S5微分教学内容：1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与可微是等价的。2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变性。4、微分在近似计算中的应用。要求：1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系
§5 微分 教学内容： 1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与 可微是等价的。 2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。 3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变 性。 4、微分在近似计算中的应用。 要求: 1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。 2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系
问题的提出：恩格斯在《反社林论》中指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用性函数去逼近？例：设一边长为x的正方形，它的面积s=x2是x的函数。若边长由x,增加了△r，相应地正方形面积地增量As = (x + A)- x = 2x,Ax +(△x)△S由两部分组成：（I）2x,x（阴影部分）（I）（△x），它是关于△x的高阶无穷小量因此，当给x一个微小增量△x时，由此引起的正方形增量△s可近似地用△x的线性部分2x，Ax来代替，且由此产生的误差是一个关于人的高阶无穷小量
问题的提出： 恩格斯在《反社林论》中指出：“高等数学的主要基础之一 是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这 里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线 性函数去逼近？ 由两部分组成： （Ⅰ） （阴影部分） （Ⅱ） 它是关于 的高阶无穷小量 s 2x0 x ( ) , 2 x x 例：设一边长为x的正方形，它的面积 是 的函数。若边 长由 增加了 ，相应地正方形面积地增量 2 s = x x 0 x x 2 0 2 0 2 0 s = (x + x) − x = 2x x + (x) x 因此，当给 一个微小增量 时，由此引 起的正方形增量 可近似地用 的线性部分 来代替，且 由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。 x0 x s x x x 0 2 x
微分的概念定义：设函数y=f(x)定义在点x的某邻域U(x)内。当给xo一个增量△x,x+△rEU(x)时，相应地得到函数的增量为：Ay = f(x, +Ar)- f(xo)如果存在常数A，使得△V能表示成(1)Ay = AAr + o(Ax),则称函数f在点x.可微，并称（1）式中的第一项A△x为f在点x,的微分，记作d| x=x, = AAx或(df(x) x=x,= AAr注意：①函数的微分与增量之间仅相差一个关于△r的高阶无穷小量。②若函数f在点x,可微，则在点（xo，f(x）的小邻域内可用切线代替曲线
一 微分的概念 定义：设函数 定义在点 的某邻域 内。当给 一个增量 时，相应地得到函数的增量为： 如果存在常数A，使得 能表示成 则称函数 在点 可微，并称（1）式中的第一项 为 在 点 的微分，记作 y = f (x) x0 ( ) 0 U x 0 x , ( ) 0 0 x x + xU x ( ) ( ). 0 0 y = f x + x − f x y f x0 y = Ax + (x), （1） Ax f x0 dy x= x = Ax 0 或 df x x= x = Ax 0 ( ) 注意：①函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷 小量。 ②若函数 在点 可微，则在点 的小邻域内可 用切线代替曲线。 x f 0 x ( , ( )) 0 0 x f x
可导与可微的联系与区别1、函数f在点x,可导与可微是等价的，且dy= f'(x,)Ar.2、函数f(x)在点x的导数f(x)与微分dy=f(x)(x-x）的区别。①f(x是一个函数，而微分dy=f(x)(x-x）是x的线性函数它的定义域是R,它是无穷小，即lim dy=lim[r(xo)(x-xo)]=0.②从几何意义上说，导数f(x是曲线y=f(x在点（x，f(x）的切线斜率，而微分dy=f'(x,)(x-x)是曲线y=f(x)在点xo，fx的切线方程在点x的纵坐标。③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似计算和微分运算
二 可导与可微的联系与区别 1、函数 在点 可导与可微是等价的，且 ( ) . 0 dy = f x x f x0 ( )( ) 0 0 2、函数 在点 的导数 与微分 dy = f x x − x 的区别。 ① 是一个函数，而微分 是 的线性函数， 它的定义域是R,它是无穷小，即 ②从几何意义上说，导数 是曲线 在点 的 切线斜率，而微分 是曲线 在点 的切线方程在点 的纵坐标。 ③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似 计算和微分运算。 f (x) x0 ( ) 0 f x ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 dy = f x x − x x lim lim ( )( ) 0. 0 0 0 0 = − = → → dy f x x x x x x x ( ) x0 f y = f (x) ( , ( )) 0 0 x f x ( )( ) 0 0 dy = f x x − x y = f (x) ( , ( )) 0 x0 x f x
三 微分的运算法则1、微分运算法则① d[u(x)±v(x)= du(x)±dv(x);d[u(x)v(x)= v(x)du(x) +u(x)dv(x);v(x)du(x)-u(x)dv(x)（临(x)d(f · g(x))= f'(u)g'(x)dx,其中u= g(x)2、一阶微分方程的不变性y = f[g(x)l u= g(x),则 dy = f"[g(x)lg'(x)dx = f(u)du
三 微分的运算法则 1、微分运算法则 ① ② ③ ④ du(x) v(x)= du(x) dv(x)； du(x)v(x)= v(x)du(x)+ u(x)dv(x); ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x v x du x u x dv x v x u x d − = d( f g(x)) = f (u)g (x)dx,其中u = g(x). 2、一阶微分方程的不变性 y = f g(x),u = g(x), 则 dy = f g(x)g (x)dx = f (u)du
3、函数微分的计算方法(1)利用微分运算法则解dy=xtpcosx）=d(x的微分平d(cosx2)= Inxd(x)+xd(Inx)+d(cosx)= x(2Inx + 1-2sin x)dx(2)利用函数的导数求微分，即dy=f(x)求y=Intan2x的微分。例2sinxsecx.2=解因为 ycos"xtanx2sin xdx所以dy3Cos
3、函数微分的计算方法 （1） 利用微分运算法则 解 例 ( 1 y = 求 x 2 Inx + coscos x 2 ) ( 的微分。 ) (cos ) 2 2 2 2 dy = d x Inx + x = d x Inx + d x ( ) ( ) (cos ) 2 2 2 = Inxd x + x d Inx + d x x(2Inx 1 2sin x )dx 2 = + − （2） 利用函数的导数求微分，即 dy = f (x). 例 求 y = Intan 2x 的微分。 解 因为 所以 x x x x y 2 2 cos 2sin sec 2 tan 1 = = dx x x dy 3 cos 2sin =
（3）利用一阶微分形式的不变性例2 求 y=esin(ax+b)的微分。解由一阶微分形式不变性，可得dy =esin(ax+b)d(sin(ax +b)= e sin(ax+b)cos(ax + b)d(ax + b)esin(ax+b) cos(ax + b)dx=ae
（3）利用一阶微分形式的不变性 例2 求 的微分。 sin(ax b) y e + = 解 由一阶微分形式不变性，可得 (sin( )) sin( ) dy e d ax b ax b = + + cos( ) ( ) sin( ) e ax b d ax b a x b = + + + ae ax b dx ax b cos( ) sin( ) = + ＋
四高阶微分1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作d"y且有 d"y= f"(x)dx2. (1)2、n阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作d"y且有d"y= f(n)(x)dxn. (2)3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分
四 高阶微分 ( ) . 2 2 d y = f x dx 3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。 1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作 且有 d y 2 （1） 2、n阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作 且有 d y n ( ) . n (n) n d y = f x dx （2）
例3 设 y= f(x)=sinx,x=β(t)=t分别依公式 (1) (2) 求d’y.解 由y = sint得 y'=2tcost?,y"=2cost?-4t2 sint?依公式（1)得dy=(2cost2-4t sint2)dt。类似地，依公式（2）得d'y = f"(x)dx + f(x)d'x = -sin xdx2 + cosxdx=-sint?.(2t)"dt + cost?.2dt=(2cost2 -4t2 sint2)dt?
解 由 得 依公式（1）得 类似地，依公式（2）得 2 cos , 2cos 4 sin , 2 2 2 2 y = t t y = t − t t (2cos 4 sin ) . 2 2 2 2 2 d y = t − t t dt 2 2 2 2 2 d y = f (x)dx + f (x)d x = −sin xdx + cos xdx 2 2 2 2 2 = −sint (2t) dt + cost 2dt (2cos 4 sin ) . 2 2 2 2 = t − t t dt 2 y = sint 例3 设 分别依公式（1）、 （2）求 ( ) sin , ( ) . 2 y = f x = x x = t = t . 2 d y
五微分在近似计算1、函数的近似计算近似计算公式：①当Ax很小时，Ay~dy=f'(x）Ar例5设钟摆的周期是1秒，在冬季摆长至多缩短0.01cm，试问此钟每天至多快几秒？解日由物理学知道，单摆周期T与摆长的关系为T=2元9其中g是重力加速度。已知钟摆周期为1秒，故此摆原长为Sl. = (2元)当摆长最多缩短0.01cm时，摆长的增量N=-0.01,它引起单摆周期的增量（见下页）
五 微分在近似计算 1、函数的近似计算 近似计算公式： ①当 x 很小时， y dy = f (x0 )x 例5 设钟摆的周期是1秒，在冬季摆长至多缩短0.01cm，试 问此钟每天至多快几秒？ 解 由物理学知道，单摆周期T与摆长l的关系为 2 , g l T = 其中g是重力加速度。已知钟摆周期为1秒，故此摆原长为 . (2 ) 0 2 g l = 当摆长最多缩短0.01cm时，摆长的增量 它引起 单摆周期的增量（见下页） l = −0.01