第二节以21为周期的函数的展开式以21为周期的函数的展开式设f以f为周期的函数，通过变量置换lt元X=t 或 x=元1可以把f变换成以2元 为周期的t的函数F() = T().若在[-1,1上可积，则F在元
第二节 以2l为周期的函数的展开式 一 以2l为周期的函数的展开式 设 以 为周期的函数，通过变量置换 t l x = 或 lt x = f f 可以把 f 变换成以 2 为周期的 t 的函数 ( ) ( ). lt F t = f 若 f 在 [−l,l] 上可积，则 F在
[-元,元]上也可积，这时函数F的傅里叶级数展开式是：8aoZ(a,cos nt +b, sin nt)(1)F(t)?2n=l其中1F(t)cosnt dtn = 0.1、2...,an =元元(2)1 F(t)sinnt dtbr =n =12...n元元1tTX ，所以 F(t)=f(=)=f(x)因为 t =元1
0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 1 2 n n n a F t a nt b nt = + + （ ） [−, ] 上也可积，这时函数F的傅里叶 级数展 其中 1 ( )cos 0 1 2 1 ( )sin 1 2 n n a F t nt dt n b F t nt dt n − − = = = = 、 ， 、 ， (2) 开式是： l x t 因为 = ，所以 ( ) ( )= ( ) lt F t f f x =
于是由（1）与（2）式分别得80n元xn元xab(3)+f(x)(asin1COS一Yn121n=1与n元xa,=, ()cosdxn = 0.1、2...1(4)n元xb,=L, ()sindxn = 1.2...111
0 1 ( ) ~ ( cos sin ) (3) 2 1 ( )cos 0 1 2 1 ( )sin 1 2 n n n l n l l n l a n x n x f x a b l l n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l = − − + + = = = = 与 、 、 (4) 于是由（1）与（2）式分别得
这里（4）式是以21为周期的函数f的傅里叶系数，（3）式是f的傅里叶级数。若函数f在[-1,1]上按段光滑，则同样可由收敛定理知道98f(x+0)+ f(x-0) _ %n元xn元x+Z(a,cos(5)+b.sinn221n=1例1 把函数0-5≤x<0f(x)=[30≤x<5展开成傅里叶级数
0 1 ( 0) ( 0) ( cos sin ) (5) 2 2 n n n f x f x n x n x a a b l l = + + − = + + 这里（4）式是以2l为周期的函数f的傅里叶 系数，（3）式是f的傅里叶级数。若函数f在 [−l,l] 上按段光滑，则同样可由收敛定理知道 例1 把函数 0 5 0 ( ) 3 0 5 x f x x − = 展开成傅里叶级数
解：由于f在（一5，5）上按段光滑，因此可以展开成傅里叶级数，根据（4）式，有1 r5n元xn元.xO · cosdxdx + -3.cOS95 Jo5J-5553 5n元x5sin-1055n元=0
解：由于f在（－5，5）上按段光滑，因此 可以展开成傅里叶级数，根据（4）式，有 0 5 0 5 0 5 0 1 1 0 cos 3 cos 5 5 5 5 3 5 sin | 5 5 0 n x n x a dx dx n x n − = + = =
a =, (x)dx3dx5 Jo=31r5nπxb. =3 . sindxn55JO35n元x115COS55n元
5 0 5 5 0 5 0 5 0 1 ( ) 5 1 3 5 3 1 3 sin 5 5 3 5 [ cos ]| 5 5 n a f x dx dx n x b dx n x n − = = = = = −
3(1 - cos nx)n元6n = 2k -1, k =12...(2k-1)元[0n= 2k,k =12...代入（5）式得836(2k -1)元xf(x)十-sin25合(2k-1)元361￥.13元x5元x元xsinsin(sin+-1-525535元
3(1 cos ) 6 2 1, 1 2 = (2 1) 0 2 , 1 2 nx n n k k k n k k − = = − = − = = 、 、 代入（5）式得 1 3 6 (2 1) ( ) sin 2 (2 1) 5 3 6 1 3 1 5 (sin sin sin .) 2 5 3 5 5 5 k k x f x k x x x = − = + − = + + + +
这里 x E(-5,0)U(0,5) 当x=0和 ±5 时级数收敛于 32二偶函数与奇函数的傅里叶级数设f是以21为周期的偶函数，或是定义在[-l,]]上的偶函数，则在[-l,l止f(x)cosnx是偶函数，f(x)sin nx是奇函数，因此f的傅里叶系数（4）是：
设f是以2l为周期的偶函数，或是定义在 上的偶函数，则在 上 是偶函数， 是奇函数，因此f的傅里叶 系数（4）是： 这里 x(−5,0)(0,5) 当x=0和 5 时级 3 2 。 二 偶函数与奇函数的傅里叶级数 [−l,l] [−l,l] f (x)sin nx 数收敛于 f (x) cos nx
n元xa,-L,sdx1n元x-)n=0, 1,2,...dxCOS(6)-01n元xb,-f(x)sindxn=1,2,.-/于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即(7)n元x%f(x)an cos=21n=1
0 1 ( )cos 2 ( )cos 1 ( )sin l n l l l n l n x a f x dx l l n x f x dx l l n x b f x dx l l − − = = = n=0,1,2,., n=1,2,., =0 (6) 于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即 l n x a a f x n n cos 2 ( ) ~ 1 0 = + （7）
其中αn如（6）式所示。（7）式右边的级数称为余弦级数。同理，若f是以21为周期的奇函数，或是定义在上的奇函数，则可推得[-1,1]n元xa,-L,dx =0 n=0,1,2,..COS1(8)n元xb, -2) sirdxn=1,2,.1
其中 n a 如（6）式所示。（7）式右边的级数称为 余弦级数。 同理，若f是以2l为周期的奇函数， 或是定义在 上的奇函数，则可推得 [−l,l] 0 1 ( )cos 0 2 ( )sin l n l l n n x a f x dx l l n x b f x dx l l − = = = n=0,1,2,., n=1,2,., (8)