第四节函数的极值与最大（小）值一、函数极值的定义二、函数极值的求法三、最大值与最小值四、小结
第四节 函数的极值 与最大（小）值 一、函数极值的定义 二、函数极值的求法 三、最大值与最小值 四、小结
一、函数极值的定义xa x,0x x xxs x bXo0xoxx
一、函数极值的定义 o x y a b y = f (x) x1 2 x x3 4 x 5 x 6 x o x y o x y 0 x 0 x
定义设函数f(x）在区间（a，b）内有定义x是(a，b）内的一个点如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的任何点x除了点x外，f（x）f(x）均成立，就称f（x）是函数f（x）的一个极小值函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
一、函数极值的求法定理1（必要条件）设（x）在点x.处具有导数，在x处取得极值，那末必定f（x）=0定义 使导数为零的点(即方程 f(x)=0的实根)叫做函数 f(x)的驻点注意：可导函数 f(x)的极值点必定是它的驻点但函数的驻点却不一定是极值点例如，y= x,y|x=o=0，但x=0不是极值点
二、函数极值的求法 设 f (x)在点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 注意: . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点
定理2（第一充分条件）(1)如果xe(x-8,x),有f(x)>0而xe（xo,x+）有f（x）0则f（x）在x.处取得极小值(3）如果当xx-sx及xe(xx+S）时，f（)符号相同，则fx）在x.处无极值yy+ol0Xoxoxx（是极值点情形）
(1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则f (x)在x0处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形)
yy++oolxxoxXo（不是极值点情形）求极值的步骤：(1)求导数 f'(x);(2)求驻点，即方程f'(x)=0的根;(3)检查f(x)在驻点左右的正负号,判断极值点;(4) 求极值
x yo x yo 0 x 0 x + − − + 求极值的步骤 : (1) 求导数 f (x); (2)求驻点，即方程 f (x) = 0的根; (3) 检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值. (不是极值点情形 )
例1 求出函数 f(x)= x2 -3x2-9x + 5的极值解 f(x)= 3x2 -6x-9 = 3(x+1)(x-3)令 f'(x)= 0, 得驻点 x =-1,xz =3. 列表讨论3x-1(-1,3)(3,+0)(-80,-1)00f'(x)++一极小值极大值f(x)个↓个极大值 f(-1) =10,极小值 f(3)=-22
例 1 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x3 − x2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f x = x − x − 令 f (x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (− , − 1 ) − 1 ( − 1 , 3 ) 3 (3,+ ) f ( x ) f ( x ) + − + 0 0 极大值 极小值 极大值 f ( − 1 ) = 10 , 极小值 f (3) = −22. = 3(x + 1)( x − 3)
f(x)=x3 -3x2-9x+5图形如下YM10521-2-14-5-10-15-20
( ) 3 9 5 3 2 f x = x − x − x + M m 图形如下
定理3（第二充分条件）设f（x）在x处具有二阶导数且f（x）=0，f（x）±0那未（1）当f（x）0时，函数f（x）在x.处取得极小值证 (1) F"(x)= m I(x +Ar)- I(x)0故f'(x+△x)-f'(x)与△x异号,当△xf(x)= 0,当△x > 0时， 有f'(x, +△x)< f(x)= 0,所以，函数f(x)在x处取得极大值．同理可证(2)
设 f (x)在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( ) 0 0 ' f x = , ( ) 0 0 '' f x , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( ) 0 0 '' f x 时, 函数 f (x)在 0 x 处取得极小值. 定理3(第二充分条件) 证 (1) x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f = 0, 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f = 0, 所以，函数 f (x)在x0 处取得极大值． 同理可证(2)
例2 求出函数 f(x)= x2 +3x2 -24x -20 的极值,解 f'(x) = 3x +6x - 24 = 3(x + 4)(x - 2)令 f(x)= 0, 得驻点 x, = -4, x, = 2.: f"(x) = 6x+6,故极大值 f(-4)=60,: f"(-4)= -18 0,故极小值 f(2)=-48.f(x)=x +3x2-24x-20 图形如下
例2 解 ( ) 3 24 20 . 求出函数 f x = x 3 + x 2 − x − 的极值 ( ) 3 6 24 2 f x = x + x − 令 f (x) = 0， 4, 2. 得驻点 x1 = − x2 = = 3(x + 4)( x − 2) f (x) = 6x + 6, f (−4) = −18 0, 故极大值 f (−4) = 60, f (2) = 18 0, 故极小值 f (2) = −48. ( ) 3 24 20 3 2 f x = x + x − x − 图形如下