S2第二类型曲线积分
§2 第二类型曲线积分
（二、第二型曲线积分的定义yBM.-IAy;实例：变力沿曲线所作的功M,-Ax;ML:A→B,M,AF(x,y) = P(x,y)i +Q(x, y)jx常力所作的功 W=F·AB分割 A= M,,M,(x,yl),...,M.-l(x.-1,yn-1),M, = B.M;-1M; =(Ax;)i +(Ay;)j
o x y A B L 一、第二型曲线积分的定义 Mi−1 实例: 变力沿曲线所作的功 L: A → B, F x y P x y i Q x y j ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1 M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i − = + W = F AB. Mn−1 Mi−1 M2 M1 xi i y
B取 F(5,n;)= P(5i,n;)i +Q(5i,n:)j,F(5sn)M M.-AyiMAxW, ~ F(5i,n.). M,-1M,MMAx即 △W, ~ P(5;,n;)Ax; + Q(5;,n;)Ay,.求和W-AW近似值i=1~ E[P(5,n;) . Ax, +Q(5,,n;) ·Ay,]i=lE[P(5,n,)· Ax, +Q(5,n:)·Ay, l取极限 W =lim1-0i=1精确值
求和 [ ( , ) ( , ) ]. 1 = + ni i i i i i i P x Q y 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → = + ni i i i i i i W P x Q y 近似值 精确值 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i 取 = + ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W P x + Q y = = ni W Wi 1 o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F i i xi i y
1定义设L为xov面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧 函数 P(x,y),Q(x,y)在 L上有界. 用L上的点M,(xi,y), M,(x2,y2),.，Mn-i(xn-1,n-})把L分成n个有向小弧段M-,M, (i= 1,2,...,n; M, = A, M, = B)设Ax, = x; -x;-1, Ay; = y; - yi-1, 点(S,n;)为M-,M,上任意取定的点如果当各小弧段长度的最大值入→0时
0 , . , , ( , ) ( 1,2, , ; , ). , ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 长度的最大值 时 上任意取定的点 如果当各小弧段 设 点 为 把 分 成 个有向小弧段 上有界 用 上的点 向光滑曲线弧 函 数 在 设 为 面内从点 到 点 的一条有 → = − = − = = = − − − − − − − i i i i i i i i i i i i n n n n M M x x x y y y M M i n M A M B M x y L n L M x y M x y P x y Q x y L L xoy A B 1、定义
亡P(5;,n;)Ax,的极限存在,则称此极限为函i=1数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分(或称第二类曲线积分），记作ZP(5i,n:)Ax;., P(x,y)dx = lim20i=1Q(x,y)dy=lim类似地定义ZQ(5,n.)Ay?元一其中P(x,y)，Q(x,y)叫做被积函数,L叫积分弧段
( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x = = → = 积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i L Q x y dy = Q y = → 其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段
2.存在条件：当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分存在。3.组合形式J, P(x, y)dx + J,Q(x, y)dy= J, P(x, )dx +Q(x, )dy其中 F= Pi +Oj，ds=dxi +dyj
, . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L 3.组合形式 = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F Pi Qj, ds dxi dyj. 其中 = + = + 2.存在条件：
4.推广Pdx + Qdy + Rdz.福空间有向曲线弧IJP(x,y,z)dx=limP(5nS)Ar)101f,o(x,y,z)dy=limQ(SinS)Ay20i=11R(x,y,z)dz=limR(Ei,n,S)Azi2-01
4.推广 空间有向曲线弧 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x = → . Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q y = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R z = →
5.性质(1)如果把L分成L,和L,，则I, Pdx + Qdy = J, Pdx + Qdy + J, Pdx + Qdy.(2）设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的有向曲线弧，则[_, P(x, y)dx +Q(x, y)dy =-J, P(x, y)dx +Q(x, y)dy即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关
5.性质 . (1) , 1 2 1 2 + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分成L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是 与 方向相反的 , (2) L ,−L L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
二、第二型曲线积分的计算定理 设P(x,J),Q(x,Jy)在曲线弧L上有定义且连[x = p(t),当参数单调地由α变续,L的参数方程为(y=y(t),到附,点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点Bp(t),y(t)在以α及为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且β"(t)+y'(t) 0,则曲线积分[, P(x,y)dx +Q(x,y)dy存在
二、第二型曲线积分的计算 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0, ( ), ( ) , ( , ) , ( ), ( ), , ( , ), ( , ) 2 2 存 在 续导数 且 则曲线积分 在 以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 设 在曲线弧 上有定义且连 + + = = L P x y dx Q x y dy t t t t M x y L A L B t y t x t L P x y Q x y L 定理
且J, P(x, )dx + Q(x, y)dy= f° (P[g(t),y(t)0'(t) + Q[p(t),y(t)ly'(t)dt特殊情形x起点为a，终点为b(1) L: y = y(x)则 [, Pdx + Qdy = J'(P[x, y(x)]+ Q[x, (x)]ly(x)dx.y起点为c，终点为d.(2) L : x = x(y)则 [, Pdx +Qdy = J (P[x(y), ylx'(y)+Q[x(y), yldy
P t t t Q t t t dt P x y dx Q x y dy L { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( , ) ( , ) = + + 且 特殊情形 (1) L : y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则 + = + (2) L : x = x( y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x( y), y]x ( y) Q[x( y), y]}dy. d L c 则 + = +