《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十章 定积分的应用

《数学分析》教案第十章定积分的应用(12学时)s1平面图形的面积教学目的要求：能熟练的将各种形式表示的曲线所围成的图形抽象成为不定积分，并计算出它们的面积教学重点难点：重点是计算由各种形式表示的曲线所围成的图形的面积.难点是参数方程和极坐标方程表示的曲线所围成的图形的面积的计算学时安排：2学时教学过程：一、积分[f(x)dx的几何意义我们讲过，若f eC[a,b]且f(x)≥0，则定积分"f(x)dx表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b和x轴所围成的曲边梯形的面积。当[f(x)dx0，又a<0，求y=ax2+bx与y=-x2+2x所围的面积S，又问ab为何值时，S取最小值？例4、求抛物线y2=2x与直线x-y=4所围成的图形的面积。例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l，底面是长轴为a，短轴为b的椭圆，问油灌中油面高为h时，油量是多少？（已知油的密度为p）三、参数方程形式下的面积公式

《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 (12 学时) §1 平面图形的面积 教学目的要求: 能熟练的将各种形式表示的曲线所围成的图形抽象成为不定积分，并计算出它们的面积. 教学重点难点: 重点是计算由各种形式表示的曲线所围成的图形的面积.难点是参数方程和极坐标方程表示 的曲线所围成的图形的面积的计算. 学时安排: 2 学时 教学过程: 一、积分 ( ) b a f x dx  的几何意义 我们讲过，若 f C a b  [ , ] 且 f x( ) 0  ，则定积分 ( ) b a f x dx  表示由连线曲线 y=f(x)，以及直线 x=a,b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。当 ( ) b a f x dx  <0 时，定积分表示的是负面积，即 ( ) b a f x dx  表示的是 f 在[a,b] 上的正负面积代数和。例如 5 5 2 2 2 0 0 2 sin ( sin sin ) sin 3 2 1 xdx xdx xdx xdx       = + + = − =     。若计算 sinx 在 [0， 5 2  ]上的面积，则变为 5 5 2 2 2 0 0 2 sin ( sin sin ) sin 3 2 5 x dx xdx xdx xdx       = + − = + =     。 二、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积 由几何意义得 ( ) ( ) [ ( ) ( )] b b b a a a S f x dx g x dx f x g x dx = − = −    ，该式当 f(x)和 g(x)可判断大小的情况下 适合，但 f(x)和 g(x)无法判断大小时，要修改为 | ( ) ( ) | b a S f x g x dx = −  。如果 f(x)和 g(x)有在积分区域[a,b] 内交点，设为 1 2 x x, ，且 1 2 x x  ，则 | ( ) ( ) | b a S f x g x dx = − =  2 1 | ( ) ( ) | x x f x g x dx −  。所以此时求 f(x)和 g(x) 在[a,b]上的面积，即为 f(x)和 g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例 1、求 2 y x = ， 2 x y = 所围的面积 S。 例 2、求 y x = sin 、y x = cos 在 [0,2 ]  上所围图形的面积。 例 3、已知 2 y ax bx = + 通过点(1,2)与 2 y x x = − + 2 有个交点 1 x  0 ，又 a<0 ，求 2 y ax bx = + 与 2 y x x = − + 2 所围的面积 S，又问 a,b 为何值时，S 取最小值？ 例 4、求抛物线 2 y x = 2 与直线 x y − = 4 所围成的图形的面积。 例 5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为 l，底面是长轴为 a，短轴为 b 的椭圆，问油灌中油面高为 h 时， 油量是多少？（已知油的密度为  ） 三、参数方程形式下的面积公式

《数学分析》教案x=x(t)若所给的曲线方程为参数形式：(α≤t≤β)，其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函数，(y=y()[x= x(t)且x(t)≥0且x(α)=a，x(β)=b，那么由x轴及直线x=a，xb所围图形的面积S的公式为(y=y(t)S=Plyldx(t)。(α0）一个拱与x轴所围的图形的面积。例1、求旋轮线：(y=a(1-cost)[x=acost例2、求椭圆（a>0，b>0）的面积S。ly=bsint四、极坐标下的面积公式设曲线的极坐标方程是：r=r(①)，α≤≤β，r(①)EC[α,β，则由曲线r=r()，射线=α及r(o)de.O=β所围的扇形面积S等于S=2Ja例1、求双纽线r2=2acos20所围图形面积S。20例2、求由r=sin0≤≤3元，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S。3例3、求三叶形成曲线r=asin30（a>0）所围图形面积。82由平行截面面积求体积教学目的要求：能熟练计算平行截面面积为已知的立体的体积和旋转体的体积教学重点难点：重点是用定积分求体积.难点把具体问题抽象成定积分学时安排：2学时教学过程：一般体积公式：设一几何体夹在x=a和x=b（a0)83平面曲线的弧长与曲率教学目的要求：能熟练计算平面曲线的弧长

《数学分析》教案 若所给的曲线方程为参数形式： ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ），其中 y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函数， 且 x t ( ) 0  且 x a ( )  = ， x b ( )  = ，那么由 ( ) ( ) x x t y y t  =   = ，x 轴及直线 x＝a，x＝b 所围图形的面积 S 的公式为 S y dx t | | ( )   =  。（    ） 例 1、求旋轮线： ( sin ) (1 cos ) x a t t y a t  = −   = − （a>0）一个拱与 x 轴所围的图形的面积。 例 2、求椭圆 cos sin x a t y b t  =   = （a>0，b>0）的面积 S。 四、极坐标下的面积公式 设曲线的极坐标方程是： r r = ( )  ，     ， r C ( ) [ , ]     ，则由曲线 r r = ( )  ，射线  = 及   = 所围的扇形面积 S 等于 1 2 ( ) 2 S r d   =    。 例 1、求双纽线 2 2 r a = 2 cos 2 所围图形面积 S。 例 2、求由 2 sin 3 r  = ， 0 3     ，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积 S。 例 3、求三叶形成曲线 r a = sin3 （a>0）所围图形面积。 §2 由平行截面面积求体积 教学目的要求: 能熟练计算平行截面面积为已知的立体的体积和旋转体的体积. 教学重点难点: 重点是用定积分求体积. 难点把具体问题抽象成定积分. 学时安排: 2 学时 教学过程: 一般体积公式： 设一几何体夹在 x＝a 和 x＝b（a0) §3 平面曲线的弧长与曲率 教学目的要求: 能熟练计算平面曲线的弧长

《数学分析》教案教学重点难点：重点是用定积分平面曲线的弧长，难点弧长公式的证明学时安排：2学时教学过程：一、平面曲线的弧长1、先建立曲线的长度（弧长）的概念一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。x=x(t)设平面曲线C由参数方程(α≤t≤β）给出，设P=(,,",t)是[α,β]的一个划分(y= y(t)[t=α,t,=β]，即α=tO时的极限：S= im ≥M,,M, = lim ZV[(x(t)-x(t)P +[((t,)-(t)P0Ip->0如果S存在且为有限，则称C为可求长曲线。2、弧长公式x= x(t)设曲线C：(α≤t≤β)，且x(t)，y(t)在[α,β]上可微且导数x()，y(t)在[α,β]上(y= y(t)可积，曲线C在[α，β]无自交点，则曲线C的弧长S为：S=Jx()+y"()dt=[Ja +dy注：其它形式的弧长公式(1）设y=y(x)在[a,b)上可微且导数y(x)可积，则曲线y=y(x）（a≤x≤b）的弧长S为：S=J"/1+y(x)dx(2）若曲线极坐标方程r=r(の)，α≤≤β，则当r()在[α,β)上可微，且r(の)可积时，S=[Jr2+r"2de

《数学分析》教案 教学重点难点: 重点是用定积分平面曲线的弧长. 难点弧长公式的证明. 学时安排: 2 学时 教学过程: 一、平面曲线的弧长 1、先建立曲线的长度（弧长）的概念 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。 设平面曲线 C 由参数方程 ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ）给出，设 0 1 { , , , } P t t t = n 是[  , ]的一个划分 [ 0 , n t t = =   ] ，即 0 1 n   =    = t t t ，它们在曲线 C 上所对应 的 点 为 0 0 0 M x t y t = ( ( ), ( )) ， 1 1 1 M x t y t = ( ( ), ( )) ，.， ( ( ), ( )) M x t y t n n n = 。从端点 M0 开始用线段一次连接这些分点 M0 ，M1 ，.， M n 得到曲线的一条内接折线，用 M Mi i −1 来表示 M Mi i −1 的长度，则内接折线总长度为 2 2 1 1 1 1 1 [( ( ) ( )] [( ( ) ( )] n n n i i i i i i i i S M M x t x t y t y t − − − = = = = − + −   曲线 C 的弧长 S 定义为内接折线的总长在 max 0 i p t = → 时的极限： 2 2 1 1 1 0 0 1 1 lim lim [( ( ) ( )] [( ( ) ( )] n n i i i i i i p p i i S M M x t x t y t y t − − − → → = = = = − + −   如果 S 存在且为有限，则称 C 为可求长曲线。 2、弧长公式 设曲线 C： ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ），且 xt() ， yt() 在[  , ]上可微且导数 x t () ， y t () 在[  , ]上 可积，曲线 C 在[  , ]无自交点，则曲线 C 的弧长 S 为： 2 2 2 2 S x t y t dt dx dy ( ) ( )     = + = +     注：其它形式的弧长公式 （1）设 y y x = ( ) 在[a,b]上可微且导数 y x ( ) 可积，则曲线 y y x = ( ) （a≤x≤b）的弧长 S 为： 1 ( ) b a S y x dx = +   （2）若曲线极坐标方程 r r = ( )  ，     ，则当 r( )  在[  , ]上可微，且 r ( )  可积时， 2 2 S r r d   = +   

《数学分析》教案[x=x(t)（3）空间曲线=(t)α≤t≤β）,弧长s为[z = z(t)S= J Jx2(0)+ y2(0)+22(0)dt其中x(t)，y(t)，z(t)在[α,β]上可微，导数x(t)，y()，z(t)在[α,β]上可积且曲线C在[α,β]上无自交点。例1、求圆周x=Rcost，y=Rsint，0≤t≤2元的弧长S。x2 y230≤x≤1的弧长S。例3、求椭圆二例2、求抛物线y=1（b>a>0）的弧长S。q?b223、弧长的微分[x= x(t)设C（α≤t≤β）是光滑曲线（x(t)，y(t)在[αβ连续且x(t)+y(t)+0）：且(y=y(t)无自交点。若把公式中的积分上限β改为t，就得到曲线C，由端点M。到动点M(x(t),y(t))的一段弧长。S=f" Vx"(0)+y"()dtds(t)dx(dy= dS = Jax? + dy?由上限函数的可微性知S'()存在，dtdt二、曲率1、平面曲线的曲率曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度△的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长△S有关，并且曲率与<9成正比，与<S成反比。即一般曲线的弯曲程度可用尺=会，P，其中k：曲线段AB的平均变AS化率；△?：曲线段AB上切线方向的角度；△S：曲线段AB的弧长。例半径为R的圆：=_αAα _1AS"AS"A.R"R对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？Apdpl=limSe称为曲线在A点的曲率，即kk= lim45-0ASds0As2、曲率的计算记y=(x)二阶可微，则在点x处的曲率为：

《数学分析》教案 （3）空间曲线 ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t  =   =   = （    t ），弧长 S 为 2 2 2 S x t y t z t dt ( ) ( ) ( )   = + +     其中 x(t)，y(t)，z(t)在[  , ]上可微，导数 x t () ， y t () ， z t () 在[  , ]上可积且曲线 C 在 [  , ]上无 自交点。 例 1、求圆周 x R t = cos ， y R t = sin ，0 2  t  的弧长 S。 例 2、求抛物线 1 2 2 y x = ，0 1  x 的弧长 S。例 3、求椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = （b>a>0）的弧长 S。 3、弧长的微分 设 C： ( ) ( ) x x t y y t  =   = （    t ）是光滑曲线（ x t () ， y t () 在[  , ]连续且 2 x t  ( ) ＋ 2 y t  ( ) 0  ）；且 无自交点。若把公式中的积分上限  改为 t，就得到曲线 C，由端点 M0 到动点 M x t y t ( ( ), ( )) 的一段弧长。 2 2 ( ) ( ) t S x t y t dt  = +    由上限函数的可微性知 S t ( ) 存在， 2 2 2 2 dS t dx dy ( ) dS dx dy dt dt dt     = +  = +         二、曲率 1、平面曲线的曲率 曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度  的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长 S 有关， 并且曲率与  成正比，与 S 成反比。即一般曲线的弯曲程度可用 k S  =  ，其中 k ：曲线段 AB 的平均变 化率；  ：曲线段 AB 上切线方向的角度； S ：曲线段 AB 的弧长。 例 半径为 R 的圆： 1 k S S R R        = = = =     。 对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？ ，称为曲线在 A 点的曲率，即 0 lim s d k dS S   →  = =  2、曲率的计算 记 y y x = ( ) 二阶可微，则在点 x 处的曲率为： 0 lim s k S  →  = 

《数学分析》教案y"因为gp=y，=arctgy，所以ddx，又因为ds=1+ydx所以=dp:dx-1+y21+ydp24ds(1+ y2)2在任一点的曲率。例1、求y=23、曲率圆和曲率半径过点（x，y(x))且与y=y(x)在该点有相同的一阶及二阶导数的圆(x-a)+(y-b)=R2称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。如何求曲线上一点（x，y(x））处的曲率圆呢？y"/1，k=因为 R=(+)，则(ab)在过 (s (0) 的法线上: Y-()=--(X -x)。y'(x)1x2在点（0,0）的曲率圆方程？例求y=2S4旋转曲面的面积教学目的要求：能熟练掌握微元法，会用微元法计算曲面的面积教学重点难点：重点是微元法、用微元法将实际问题抽象成定积分，难点微元法的应用学时安排：2学时教学过程：设y=y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x轴旋转后所得的旋转面的侧面积：yi+ydS=2元例、求半径为r的球面面积S

《数学分析》教案 因为 tg y  =  ， = arctgy ，所以 2 2 1 1 d y y d dx dx y y     =  = + +   ，又因为 2 dS y dx = +1  所以 ( ) 3/ 2 2 1 d y k dS y   = = +  例 1、求 1 2 2 y x = 在任一点的曲率。 3、曲率圆和曲率半径 过点（x，y(x)）且与 y＝y（x）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆 2 2 2 ( ) ( ) x a y b R − + − = 称为曲率圆。 曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。 如何求曲线上一点（x，y(x)）处的曲率圆呢？ 因为 1 R k = ， ( ) 3/ 2 2 1 y k y  = +  ，则（a,b）在过（x，y(x)）的法线上： 1 ( ) ( ) ( ) Y y x X x y x − = − −  。 例 求 1 2 2 y x = 在点（0,0）的曲率圆方程？ §4 旋转曲面的面积 教学目的要求: 能熟练掌握微元法,会用微元法计算曲面的面积. 教学重点难点: 重点是微元法、用微元法将实际问题抽象成定积分. 难点微元法的应用. 学时安排: 2 学时 教学过程: 设 y＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕 x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积： 2 2 1 b a S y y dx = +    例、求半径为 r 的球面面积 S