim lim P P P P P E P E P P P D E E D P f P A f P A A A f P → → → = = 推论 设 ， ， 是它们的聚点，若 存在极限 ， ，但 ，则 不存在
推论3.极限 lim f(P)存在←→对于D中任一满足P-→PoPeD条件P,≠ P且 lim P,= P的点列(Pn)，它所对应n>0都收敛。的函数列((P,))xy例3: 讨论f (x,y)= -当(x,y)→>(0,0)时一x? +y?是否存在极限
( ) ( ) 0 0 0 3. lim lim P P P D n n n n n f P D P P P P P f P → → = 推论 极限 存在 对于 中任一满足 条件 且 的点列 ，它所对应 的函数列 都收敛。 ( ) ( ) ( ) 2 2 3: , , 0 0 xy f x y x y x y = → + 例 讨论 当 ， 时 是否存在极限
解：当动点(x,y)沿着直线y= mx而趋向于定点(O,0)时， 由于此时f(x,y)=f(x,mx)=m,因而有limf (x,y)= lim f(x,mx)00J2(x,y)-→(0,0)1+my=mxm这一结果说明动点沿不同斜率m1+m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 0 0 0 2 , 0 0 , , , lim , lim , 1 1 x y x y mx x y y mx f x y f x mx m f x y f x mx m m m m → → = = = = = + = + ， 解：当动点 沿着直线 而趋向于 定点 ， 时，由于此时 因而有 。这一结果说明动点沿不同斜率 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同， 因此所讨论的极限不存在
例4．二元函数J1,当0<y<x2,-8<x<+时,f (x,y)0,其余部分的极限存在与否？解：如下图所示，当(x,y)沿任何直线趋于原点时，相应的f(x,y)都趋于零，但这并不表明此函数在(x,Jy)→(0,0)时极限存在。因为当点(x,J)沿抛物线y=kx2(<k<1)趋于O点时，f(x,y)将趋于1.所以极限 (s,)不存在
( ) 2 4. 1, 0 , , 0 y x x f x y − + = 例 二元函数 当 时， ， 其余部分. 的极限存在与否？ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0.0 , , , 0 0 , 0 1 , lim , x y x y f x y x y x y y kx k O f x y f x y → → = ， 解：如下图所示，当 沿任何直线趋于原点 时，相应的 都趋于零，但这并不表明此 函数在 ， 时极限存在。因为当点 沿抛物线 趋于 点时， 将 趋于1.所以极限 不存在
Tf+0f =1f=XOf=0
O x y f = 0 f = 0 f =1 f =1