《数学分析》教素第二十一章 重积分教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题；3.了解n重积分的有关概念及计算方法。教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。教学时数：20学时$1二重积分概念矩形域上的二重积分：从曲顶柱体的体积引入，用直线网分割定义二重积分.例 1用定义计算二重积分xyd.用直线网[0,Y:0.1]iXE，（1≤i，j<n)分割该正方形，在每个正方形上取其右上顶点为nn介点.门1773jlim解lim→0n2→0nnn司11n(n + 1)(2n +1). n(n + 1)_ 152.1= limlim62-0 n56台2-1D=可积条件：[a,b; c,d].大和与小和Th 1 e R(D), 台nD-1
《数学分析》教案 - 1 - 第二十一章 重积分 教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积 分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；3.了解 n 重积分的有关概念及计算方法。 教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累 次积分。 教学时数：20 学时 § 1 二重积分概念 一. 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 . 定义 二重积分 . 例 1 用定义计算二重积分 .用直线网 分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为 介点 . 解 . 二. 可积条件 : D . 大和与小和. Th 1 ,
《数学分析》教素Th 2J E R(D), 台V>0, 3T, A0,<Th 3f在D上连续，一J在D上可积：Th 4设[a，]c[a,b]，:[α，]→R为[a,]上的可积函数.E=((x,y)Iy=p(), xE[α,p)) C D,（或E=（(xy)lx=y),yE[a.ulCc,dCD）若f在D上有界且在D1E上连续，则f在D上可积，例 2 P217ex2三.一般域上的二重积分：1.定义：一般域上的二重积分2.可求面积图形：用特征函数定义四.二重积分的性质：性质 1Ikf=k[.34性质2关于函数可加性：性质3intDnintD,=，D=D,UD则f在D上可积台f在D,和D,可积，且性质4关于函数单调性：性质5≤I-2 -
《数学分析》教案 - 2 - Th 2 , . Th 3 在 D 上连续 , 在 D 上可积 . Th 4 设 , 为 上的可积函数. D, ( 或 D ) . 若 在 D 上有界 , 且在 D \ 上连续 , 则 在 D 上可积 . 例 2 P217ex2 三． 一般域上的二重积分： 1． 定义： 一般域上的二重积分. 2． 可求面积图形: 用特征函数定义. 四. 二重积分的性质 : 性质 1 . 性质 2 关于函数可加性 . 性质 3 则 在 D 上可积 在 和 可积 , 且 . 性质 4 关于函数单调性 . 性质 5
《数学分析》教素性质 66J≤M=AD<<MAD性质7中值定理：Th若区域D的边界是由有限条连续曲线（=(x)，xE[a,b]或x=w()，yE[c,d])组成，f在D上连续，则在D上可积.例 3去掉积分-dxay中的绝对值。[0.18.]82二重积分的计算化二重积分为累次积分：1.矩形域D=[α,b]x[c,d]上的二重积分：用“体积为幂在势上的积分”推导公式2.简单域上的二重积分：简推公式，一般结果1P219Th9例 1 D:y=2x,x=2y,x+y=3faxdy,解法一P221例3解法二D为三角形，三个顶点为（0,0)，（1,2),(21)，01021axdy=D/-21例 2 1 = 「xe-" dxdy,D:x=0,y=1, y=x.P221例2例3求底半径为R的两直交圆柱所围立体的体积：P222例4.- 3 -
《数学分析》教案 - 3 - 性质 6 . 性质 7 中值定理 . Th 若区域 D 的边界是由有限条连续曲线 ( 或 )组成 , 在 D 上连续 , 则 在 D 上可积 . 例 3 去掉积分 中的绝对值 . § 2 二重积分的计算 二. 化二重积分为累次积分: 1. 矩形域 上的二重积分: 用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式. 2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9. 例 1 , . 解法一 P221 例 3 解法二 为三角形, 三个顶点为 , . 例 2 , . P221 例 2. 例 3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积 . P222 例 4
《数学分析》教素S3Green公式：曲线积分与路径无关性Green公式：，闭区域的正面与边界正向的规定搭配：右手螺旋定向，即以右手拇指表示区域的正面（理解为拇指“站立在”区域的正面上），则其余四指（弯曲）表示边界的正向．右手螺旋定向法则还可表述为：人站立在区域的正面的边界上，让区域在人的左方：则人前进的方向为边界的正向．参阅P图21一10若以L记正向边界，则用一L或L-表示反向（或称为负向）边界1.Green公式：Th21.11若函数P和Q在闭区域DCR2上连续，且有连续的一阶偏导数，则有aFaodxay=f.Pdx+Qay,yax其中L为区域D的正向边界.（证）P224aaGreen公式又可记为axaydxdy=f Pdx +QdyQ1.应用举例：对环路积分，可直接应用Green公式。对非闭路积分，常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧例1计算积分ady，其中A（0,r)，B（r,0)．曲线AB为圆周x?+=在第一象限中的部分.P226例1- 4
《数学分析》教案 - 4 - § 3 Green 公式 . 曲线积分与路径无关性 一. Green 公式: 闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示 区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 ) 表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界 上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅 P 图 21—10. 若以 L 记正向边界, 则用—L 或 L 表示反向（或称为负向）边界. 1. Green 公式: Th21.11 若函数 P 和 Q 在闭区域 D R 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有 , 其中 L 为区域 D 的正向边界. ( 证 ) P224 Green 公式又可记为 . 1. 应用举例: 对环路积分, 可直接应用 Green 公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条 线使变成环路积分的技巧. 例 1 计算积分 , 其中 A B . 曲线 AB 为圆周 在第一象限中的部分. P226 例 1
《数学分析》教素解法一（直接计算积分）曲线AB的方程为x-rcost，y=rsit，0st>.方向为自然方向的反向因此2rcos"tdt-axdyf+sin2t24解法二（用Green公式）补上线段BO和OA（O为坐标原点），成闭路设所围区域为D,注意到aD为反向，以及Jeoa=0，有Jeg dy-f, xo-Jeoa oby --[fdxy--r?xdy-ydx，其中L为任一不包含原点的闭区域D例2计算积分I=Jx+y的边界（方向任意）P227例2V解（P和Q在D上有连续的偏P(x,y) =Q(x,y) -2 + 2x2 +x导数).Q-2-x2)+yop,ax(x2+)2apaQdxdy=0于是，I = 4axdy曲线积分与路线无关性：-5-
《数学分析》教案 - 5 - 解法一 ( 直接计算积分 ) 曲线 AB 的方程为 .方向为自然方向的反向. 因此 . 解法二 ( 用 Green 公式 ) 补上线段 BO 和 OA ( O 为坐标原点 ), 成闭路. 设所围 区域为 D, 注意到 D 为反向, 以及 , 有 . 例 2 计算积分 I = , 其中 L 为任一不包含原点的闭区域 D 的边界(方向任意 ) P227 例 2 解 . ( 和 在 D 上有连续的偏 导数). , . 于是, I = . 二. 曲线积分与路线无关性:
《数学分析》教素单连通域和复连通域1.积分与路径无关的等价条件：P228Th21. 12设DCR2是单连通闭区域．若函数P和Q在闭区域D内连续，且有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：i>沿D内任一按段光滑的闭合曲线L，有fPdx+Qdy=0i>对D内任一按段光滑的曲线L，曲线积分4Pdx+Qdy与路径无关，只与曲线L的起点和终点有关i>Pdx+Qdy是D内某一函数u的全微分，即在D内有du=Pdx + Qdy.ap_aQ在D内每一点处有iv>ayax2.恰当微分的原函数：ap_aQ若有则称微分形式Pdx+Qdy是一个恰当微分恰当微分有原ayax函数，（它的一个）原函数为：[ P(t,yo)dt + "u(x,J) = ["'e(x,t)dt或u(x,y) - I'(xo.t )dt + [ P(t,)dt（其中点（,)ED，当点（0,0)ED时，常取（，)=（0,0)．）%- P(xy0)+e(x)d- P(x)+P(x)a=验证第一式：ax-6 -
《数学分析》教案 - 6 - 单连通域和复连通域. 1. 积分与路径无关的等价条件: P228 Th21.12 设 D R 是单连通闭区域. 若函数 和 在闭区域 D 内连 续, 且有连续的一阶偏导数 , 则以下四个条件等价 : ⅰ> 沿 D 内任一按段光滑的闭合曲线 L, 有 . ⅱ> 对 D 内任一按段光滑的曲线 L, 曲线积分 与路径无关, 只与曲线 L 的起点和终点有关. ⅲ> 是 D 内某一函数 的全微分, 即在 D 内有 . ⅳ> 在 D 内每一点处有 . 2. 恰当微分的原函数: 若有 , 则称微分形式 是一个恰当微分. 恰当微分有原 函数,( 它的一个 ) 原函数为 : . 或 其中点 D, 当点 D 时, 常取 = . 验证第一式: =
《数学分析》教素= P(x,yo) + P(x,t) [= P(x,yo) + P(x,y) - P(x,yo) = P(x,y) :u - Q(x.,).dy例6验证式（2x+siny）dx+xcosydy是恰当微分，并求其原函数P231例4$4二重积分的变量变换：（4时）1.二重积分的变量变换公式：设变换x=x(u,")，=(u,)的3(x,)=0,则Jacobia(u,v)a(x,y)(x,y)dxay=Jy(x(u,v),y(u,)ludva(u,v)其中D是在该变换的逆变换u=u(xy)，V=x,)下XY平面上的区域D在3(x,)0,由条件这里的逆变换是存在的UV平面上的象.a(u,v)一般先引出变换=u(x,)v=x,)，由此求出变换a(x,y)[a(u,v)x=x(u,v), y=y(u,v).而a(u,v)a(x,y)X-y例 1 Te*+dxdy,P235例1.D: x=0,y=0, x+y=1.当被积函数形如f(ax+byc，ax+by+c)（abab），积分区域为直线型时，可试用线性变换u=ax+y+c，=ax+by+c2.-7 -
《数学分析》教案 - 7 - ; . 例 6 验证式 是恰当微分, 并求其原函数. P231 例 4 . § 4 二重积分的变量变换:（4 时） 1. 二重积分的变量变换公式: 设变换 的 Jacobi , 则 , 其中 是在该变换的逆变换 下 平面上的区域 在 平面上的象. 由条件 , 这里的逆变换是存在的. 一般先引出变换 , 由此求出变换 .而 . 例 1 , . P235 例 1. 註 当被积函数形如 , 积分 区域为直线型时, 可试用线性变换
《数学分析》教紫11例 2 Ixy"dxdyD.272xx则 (u,v)e[!,设u,2;1,3].解V= xy.X2-xy2y[3(x, 2(u,v)x1XX2ua(x,J)xa(u,v)2y13edu26fvdv.因此：dudyIn.221Iu23FF1若区域D是由两组“相似”曲线（即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别）围成的四线型区域，可引进适当的变换使其变成矩形区域：设区域D由以下两组曲线围成：第一组：F(x,y,p)=0,F(x,y,g)=0,(p<g);第二组：G(x,y,a) =0, G(x,y,b)= 0,(a<b).可试用变换F(x,y,u)=0,G(x,y,v)=0.(u,v)e[p,q;a,b].从中解出x=x(u,v)，y=(u,V)：在此变换之下，区域D变成UV平面上的矩形区域[p,g]x[a,b].例3求由抛物线2=mx，2=nx（0<m<n）和直线y=ax，J=x（0<α<β)所围平面区域D的面积.P236例2.2.极坐标与广义极坐标变换：-8-
《数学分析》教案 - 8 - 例 2 , . 解 设 . 则 . ， . 因此 , . 註 若区域 是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参 数不同的取值相区别 ) 围成的四线型区域 , 可引进适当的变换使其变成矩形 区域 . 设区域 由以下两组曲线围成 : 第一组: ; 第二组: . 可试用变换 . . 从中解出 . 在此变换之下, 区域 变成 平面上的矩形区域 . 例 3 求由抛物线 和 直线 所围平面区域 的面积 . P236 例 2. 2. 极坐标与广义极坐标变换:
《数学分析》教素a(x,)极坐标变换：x=rcose，y=rsine,[a(r,0)[a(x, )广义极坐标变换：x=arcosey=brsineabra(r,e)dxdy例 4P240例3.-x2-V2x*+y*s!例5（Viviani问题）求球体x+2+zR被圆柱面x2+y2=Rx所割下立体的体积：P240例4.例 6应用二重积分求广义积分dxP241例5.x+32+23例 7求椭球体<1的体积P241例6.a2b2c2四.积分换序：l.y(xy)dx例8了连续：对积分n"(x,v)ay换序dxdyTdyfi例9F连续：对积分f(x)dx换序a(+fa ()例10计算积分fe"dx(e-85三重积分简介-9-
《数学分析》教案 - 9 - 极坐标变换: , . 广义极坐标变换: , . 例 4 . P240 例 3. 例 5 ( Viviani 问题 ) 求球体 被圆柱面 所割下立体的体积 . P240 例 4. 例 6 应用二重积分求广义积分 . P241 例 5. 例 7 求橢球体 的体积 . P241 例 6. 四. 积分换序: 例 8 连续 . 对积分 换序. . 例 9 连续 . 对积分 换序. . 例 10 计算积分 . . § 5 三重积分简介
《数学分析》教素三重积分的定义：1．长方体[a,b]x[c,d]x[k,h]上的积分2.一般可求体积立体V上的积分：二.三重积分的计算：1.长方体[a,b]×[c,d]x[k,h]上的积分Jj(xy,z)dxbyd-Iaxf a'(xy,z)dz2.Z-型体上的积分：(xy)()内一外二: JJ(x,y,z)dxdydz= Jjaxoy J3(x,y,z)dz,m(xg)其中V=((x,y,z)|z(x,J)zz(x,J)，(x,J)eD)，D为V在XY平面上的投影.就函数f(x，,2)为点密度的情况解释该公式(2）内二外一：Jf/(x,y,z)dxabydz= [dz [[(x,y,z)dxdy,1其中V介于平面z=k和z=h之间，D,是用平面Z=z截V所得的截面内二外一多用于围成V的闭合曲面由一个方程给出的情况dxaydz例 1 V：x=1,x=2,z=0,y=x，z=y.P245例+y21.解=((x,y,2)10zy,0yx,1x2),-10
《数学分析》教案 - 10 - 一． 三重积分的定义： 1． 长方体 上的积分： 2． 一般可求体积立体 上的积分： 二． 三重积分的计算： 1． 长方体 上的积分： . 2. 型体上的积分: ⑴ 内一外二 : = , 其中 , 为 在 平面上 的投影.就函数 为点密度的情况解释该公式 . ⑵ 内二外一 : = , 其中 介于平面 和 之间 , 是用平面 截 所得的截面. 内二外一 多用于围成 的闭合曲面由一个方程给出的情况. 例 1 , : . P245 例 1. 解