第九章定积分教学目标：掌握定积分概念及基本性质：理解可积的充要条件、充分条件、必要条件：掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱布尼兹公式；掌握定积分的计算方法（换元法、分部积公法等)
1 教学目标： 掌握定积分概念及基本性质； 理解可积的充要条件、充分条件、必要条件； 掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱 布尼兹公式； 掌握定积分的计算方法（换元法、分部积公法 等）。 第九章 定 积 分
s1 定积分的概念教学内容：1）定积分概念的引入2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立3）定积分的数学定义重点：定积分的数学定义难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立定积分概念的引入一、背景1、曲边梯形的面积2、变力所做的功2
2 § 1 定积分的概念 教学内容： 1) 定积分概念的引入 2） “分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3) 定积分的数学定义 重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 一、背景 1、曲边梯形的面积 2、变力所做的功
1曲边梯形的面积中学单我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形，他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它用5个矩形面积作为曲边梯形面积用9个矩形面积作为曲边梯形的面积
3 1 曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算 ，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生 活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计 算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。 8 6 4 2 -2 -4 -5 5 1 0 用9个矩形面积作为曲边梯形的面积 动态演示 1 I
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？比如举世属目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积
4 上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情 况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何 求取曲边图形的准确面积呢？ 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力 学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是 直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备 料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该 断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分 定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互 转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以 “直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我 们来计算一下溢流坝上部断面面积
假设抛物线方程为：y =1 -x?, xe[,1]将[，1]等分成n等份，抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个图1长江三峡溢流坝断面小曲边梯形用宽为1，高为1-)的矩形代替，如下图：i21AS.&则它的第i个小曲边梯形的面积：2nn所求的总面积：20112Sn=1ni=1212-3n+12Gn231
5 假设抛物线方程为: 将 等分成n等份，抛物线下 面部分分割成n个小曲边梯形第i个 小曲边梯形 用宽为 ，高为 的矩形代替， 如下图： 则它的第i个小曲边梯形的面积： 所求的总面积:
我们分别取n=10，500.100用计算机把它的图象0画出来，并计算出面积的030.6近似值：0.50.41）、当n=10时，用10个小矩形0.30.3的面积之和作为曲边梯形的面0.1积时,则：sto~0.7150.(见右图)0.20.30.40.50.0.60.70.82）、当n=50时，用50个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则Sso ~ 0.6766. (见下图)
6 我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图象 画出来，并计算出面积的 近似值： 积时，则 见右图） 的面积之和作为曲边梯形的面 ）、当 时，用 个小矩形 : 0.7150. ( 1 10 10 1 0 = s n 见下图） ）、当 时，用 个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则 0.6766. ( 2 50 50 : 5 0 = s n
0.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.90.10.20.30.40.50.60.70.8/
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3）、当n=100时，用100个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则：S1oo ~ 0.6717. (见下图)0.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.10.30.40.5.60.70.90.20.88
8 100 3 100 100 : 0.6717. ( n s = ）、当 时，用 个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则 见下图）
由此可知，分割越细，越接近面积准确值再看一个变力做功的问题设质点m受力F（x）的作用，沿直线由A点运动到B点，求变力F(x)的做的功。F()BAF虽然是变力，但在很短一段间隔内凸，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想1 对[α, b]作分割:[a,b]9
9 由此可知，分割越细，越接近面积准确值 再看一个变力做功的问题 设质点m受力 的作用，沿直线由A点运动到B 点，求变力 的做的功。 F 虽然是变力，但在很短一段间隔内 看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想， ，F的变化不大，可近似 1） 对 作分割： [a,b] [a,b] [a,b]
aX...Xi-IX..X=b当每个小区间 的长度都很小时，小区间[-}，]上的力F F(S,),S,E[x-1, x,]在【i-1，］上，F作的功F（2）求和2H力F在[a,b]上作的功W=WZF()x;i11分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细度：T=max(Ax,)→0时,10
10 当每个小区间 的长度都很小时，小区间 上的力： 在 上，力F作的功 2）求 和 力F在 上作的功 分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细 度： 时， [a,b]