《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十三章函数列与函数项级数.docx_大学文库

《数学分析》教案第十三章函数列与函数项级数 (12 学时) §1 一致收敛性教学目的：让学生掌握函数列与函数项级数一致收敛的定义及其判别方法．教学重点难点：一致收敛定义、一致收敛的柯西准则、一致收敛的充要条件、一致收敛的优级数判别法、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法．一致收敛与非一致收敛的定义的几何解释、例 3、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法的应用和证明．学时安排： 6 学时教学方法：讲授法．教学过程：我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。一函数列及其一致收敛性。设 f 1 , f 2 ,  , f n ,  （1）是一列定义在同一数集 E 上的函数，称为定义在 E 上的函数列。也可简记为： { }n f 或 n f ， n = 1,2, 。设 x0  E ，将 0 x 代入 f 1 , f 2 ,  , f n ,  得到数列： f 1 (x0 ), f 2 (x0 ), , f n (x0 ), （2）若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点 0 x 收敛， 0 x 称为函数列（1）的收敛点。若数列（2）发散，则称函数列（1）在点 0 x 发散。则称函数列（1）在数集 D  E 上每一点都收敛，则称（1）在数集 D 上收敛。这时 xD ，都有数列 { f (x)} n 的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确定了 D 上的一个函数，称它为函数列 { }n f 的极限函数。记作 f 。于是，有 lim f (x) f (x) n n = → ， xD ，或 f (x) f (x) n → (n → )， xD。函数列极限的  − N 定义对每一个固定的 xD ，对   0，N  0 （注意：一般说来 N 值的确定与  和 x 的值都有关），使得当 n  N 时，总有 f (x) − f (x)   n 。使函数列 { }n f 收敛的全体收敛点的集合，称为函数列 { }n f 的收敛域。例 1 设 n n f (x) = x ， n = 1,2,  为定义在 (−,) 上的函数列，证明它的收敛域是 (−1,1] ，且有极限函数    =  = 1, 1 0, 1 ( ) x x f x （3）

《数学分析》教案证任给   0 （不妨设  1 ），当 0  x 1 时，由于 n n f (x) − f (x) = x ，故只要取 x N x ln ln ( , )   = ，则当 n  N( , x) 时，就有 f (x) − f (x)   n 。而当 x = 0 和 x =1 时，则对任何正整数 n ，都有 f (0) − f (0) = 0   n ， f (1) − f (1) = 0   n 。这就证得 f n  在 (−1,1] 上收敛，且有（3）式所表示的极限函数。当 x 1 时，则有 x → +(n → ) n ，当 x = −1 时，对应的数列为−1,1,−1,1,  它显然是发散的。所以函数列   n x 在区间 (−1,1] 外都是发散的。例 2 定义在 (−,+) 上的函数列 n nx f x n sin ( ) = ， n = 1,2,  ，由于对任何实数 x ，都有 n n sin nx 1  ，故对任给的   0 ，只要  1 n  N = ，就有 − 0   sin n nx 。所以函数列       n sin nx 的收敛域为无限区间 (−,+) ，函数极限 f (x) = 0。定义 1 设函数列 f n  与函数 f 定义在同一数集 D 上，若对任给的正数  ，总存在某一正整数 N ，使得当 n  N 时，对一切的 xD ，都有 f (x) − f (x)   n 则称函数列  f n 在 D 上一致收敛于 f ，记作： f (x) n f (x) (n → )， xD。定理 13-1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列  f n 在数集 D 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数  ，总存在正数 N ，使得当 n m N ,  时，对一切 x D ，都有 f (x) − f (x)   n 。（4）证 [必要性] 设 f (x) n f (x) (n → )， xD ，即对任给   0 ，存在正数 N ，使得当 n  N 时，对一切 xD ，都有 2 ( ) ( )  f n x − f x  。（5）于是当 n,m  N ，由（5）就有    −  − + −  + = 2 2 f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) n m n m 。 [充分性] 若条件（4）成立，由数列收敛的柯西准则， f n  在 D 上任一点都收敛，记其极限函数为 f (x) ， xD 。现固定（ 4 ）式中的 n ，让 m→ ，于是当 n  N 时，对一切 xD 都有 f (x) − f (x)   n 。由定义 1， f (x) n f (x) (n → )， xD

《数学分析》教案 = = n k n k S x u x 1 ( ) ( )， xE ， n = 1,2,  （10）为函数顶级数（9）的部分和函数列。若 x0  E ，数顶级数 u1 (x0 ) + u2 (x0 ) ++ un (x0 ) + （11）收敛，既部分和 = = n k n k S x u x 1 0 0 ( ) ( ) 当 n → 时极限存在，则称级数（9）在点 0 x 收敛， 0 x 称为级数（9）的收敛点，若级数（11）发散，则称级数（9）在点 0 x 发散。若级数（9）在 E 某个子集 D 上每个点都收敛，则称级数（9）在点 D 上收敛，若 D 为级数（9）全体收敛点的集合，这时则城 D 为级数（9）的收敛域。级数（9）在 D 上每一点 x 与其所对应的数项级数（11）的和 S(x) 构成一个定义在 D 上的函数，称为级数（9）的和函数，并写作 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x S x + ++ n += ， x D ，即 lim S (x) S(x) n n = → ， x D 。也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。例4 定义在 (−,+) 上的函数项级数（几何级数） 1+ x + x 2 ++ x n + （12）的部分和函数为 x x S x n n − − = 1 1 ( ) 。故当 x 1 时， x S x S x n n − = = → 1 1 ( ) lim ( ) 。所以几何级数（12）在 (−1,1) 内收敛于和函数 x S x − = 1 1 ( ) ；当 x 1 时，几何级数是发散的。定义 2（函数项级数一致收敛性定义）设 S x n ( ) 是函数项级数 1 ( ) n n u x  =  的部分和函数列。若 S x n ( ) 在数集 D 上一致收敛于函数 S x( ) ，则称函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛于函数 S(x) ，或称 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛。由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有定理 13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛  对于   0， N ，使得当 n  N 时，对一切 xD 和一切正整数 p ，都有

《数学分析》教案 −   + S (x) S (x) n p n ，即 + + +   + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x n n  n p 。特别地，当 p = 1 时，得到函数项级数收敛的必要条件：推论函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛的必要条件是函数列 un (x) 在 D 上一致收敛于 0。设 1 ( ) n n u x  =  = S(x)， xD ，称 R (x) S(x) S (x) n = − n 为函数项级数 1 ( ) n n u x  =  的余项。定理 13-4 函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛于 S(x)  lim sup ( ) = lim sup ( ) − ( ) = 0  →  → R x S x S x n x D n n x D n 。例5 讨论几何级数   n=0 n r 在所给区间上的一致收敛性：（1） [−a,a](0  a  1) ；（2） (−1,1) 。三函数项级数的一致收敛性判别法 1．用定义； 2．柯西准则（定理 13-3）； 3．定理 13-4（必须已知和函数 S(x) 才可用此判别法）； 4．定理 13-5（魏尔斯特拉斯判别法，也称 M 判别法或优级数判别法）设函数项级数 1 ( ) n n u x  =  定义在数集 D 上，   n=1 M n 为收敛的正项级数，若 xD ，有 n Mn u (x)  ， n = 1,2, ，则函数项级数 1 ( ) n n u x  =  在 D 上一致收敛。注：（1）应用此判别法的关键是：从 u (x) n 出发找到所需的 M n 。（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的。课后记 1、以函数列   n x 在区间 (0, 1) 内不一致收敛为例给出不一致收敛的几何意义是本节的一个难点，通过对照它在 (0, b) 内一致收敛说明非一致收敛的几何意义效果较好。 2、例 3 也是本节的难点其中要求： − = = →   n n f x f x f n n x ) 2 1 sup ( ) ( ) ( [0,1] ，先讲清给出函数 ( ) 1 f x 、 ( ) 2 f x 、 ( ) 3 f x 、的表达式和图像，作图时结合图像求出函数 f (x) n 在 n x 2 1 = 时取到最大值 n n f n  =      2 1 能起到化解

《数学分析》教案难点的作用，且讲清这一函数列对第二节的例 1 有帮助。 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质教学目的：让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质及其应用．教学重点难点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性．定理 13.8 的证明极限函数的分析性质的反例．学时安排： 4 学时教学方法：讲授法．教学过程：主要讨论连续性、可积性、可微性。定理 13-8 设函数列 f n (x) 在 ( , ) ( , ) a x0  x0 b 上一致收敛于 f (x) ，且对 n ， n n x x f x = a → lim ( ) 0 ，则 n n a → lim 、 lim ( ) 0 f x x→x 均存在，且相等，即 lim lim ( ) lim lim ( ) 0 0 f x f x n x x n n n→ x→x → → = 。（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）定理 13-9（连续性）若函数列 f n (x) 在区间 I 上一致收敛于 f (x) ，且对 n ， f (x) n 在 I 上连续，则 f (x) 在 I 上也连续。说明：若各项为连续函数的函数列 f n (x) 在区间 I 上其极限函数不连续，则此函数列 f n (x) 在区间 I 上不一致收敛。如：   n x 在 (−1,1] 上。定理 13-10（可积性）若函数列 f n (x) 在 [a,b] 上一致收敛，且每一项都连续，则   → → = b a n n n b a n lim f (x)dx lim f (x)dx 。注 1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序；注 2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的：例 1 设函数 n x x n n n x n n x f x n n n n 1 1 1 0, 2 1 2 2 , 2 1 2 ,0 ( )              −   =    ， n = 1,2, 。定理 13-11（可微性）设 f n (x) 为定义在 [a,b] 上的函数列，若 0 x [a,b] 为 f n (x) 的收敛点， f n (x) 的每一项在 [a,b] 上有连续的导数，且 f n (x) 在 [a,b] 上一致收敛，则 (lim ( )) lim f (x) dx d f x dx d n n n n→ → = 。注 1：在该定理的条件下可以证明 f n (x) 在区间 [a,b] 上一致收敛；注 2：该定理指出：在一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序；注 3：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如：

《数学分析》教案例2 设函数列 ln(1 ) 2 1 ( ) 2 2 n x n f x = + ， n = 1,2, 。下面讨论函数项级数的连续性，逐项求积与逐项求导的性质，它们都可由函数列的相应性质推出。定理 13-12（连续性）若函数项级数   =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，且每一项 u (x) n 都连续，则其和函数也在区间 [a,b] 上连续。注：在一致收敛的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即    = →  = → = 1 1 (lim ( )) lim ( ( )) 0 0 n n x x n n x x u x u x 。定理 13-13（逐项求积）若函数项级数   =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，且每一项 u (x) n 都连续，则  =   = u x dx n n b a ( ( )) 1   =1 ( ) n b a un x dx 。注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与积分运算可以交换顺序。定理 13-14（逐项求导）若函数项级数   =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上每一项 u (x) n 都有连续导函数， [ , ] x0  a b 为函数项级数   =1 ( ) n n u x 的收敛点，且   =  1 ( ) n n u x 在区间 [a,b] 上一致收敛，则    =  = = 1 1 ( ( )) ( ( )) n n n n u x dx d u x dx d 。注：即在一致收敛的条件下，求（无限项）和运算与求导运算可以交换顺序。课后记定理 13.8 的证明是一难点, 需要花费一定的时间，在讲授时先讲清证明思路： 1 先证 an  是收敛的，在证明时用到已知条件 f n  是一致收敛的和柯西收敛准则得到 −   + f (x) f (x) n n p ，取极限得到 −   an an+ p ，再由柯西收敛准则得到 an  是收敛的，设 an A n = → lim 2 再证 f x A x x = → lim ( ) 0 ，证明 f x A x x = → lim ( ) 0 要用到已知条件 f n  一致收敛 f (x) 、 an A n = → lim 及 n n x x f x = a → lim ( ) 0 ，再由函数极限及数列极限的定义可得 f (x) − f (x)   n ，a − A   n 及当 0  x − x0   时 −   n an f (x) 综上所述得 f (x) − A  f (x) − f (x) + f (x) − a + a − A  3 n n n n 效果较好

《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十三章 函数列与函数项级数

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