第二节柯西中值定理和不定式的极限
第二节 柯西中值定理和 不定式的极限
一、柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理里如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,bl上连续，在开区间(a,b)内可导，且F(x)在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内至少有一点(a<<b), 使等式f(b)-f(a) - f ()成立F(b)-F(a)F()
一、柯西(Cauchy)中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且 ( ) ' F x 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内 至 少有一点(a b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' F f F b F a f b f a = − − 成 立
几何解释：X=F(X)y(Y=f(x)C在曲线弧AB上至少有MB一点C(F(E),f(E),在DNA该点处的切线平行于弦AB.x0F(a)F(5,)F(b)F(5)F(x)证作辅助函数f(b)- f(a)[F(x) - F(a)](p(x) = f(x)- f(a)F(b)- F(a)p(x)满足罗尔定理的条件则在(a,b)内至少存在一点,使得 β'()=0
几何解释: ( ) 1 F ( ) 2 o F x y = = ( ) ( ) Y f x X F x F(a) A F(b) B C D F(x) N M . ( ( ), ( )), AB C F f AB 弦 该点处的切线平行于 一点 在 在曲线弧 上至少有 证 作辅助函数 [ ( ) ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a F b F a f b f a x f x f a − − − = − − (x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 () = 0
则在(a,b)内至少存在一点,使得 β'()= 0.即 F(5)- 1(b)- {() F(5)=0,.F(b)- F(a)f(b)- f(a) - f'(E)F(b)-F(a) F'(E)当 F(x)=x,F(b)- F(a)= b-a, F'(x)= 1,f(b)-f(a) _f'(E)f(b)- f(a)= f'(E)F(b)-F(a) F()b-a
( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − F F b F a f b f a 即 f . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − F f F b F a f b f a 则在(a,b)内至少存在一点,使得 () = 0. 当 F(x) = x, F(b) − F(a) = b − a, F(x) = 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − F f F b F a f b f a ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a
例4 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明:至少存在一点 E(0,1),使 f'() =2E[f(1)-f(O)I证分析：结论可变形为f(1)-f(0) _ f'() - f(x)设g(x)=x2,25 (x*ylx=5:1-0则 f(x),g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件:在(0,1)内至少存在一点,有f(1)-f(0) f'(E)即 f'() = 2E[f(1)- f(O)251-0
例4 (0,1), ( ) 2 [ (1) (0)]. ( ) [0,1] , (0,1) , : f f f f x 至少存在一点 使 = − 设函数 在 上连续 在 内可导 证 明 证 分析: 结论可变形为 = − − 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f . ( ) ( ) 2 = = x x f x ( ) , 2 设 g x = x 则 f (x), g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件, 在(0,1)内至少存在一点,有 = − − 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f 即 f () = 2[ f (1) − f (0)]
二、小结罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；f (a) = f(b)RolleF(x)= xLagrangeCauchy定理中值定理中值定理注意定理成立的条件：注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤
二、小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤
思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可
思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件 缺一不可
思考题解答x, 0≤x<1fi(x) =[3, x=1不满足在闭区间上连续的条件1f2(x)==, xe[a,b] 且 ab<0x不满足在开区间内可微的条件以上两个都可说明问题
思考题解答 = = 3, 1 , 0 1 ( ) 2 1 x x x f x 不满足在闭区间上连续的条件； , [ , ] 1 ( ) 2 x a b x f x = 且 ab 0 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题
练习题一、填空题：1、函数f(x)= x*在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则=2、设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ， 方 程f(x)= 0有个根，它们分别在区间上.3、罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_之间与函数在这区间内某点处的福的关系.，那5、如果函数f(x)在区间I上的导数么f(x)在区间I上是一个常数
一 、填空题： 1、函 数 4 f (x) = x 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ=_. 2、设 f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) ， 方 程 f ( x) = 0有_个根，它们分别在区间 _上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _. 4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _与函数在这区间内某点处的_之间 的关系. 5、如果函数 f (x)在区间I 上的导数_， 那 么 f (x)在区间I上是一个常数. 练 习 题
二、试证明对函数y= px2+ gx +r应用拉氏中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间x元三、证明等式arcsin √1-x2 +arctan/1-x22(xe(0,1)) :四、设a>b>0，n>1，证明nbn-'(a -b) 1时，e*>ex
二、试证明对函数y = px + qx + r 2 应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 . 三、证明等式 1 2 arcsin 1 arctan 2 2 = − − + x x x ( x (0,1) ) . 四、设a b 0，n 1，证明 ( ) ( ) 1 1 nb a b a b na a b n n n n − − − − − . 五、证明下列不等式： 1、 arctana − arctanb a − b ； 2、当x 1时，e ex x