8033有理函数和可化为有理函数的不定积分
3 有理函数和可化为有理函数的不定积分
有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形P(x) _ αgx" + αjx"-1 +...+ αn式为-,(1)R(x) =二O(x) βox" +β)xm-I +...+βm0α""°0~°0若m>n,则称它为真分式；若m≤n,则称它为假分式由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设（1）为一有理真分式。根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若于个部分分式之和（称为部分分式分解）。因而问题归结为求那些部分分式的补丁积分。为此，先把怎样分解部分分式的步骤减数如下（可与后面的例1对照着做）：
一 有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形 式为 ,(1) . . ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 m m m n n n x x x x Q x P x R x + + + + + + = = − − , , , ,., , ,., , 0, 0. 其中n m为非负整数 0 1 n与 0 1 m都是常数 且0 0 若m n,则称它为真分式；若m n,则称它为假分式。 由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之 和。由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的 不定积分 ，故设（1）为一有理真分式。 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之 和（称为部分分式分解）。因而问题归结为求那些部分分式的补丁 积分。为此，先把怎样分解部分分式的步骤减数如下（可与后面的 例1对照着做）：
第一步对分母Q（x）在实系数内作标准分解：Q(x)=(x-a,). (x-a, )(x + px+q).(x + p,x+q,),(2)b°="(={2:)={)Zα +22u, = m, p, - 4g, <0, - 1,..,.i=1 j=1第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如(x一α)的因式，它所对应的部分分式是AAAk(x-a)kx-a (x-a)把所有部分分式加起来，使之等于R（x）。（至此，部分分式中的常数系数 A，B,,C, 尚为待定的
第一步 对分母Q(x)在实系数内作:标准分解： ( ) ( ) .( ) ( ) .( ) ,(2) 2 1 1 2 1 1 s 1 t s t t Q x x a x a x p x q x p x q = − − + + + + 其中 0 =1,i , j (i =1,2,.,s; j =1,2,.,t)均为自然数，而且 2 ; 4 0, 1,2,., . 2 1 1 m q j t j j t j j s i i + = p − = = = 第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式： 对于每个形如 的因式，它所对应的部分分式是 k (x − a) ; ( ) . ( ) 2 1 2 k k x a A x a A x a A − + + − + − 把所有部分分式加起来，使之等于R(x)。（至此，部分分式中的常 数系数 Ai ,Bi ,Ci 尚为待定的。）
第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母O(x而其分子亦应与原分子P（x）恒等。于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数。2x4 - x3 +4x2 +9x-10作部分分式分解例1 对R(x)x5 +x4 -5x3 -2x2 +4x-8解按上述步骤依次执行如下：Q(x)=x +x4 -5x -2x2 +4x-8 =(x-2)(x+2)(x2 -x+1)部分分式分解的待定形式为Bx + CA + A_ +_A,(3)R(x) = -x-2*x+2*(x+2)+x2-x+1用Q(x)乘上式两边，得一恒等式2x4 -x3 +4x2 +9x-10 = A,(x+2)(x2 -x+1)
第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相 加，所得分式的分母即为原分母Q(x),而其分子亦应与原分子P(x)恒 等。于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线 性方程，这组方程的解就是需要确定的系数。 . 5 2 4 8 2 4 9 10 1 ( ) 5 4 3 2 4 3 2 例 对 作部分分式分解 + − − + − − + + − x x x x x x x x x R x 解 按上述步骤依次执行如下： 部分分式分解的待定形式为 用Q(x)乘上式两边，得一恒等式 ( ) 5 2 4 8 ( 2)( 2) ( 1). 5 4 3 2 2 2 Q x = x + x − x − x + x − = x − x + x − x + . (3) 2 2 ( 2) 1 ( ) 2 2 0 1 2 − + + + + + + + − = x x Bx C x A x A x A R x 2 4 9 10 ( 2) ( 1) 2 2 0 4 3 2 x − x + x + x − A x + x − x +
(+ A(x -2)(x+2)(x2 -x+1)+ A(X-2)(x2 -x+1)(4)+(Bx + C)(x - 2)(x + 2)?然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：....x的系数A +A +B = 2,.x3的系数3A - A + A, +2B+C = -1,…..的系数A -3A -3A - 4B + 2C = 4,...x的系数4A +3A -8B-4C = 9,..常数项4A - 4A -2A -8C= -10....求出它的解: A。=1,A = 2, A =-1,B=-1,C =1,并代入（3）式，这便完成了对R(x）的部分分式分解：2 x-1R(x) =x-2x+2 (x+2)2 x2-x+1
( 2)( 2)( 1) ( 2)( 1) 2 2 2 + A1 x − x + x − x + + A x − x − x + ( )( 2)( 2) . 2 + Bx +C x − x + (4) 然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组： A0 + A1 + B = 2,.x 4 的系数 3A0 − A1 + A2 + 2B +C = −1,.x 3 的系数 A0 −3A1 −3A2 − 4B + 2C = 4,.x 2 的系数 4A1 +3A2 −8B − 4C = 9,.x 2 的系数 4A0 − 4A1 − 2A2 −8C = −10.常数项 1, 2, 1, 1, 1, 求出它的解：A0 = A1 = A2 = − B = − C = 并代入（3）式，这便完成了对R(x)的部分分式分解： . 1 1 ( 2) 1 2 2 2 1 ( ) 2 2 − + − − + − + + − = x x x x x x R x
上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代。例如可将x的某些特定值（如Q（x）=0的根）代入（4）式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值。对于上例，若分别用X-2和x--2代入（4）式，立即求得A =1 和 A, =-1于是（4）式简化成为x4 -3x3 +12x -16 = A(x-2)(x+2)(*2 - x +1)+(Bx +C)(x - 2)(x + 2)2为继续求得A,，B,C，还可用x 的三个简单值代入上式，如令x-0,1,-1相应得到 A + 2C = 4,A +3B+3C = 2,3A -B+C=8由此易得A =2,B=-1,C=1.这就同样确定了所有待定系数
上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代。例如可将x 的 某些特定值（如Q(x)=0的根）代入（4）式，以便得到一组较简单 的方程，或直接求得某几个待定系数的值。对于上例，若分别用 x=2和x=-2代入（4）式，立即求得 于是（4）式简化成为 为继续求得 还可用x 的三个简单值代入上式，如令 x=0,1,-1相应得到 A0 =1 和 A2 = −1。 3 12 16 ( 2)( 2)( 2 1) 1 4 3 x − x + x − = A x − x + − x + x ( )( 2)( 2) . 2 + Bx +C x − x + , , , A1 B C 由此易得 2, 1, 1.这就同样确定了所有待定系数。 3 8. 3 3 2, 2 4, 1 1 1 1 = = − = − + = + + = + = A B C A B C A B C A C
一日完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分。由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：dxLx + Mdx(p2 - 4q 1.对于只要作适当换元令便化为Lx + MLt + Ndx =di1J (x? + px +q)+r?)dt+ NdttL(t +r°)(t? +r2)*
一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分。由 以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分 都将归为求以下两种形 式的不定积分： . 2 , 4 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( 4 0). ( ) ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L p N M p r q t r dt dt N t r t L dt t r Lt N dx x px q Lx M x a dx I dx p q x px q Lx M II x a dx I k k k k k k k = − = − + + + = + + = + + + = − − + + + − 其中 对于只要作适当换元令便化为 对于 已知 , 1. (1 )( ) 1 ln , 1, 1 + − − − + = − C k k x a x a C k k
2V=M-PL.P其中r2=qN24当k=1时，(5)式右边两个不定积分分别为1tdt=n( +r _+C,.2J t?+r2dt 1t(6)= -arctan -+C.J t? +r.rr价当k≥2时，（5）式右边第一个不定积分为1tdt =2(1- k)(° +r )- +C.( +r2)
. 2(1 )( ) 1 ( ) 2 5 arctan . (6) 1 ln( _ , 2 1 1 5 . 2 , 4 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 C k t r dt t r t k C r t t r r dt dt t r C t r t k L p N M p r q k k + − + = + = + + = + + + = = − = − − 当 时，（ ）式右边第一个不定积分为 当 时，（ ）式右边两个不定积分分别为 其中
对于第二个不定积分，记1可用分部积分法导出递推公式如下：sycngaI=J-r2 J (t’ +r2)*t21-1Ldt(P+r)r111Jrdlr?(+r)-)Ok-12r:(k-1) Jr11t2r*(k -1)[(? +r2)k-I2K-r
. 2 ( 1) ( ) 1 1 ( ) 1 2 ( 1) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) ' ( ) 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − + = + − + = + + = − + + − = + = − − − − − − k k k k k k k k k k k I t r t r k I r t r t d r k I r dt t r t r I r dt t r t r t r I t r dt I 可用分部积分法导出递推公式如下： 对于第二个不定积分，记
经整理得到2k-3t(7)I k-I.It= 2r:(k-1)( +r),1+2r2(k-1)重复使用递推公式(7)最终归为计算I,这已由(6)式给出把所有这些局部结果代回（5）式，并令t=x+卫,京就完成了2对不定积分(II)的计算。x? +1例2 求[dx(x2 -2x+2)解在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为x2 +1(x2 -2x+2)+(2x -1)(x2 -2x+2)(x2 -2x +2)
部分分式分解能被简化为 解 在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此， 例 求 对不定积分 的计算。 把所有这些局部结果代回（ ）式，并令 就完成了 重复使用递推公式 最终归为计算 这已由 式给出。 经整理得到 . ( 2 2) 1 2 ( ) , 2 5 (7) , (6) . (7) 2 ( 1) 2 3 2 ( 1)( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 dx x x x II p t x I I r k k r k t r t I k k k − + + = + − − + − + = − − 2 2 2 2 2 2 ( 2 2) ( 2 2) (2 1) ( 2 2) 1 − + − + + − = − + + x x x x x x x x