82无穷积分的性质与收敛判别授课题目：82无穷积分的性质与收敛判别日的要求·理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别基本的反常积分重点难点·重点无穷积分的比较判别法与柯西判别法难点狄利克雷判别法的证明及应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分教学方法：讲授法教学过程如下：
授课题目:§2 无穷积分的性质与收敛判别 目的要求:理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分 的Cauchy 收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、 Cauchy 判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷判 别法与阿贝尔判别法判别基本的反常积分. 重点难点:重点无穷积分的比较判别法与柯西判别法; 难点狄利克 雷判别法的证明及应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 判别反常积分. 教学方法:讲授法 教学过程如下: §2 无穷积分的性质与收敛判别
说明:以下只给出f(x)dx的性质及收敛判别，其它两种情形类似可得一.无穷积分的性质设F(u)=f(x)dx，则[,f(x)dx收敛与否取决于F(u)当u→+oo时是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得1.无穷积分收敛的柯西准则定理11.1：无穷积分f(x)dx收敛的充要条件是：任给ε>0存在G≥a,只要u、u, >G,便有J" f(x)dx-I" f(x)dx =" f(x)dx<s
一. 无穷积分的性质 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 设 = ，则 收敛与否取决于 当 → +时 + F u f x dx f x dx F u u a u a ( ) ( ) ( ) ( ) 说明：以下只给出 的性质及收敛判别，其它两种情形类似可得。 + a f (x)dx 1. 无穷积分收敛的柯西准则 2 1 2 1 1 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) a u u u a a u f x dx G a u u G f x dx f x dx f x dx + − = 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ， 存在 ，只要 、 ，便有 定理11.1：
2.无穷积分的性质性质1:若f,(x)dx与[f,(x)dx都收敛，k,、k,为任意常数，则[。[kifi(x)+k2f2(x)]dx也收敛，且(1)[, [kifi(x)+ k f2(x)]dx = ki ff° fi(x)dx + k2 Jt° fa(x)dx性质2：若f在任何有限区间[α,u]上可积，a<b，则[f(x)dx与「，f(x)dx同敛态（即同时收敛或同时发散），且有[。* f(x)dx= J’ f(x)dx + J f(x)dx(2)
2. 无穷积分的性质 + + + + + + + = + + a a a a a a k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x k f x dx f x dx f x dx k k [ ( ) ( )] ( ) ( ) (1) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 也收敛，且 性质1： 若 与 都收敛， 、 为任意常数，则 性质2： + + + + = + a b b a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f a u a b f x dx ( ) ( ) ( ) (2) ( ) [ , ] ( ) 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有 若 在任何有限区间 上可积， ，则 与
3.无穷积分收敛的充要条件无穷积分「f(x)dx收敛的充要条件是：任给ε>0存在G≥α，只要u>G，总有J."f(x)dx<4.无穷积分的绝对收敛与条件收敛若无穷积分[。If(x)|dx收敛，则称(。f(x)dx为绝对收敛;若[t|f(x)dx发散，而[+°f(x)dx收敛，则称[+°f(x)dx为条件收敛
3. 无穷积分收敛的充要条件 + + u a f x dx G a u G f x dx ( ) ( ) 0 存在 ，只要 ，总有 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ， 4. 无穷积分的绝对收敛与条件收敛 若无穷积分 收敛，则称 为 + + a a f (x) dx f (x)dx 若 发散，而 收敛，则称 为 + + + a a a f (x) dx f (x)dx f (x)dx 绝对收敛； 条件收敛
性质3：若f在任何有限区间[a,u]上可积，则有[|f(x)dx收敛，则[f(x)dx ≤J, /f(x)ldx[f(x)dx亦必收敛，且有(3)说明：性质3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必（今后举例说明）
性质3： + + + + a a a a f x dx f x dx f x dx f a u f x dx ( ) ( ) ( ) (3) [ , ] ( ) 亦必收敛，且有 若 在任何有限区间 上可积，则有 收敛，则 说明：性质3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必。 （今后举例说明）
二无穷积分敛散性的判别1.无穷积分收敛的充要条件无穷积分「lf(x)|dx收敛的充要条件是：「1 f(x)|dx有上界2.无穷积分收敛的比较判别法（1）不等式形式定理11.2：设定义在[α,+)上的两个函数f和g都在任何有限区间[α，ul上可积，且满足I f(x)<g(x), xe[a,+00)则(1）当[g(x)dx收敛时,[「f(x)|dx必收敛;(2) 当[°/ f(x)|dx发散时,[，g(x)dx必发散
二. 无穷积分敛散性的判别 1. 无穷积分收敛的充要条件 | ( ) | | ( ) | u a a f x dx f x dx + 无穷积分 收敛的充要条件是： 有上界 2. 无穷积分收敛的比较判别法 （1）不等式形式 定理11.2： [ , ) [ , ] | ( ) | ( ) [ , ) 1 ( ) | ( ) | 2 | ( ) | ( ) a a a a a f g a u f x g x x a g x dx f x dx f x dx g x dx + + + + + + 设定义在 上的两个函数 和 都在任何 有限区间 上可积，且满足 ， 则（）当 收敛时， 必收敛； （ ）当 发散时， 必发散
定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散.(与级数类似)sin x+80例1:讨论dx的收敛性01+ x2sin x8解：先讨论dx的收敛性:[1 + x?01sin x元由于收敛dx =,2, x =[0,+o0), 以及[1+ x?21+ x+xsin x+0由定理11.2知道dx收敛。[1 + x?0sin xsin x即dx绝对收敛，从而d必收敛。（由性质3)31+x?JO1 +x
定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散.(与级数类似） 例1： 讨论 的收敛性。 + 0 + 2 1 sin dx x x 解： 先讨论 的收敛性： + 0 + 2 1 sin dx x x + = + + + + 0 2 2 2 1 2 1 , [0, ) 1 1 1 sin 由于 ，以及 收敛， dx x x x x x + 0 + 2 1 sin 由定理11.2知道 dx收敛。 x x 即 绝对收敛，从而 必收敛。(由性质3） 1 sin 1 sin 0 0 2 2 + + + + dx x x dx x x
（2）极限形式推论1：设f和g定义在a,+)上，g(x)>0,且它们都在f(x)任何有限区间a，ul上可积，若有limc, 则有:+ g(x)i. 当0<c<+oo时,[lf(x)|dx与「 g(x)dx同敛态;ii.当c=O时，由[g(x)dx收敛可推知[|f(x)|dx也收敛;iii.当c=+oo时，由[，g(x)dx发散可推知[|f(x)|dx也发散注意：1.推论中，当c=0时只能判别收敛；当c为正无穷大时只能判别发散；2.用此推论时要找分母的g(x)且 (g(x)dx的敛散性要知道;3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数
（2）极限形式 [ , ) , ( ) 0, ( ) [ , ] lim , ( ) x f g a g x f x a u c →+ g x + = 设 和 定义在 上 且它们都在 任何有限区间 上可积，若有 则有： 推论1： 0 | ( ) | ( ) 0 ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | a a a a a a c f x dx g x dx c g x dx f x dx c g x dx f x dx + + + + + + + = = + i.当 时， 与 同敛态； ii.当 时，由 收敛可推知 也收敛； iii.当 时，由 发散可推知 也发散. 注意：1.推论中，当c=0时只能判别收敛；当c为正无穷大时 只能判别发散； 2.用此推论时要找分母的g(x)且 的敛散性要知道； + a g(x)dx 3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数
可以得柯西判别法特殊地，取g(x)=3.无穷积分收敛的柯西判别法推论2:(不等式形式）设f定义在[a,+)(a>0)上且在任何有限区间[α,u]上可积，则有：(1) 当lf(x)≤-,re[a,+0),且p>1时 ,1 (3)] d收敛;1(2) 当lf(x)[≥,x E[α,+)且p≤1时[|f(x)| dx发散。tp推论3(极限形式)设f定义在[a,+)(a>0)上,且在任何有限区间[αa,u]上可积，且lim xP|f(x)|=a.则有:(1)当p>1,0≤<+oo时,「-1f(x)|dx收敛;(2）当p≤1,0<≤+oo时,1f(x)dx发散
特殊地，取 p 可以得柯西判别法 x g x 1 ( ) = 3. 无穷积分收敛的柯西判别法 推论2： ( [ , )( 0) , [ , ] f a a a u 不等式形式）设 定义在 + 上 且在任何有限区间 上可积，则有： 1 1 ( ) | , [ , ), 1 | ( ) | 1 2 ( ) | , [ , ) 1 | ( ) | p a p a f x x a p f x dx x f x x a p f x dx x + + + + （）当| 且 时 收敛； （ ）当| 且 时 发散。 推论3(极限形式)设 [ , )( 0) , [ , ] . f a a a u → + p x + 定义在 上 且在任何 有限区间 上可积，且lim x |f(x)|= 则有： 1 1,0 , | ( ) | 2 1,0 , | ( ) | a a p f x dx p f x dx + + + + （）当 时 收敛； （ ）当 时 发散
注意：1.实际应用中，常用推论3；2.用推论3时要找p,使同时满足p及的条件：3.找p的时候最好使极限是一个非0的常数。例2：讨论下列无穷积分的收敛性x(2) 。(1) Jf°xae-* dx;dxJxs +10解：例子中被积函数都是非负函数，所以可用推论3+lim x.x~e-x = lim(1）因为对任意实数α都有0>+00此时p=2，=0,所以由推论3得（1对任何实数α均收敛
注意：1.实际应用中，常用推论3； 2.用推论3时要找p,使同时满足p及 的条件； 3.找p的时候最好使极限是一个非0的常数。 例2：讨论下列无穷积分的收敛性 + + − + 0 5 2 1 1 1 (2) dx x x x e dx （） x ； 解：例子中被积函数都是非负函数，所以可用推论3 此时 ， 所以由推论 得（）对任何实数 均收敛。 因为对任意实数 都有 ， 2 0, 3 1 (1) lim lim 0 2 2 = = = = + →+ − →+ p e x x x e x x x x